Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Session Juin 2012 - Métropole

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Sur le site http://www.agencebio.org, on a extrait des informations concernant l'agriculture en France métropolitaine.

Document 1
En 2008, la surface agricole utilisée (SAU) était de 27 537 688 hectares dont 583 799 hectares en mode de production biologique.

Document 2

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Rang de l'année : $x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7	8
Surface en mode de production biologique (en hectares)	419 750	517 965	550 990	534 037	550 488	552 824	557 133	583 799
Part (en %) de la surface en mode de production biologique dans la SAU : $y_i$	1,4	1,75	1,87	1,93	1,99	2	2,02	2,12

Partie A

1. D'après le document 2, la part de la surface en mode de production biologique dans la SAU est de 2,12% en 2008. En utilisant le document 1, justifier par un calcul cette information.

2. Calculer le pourcentage d'évolution de la surface en mode de production biologique entre 2007 et 2008. Ce pourcentage sera arrondi à 0,01%.

Partie B

On a représenté, sur l'annexe, partie B, à rendre avec la copie, le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ .

1. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10^-2.

2. Tracer cette droite dans le repère fourni sur l'annexe, partie B.

3. À l'occasion d'un TPE, un groupe d'élèves a trouvé sur une autre page du site qu'en 2009 et en 2010, les parts de la surface en mode de production biologique dans la SAU sont respectivement 2,46% et 3,09%.
L'ajustement affine précédent est-il adapté à ces nouvelles données ?

Partie C

Pour la suite de ce TPE, les élèves ont modélisé à l'aide d'un logiciel l'évolution de la part de surface en mode de production biologique dans la SAU sur la période de 2001 à 2012 par la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 12] par $f(x) = 0,0096 x^3 - 0,1448 x^2 + 0,7132 x + \0,813$ . Cet ajustement est représenté sur l'annexe, partie C.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le Grenelle de l'environnement s'est fixé comme objectif d'avoir 6% de la SAU en mode de production biologique en 2012. Selon ce modèle, peut-on espérer que cet objectif soit atteint ?

Annexes à rendre avec la copie
Partie B

bac économique et social Métropole Juin 2012 - terminale : image 1

Partie C

bac économique et social Métropole Juin 2012 - terminale : image 2

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La Fédération e-commerce et Vente à Distance (FEVAD) a effectué en octobre 2010 une enquête auprès de 719 acheteurs à distance âgés de 18 ans et plus. Sur le questionnaire proposé, ces personnes ont été interrogées sur le nombre de familles de produits (vêtements, informatique, loisirs, ...) achetés à distance au cours des 12 derniers mois. L'étude statistique a permis d'obtenir les informations suivantes :

bac économique et social Métropole Juin 2012 - terminale : image 3

Parmi les acheteurs de 1 à 2 familles de produits, 45 % sont retraités.

Parmi les acheteurs de 3 à 4 familles de produits, 25 % sont retraités.

Le responsable des ventes tire un questionnaire au hasard, chacun ayant la même probabilité d'être tiré. On note :
    A l'évènement : «Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 1 à 2 familles de produits».
    B l'évènement : «Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 3 à 4 familles de produits».
    C l'évènement : «Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 5 familles de produits ou plus».
    R l'évènement : «Le questionnaire tiré est celui d'un retraité».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre.

2. a) Calculer la probabilité $p(\text{A} \cap \text{R})$ .
    b) Déterminer la probabilité de l'évènement: «Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits».
    c) On sait de plus que 21,7% des acheteurs interrogés sont des retraités.
Vérifier que $p(\text{C} \cap \text{R}) = 0,027$ .

3. Le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire dès lors que le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus est inférieur à 8%.
Quelle décision prendra-t-il ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une région se divise en deux zones :
une zone A à proximité d'une grande agglomération,
une zone B à proximité de la mer.
Chaque année, 20% des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5% des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.
On sait de plus qu'en 2010, 40% de la population habitait en zone A.
On suppose que le nombre total d'habitants de la région reste constant au cours du temps.
Pour tout entier naturel $n$ , l'état probabiliste correspondant à l'année 2010 + $n$ est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ , où $a_{n}$ et $b_{n}$ désignent respectivement les proportions d'habitants des zones A et B.

1. Déterminer la matrice ligne $P_{0}$ de l'état initial.

2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

3. a) Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
    b) Donner la répartition de la population en 2012.

4. Dans la question suivante, on considère la matrice ligne $P = (a\quad b)$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a + b = 1$ .
    a) Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = PM$ .
    b) Les infrastructures de la zone B permettent d'accueillir au maximum 75% de la population. Lors d'un conseil municipal, le maire affirme qu'il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. A-t-il raison ?

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 6]. Le point A(1 ; 4) appartient à la courbe $C$ . La tangente en A à la courbe $C$ est parallèle à l'axe des abscisses.
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .

bac économique et social Métropole Juin 2012 - terminale : image 4

1. Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 1 est égal à :

a) 4

b) 0

c) -2

d) 1

2. Sur l'intervalle ]0 ; 6], l'inéquation $f^{\prime}(x) \ge 0$ admet comme ensemble de solutions :

a) ]0 ; 1]

b) ]0 ; 6]

c) [1 ; 6]

d) [4 ; 9]

3. On pose $\displaystyle I = \int_{3}^5 f(x)\:\text{d}x$ . On peut affirmer que :

a) 12 < I < 13

b) 0 < I < 2

c) 5 < I < 8

d) - 2 < I < 0

4. On appelle $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; 6]. L'expression de $F$ peut être :

a) $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

b) $F(x) = 2+ \dfrac{1}{x}$

c) $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + \ln x$

d) $F(x) = 2x + \ln x$

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par $f(x) = (200x - 300)\text{e}^{-x-1} + 10$ Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6].

bac économique et social Métropole Juin 2012 - terminale : image 5

Partie A : objectif «réaliser un bénéfice maximal»

L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.
Il décide donc d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6]. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle [0 ; 6]. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .

1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 6], $f^{\prime}(x) = (500 - 200x)\text{e}^{-x-1}$
2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6].

3. En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro).

4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$ .

Partie B : objectif «ne pas vendre à perte»

1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?

2. Démontrer que sur l'intervalle [1 ; 2] l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ .

3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-2 près.

4. Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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