Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Septembre 2011

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1

Le restaurant «La fourchette dorée» propose la formule suivante :
Menu à 21 € (Entrée / Plat / Dessert)

***
Assiette de charcuterie
ou
Soupe chaude du jour
***
Poulet basquaise
ou
Boeuf aux petits légumes
ou
Poisson à la bordelaise
***
Marquise au chocolat
ou
Moelleux aux fruits


1. Déterminer, à l'aide d'un arbre, le nombre de menus différents que l'on peut obtenir.

2. On suppose que chacun des menus a la même probabilité d'être choisi par un client. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
    a) Quelle est la probabilité p_{1} qu'un client choisisse un menu avec de la viande en plat principal ?
    b) Quelle est la probabilité p_{2} que le menu servi soit composé de charcuterie et d'un moelleux aux fruits ?

3. Dans cette question, le client choisit la soupe du jour en entrée. Quel est, dans ce cas, le nombre de menus possibles ? Quelle est, alors, la probabilité p_{3} qu'il choisisse du poisson comme plat principal ?
(On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible).

4. Le chef décide de retirer la soupe et de rajouter un dessert. Y aura-t-il plus de choix de menus pour le client ? Justifier la réponse.


12 points

exercice 2

Les parties A, B et C sont indépendantes.


Partie A

Un traiteur vient de s'installer dans un petit village. Les six premiers mois, il note le nombre de clients servis, en moyenne, par jour.
MoisJanvierFévrierMarsAvrilMaiJuin
Rang x_{i}123456
Nombre de clients servis y_{i}459162735

1. Représenter graphiquement le nuage de points \left(x_{i} ; y_{i}\right) associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
    sur l'axe des abscisses : 2 cm pour 1 mois ;
    sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 4 clients servis.

2. On considère un ajustement affine.
    a) Déterminer les coordonnées du point moyen G_{1} des trois premiers points du nuage (janvier à mars) et celles du point moyen G_{2} des trois derniers points du nuage (avril à juin).
    b) Placer G_{1} et G_{2} dans le repère.
    c) Vérifier que : y = \dfrac{20}{3}x - \dfrac{22}{3} est une équation de la droite \left(G_{1} G_{2}\right).
    d) Tracer cette droite dans le repère précédent.
    e) En déduire graphiquement le nombre prévisible de clients servis en moyenne par jour, au mois d'août. (Indiquer votre lecture graphique à l'aide de pointillés)

Partie B

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 8] par :
f(x) = x^2 + 3 -2 \ln x.
On appelle \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans le repère de la partie A.

1. a) Déterminer la fonction dérivée f^{\prime} de f et montrer que pour tout x de [1 ; 8] :
f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x}.

    b) Étudier le signe de f^{\prime}(x) sur [1 ; 8], puis dresser le tableau de variation de f.

2. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. (On donnera des valeurs arrondies à 10-1 près).
x12345678
f(x)   16,2    

3. Tracer \mathcal{C} dans le même repère que le nuage de points.

Partie C

On admet que la courbe \mathcal{C} constitue un meilleur ajustement du nuage de points. Donner une nouvelle estimation du nombre moyen de clients servi par jour par le traiteur pendant le mois d'août. Justifier la réponse.
Publié le
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