Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Avril 2012 - Pondichéry

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.

1. À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?

2. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel :
«rand(1, 50)» permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1 ; 50]
l'écriture « $x := y$ » désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$ .

Variables		$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier
Initialisation		$a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$
Traitement		Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$
		Début du tant que
		$a := \text{rand}(1, 50) \:;\: b := \text{rand}(1, 50) \:;\: c := \text{rand}(1, 50) \:;\:d := \text{rand}(1, 50) \:;\: e := \text{rand}(1, 50)$
		Fin du tant que
Sortie		Afficher $a, b, c, d, e$

    a) Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme:
$L_{1} = \lbrace 2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15 \rbrace$ ; $L_{2} = \lbrace 8, 17,41,34, 6 \rbrace$ ; $L_{3} = \lbrace 12, 17,23,17, 50 \rbrace$ ; $L_{4} = \lbrace 45, 19,43,21, 18 \rbrace$ ?
    b) Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course.
    a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
    b) On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
    il a été contrôlé 5 fois exactement;

il n'a pas été contrôlé;
il a été contrôlé au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : «le contrôle est positif», et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$ .
On appelle $D$ l'évènement: «le coureur est dopé».
Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que :
si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ;
si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer $P(D)$ .

2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Dans le repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on considère :
les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : $\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0$ et $\mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0$ .
la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&=&-3-2t \\ y&=&2t \\ z&=&1+2t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}$ . Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .
Proposition 2
La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$ .
Proposition 3
L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&=&1-t' \\ y&=&-1-2t' \\ z&=&t' \\ \end{array}\right. \quad t' \in \mathbb{R}$ . Proposition 4
Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : $\displaystyle I_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x$ et $\displaystyle J_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x$ .
1. Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0 ; 1] par $f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}$ pour différentes valeurs de $n$ :

Bac scientifique Pondichéry Avril 2012 - terminale : image 1

    a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche.
    b) Démontrer cette conjecture.

2. a) Montrer que pour tout entier $n \ge 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1] : $0 \le \dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} \le \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\le \text{e}^{- nx}$ .
    b) Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.

3. a) Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $n \ge 1$ : $I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right)$ .
    b) En déduire $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} nI_{n}$ .

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$ . On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$ .
Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$ .

Partie B - Étude d'une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , on désigne par A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.
Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$ , associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: $z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}$
1. Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = -2 + \text{i}$ .
    a) Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C' image de C par la transformation $f$ , et placer les points C et C' dans le repère donné en annexe.
    b) Montrer que le point C' appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
    c) Montrer que les points A, C et C' sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$ .

3. Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1$ , $\dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D' par la transformation $f$ .

Bac scientifique Pondichéry Avril 2012 - terminale : image 2

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Restitution organisée de connaissance

Soit $a, b, c, d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul.
Montrer que si $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ alors $ac \equiv bd \pmod n$ .

Partie B - Inverse de 23 modulo 26

On considère l'équation $(E) \::\quad 23x - 26y = 1$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (-9 ; -8) est solution de l'équation $(E)$ .

2. Résoudre alors l'équation $(E)$ .

3. En déduire un entier $a$ tel que $0 \le a \le 25$ et $23a \equiv 1 \pmod {26}$ .

Partie C - Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

On obtient un couple d'entiers $\left(x_{1} ; x_{2}\right)$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.
Étape 2 $\left(x_{1} ; x_{2}\right)$ est transformé en $\left(y_{1} ; y_{2}\right)$ tel que : $\left(S_{1}\right)\:\: \left\lbrace\begin{array}{l c l l} y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26} \\ y_{2} &\equiv& 7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.$    avec $0 \le y_{1} \le 25$ et $0 \le y_{2} \le 25$ .
Étape 3 $\left(y_{1} ; y_{2}\right)$ est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.

Exemple : $\underbrace{\text{TE}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow}(19,4) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (13,19) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow}\underbrace{\text{NT}}_{{\text{mot codé}}}$

1. Coder le mot ST.

2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage:
    a) Montrer que tout couple $\left(x_{1} ; x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{1}\right)$ , vérifie les équations du système : $\left(S_{2}\right)\:\: \left\lbrace\begin{array}{l c l l} 23x_{1} &\equiv& 4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26} \\ 23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.$
    b) À l'aide de la partie B, montrer que tout couple $\left(x_{1} ; x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$ , vérifie les équations du système $\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} x_{1}&\equiv& 16y_{1} + y_{2} &\pmod {26} \\ x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.$
    c) Montrer que tout couple $\left(x_{1} ; x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$ , vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$
    d) Décoder le mot YJ.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Il faut choisir au hasard sans ordre ni répétition 5 coureurs parmi 50 donc à l'issue de chaque étape, on peut former de $\left( \begin{array}{c} 50 \\ 5 \end{array} \right)$ soit 2 118 760 groupes différents de 5 coureurs.

2. a) L₁ = {2, 11, 44, 2, 15} ; exclu (a = d)
L₂ = {8, 17, 41, 34, 6} ; possible : 5 nombres deux à deux distincts compris entre 1 et 50
L₃ = {12, 17, 23, 17, 50} ; exclu (b = d)
L₄ = {45, 19, 43, 21, 18} possible : 5 nombres deux à deux distincts compris entre 1 et 50.

2. b) L'algorithme consiste à choisir 5 numéros deux à deux distincts pris entre 1 et 50 donc à choisir les dossards des cyclistes qui subiront un test anti-dopage

3. A l'issue de chaque étape, on peut former de $\left( \begin{array}{c} 50 \\ 5 \end{array} \right)$ groupes différents de 5 coureurs.
On choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants, on peut former $\left( \begin{array}{c} 49 \\ 4 \end{array} \right)$ groupes différents de 5 coureurs dans lesquels figure le coureur choisi donc la probabilité qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est $\dfrac{\left( \begin{array}{c} 49\\ 4 \end{array} \right)}{\left( \begin{array}{c} 50 \\ 5 \end{array} \right)}} = \dfrac{49!}{4! 45!} \times \dfrac{5 ! 45 !}{50 !} = \dfrac{5}{50}$ soit 0,1.

4. a) On a une succession de 10 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d'elles a deux issues :
réussite : le coureur est contrôlé ( $p$ = 0,1)
échec : le coureur n'est pas contrôlé ( $q = 1 - p$ = 0,9)
donc la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de sachets défectueux achetés, suit une loi binomiale de paramètres (10 ; 0,1).
$p(X = k) = \left( \begin{array}{c} 10 \\ k \end{array} \right) \times 0,1^k \times 0,9^{10 - k}$ avec $0 \leq k \leq 10$ .

4. b) $P(X = 5) = \left( \begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array} \right) \times 0,1^5 \times 0,9^5 = 0,0015$
$P(X = 0) = 0,9^{10} = 0,3487\\ P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 0,6513$

Partie B

Bac scientifique Pondichéry Avril 2012 - terminale : image 3

1. $P(T) = P(D \cap T) + P(\overline{D} \cap T) = p \times 0,97 + (1 - p) \times 0,01 = 0,01 + 0,96 p$
$P(T) = 0,05$ donc $0,01 + 0,96 p = 0,05$ donc $0,96 p = 0,04$ donc $p = \dfrac{0,04}{0,96} = \dfrac{1}{24}$

2. $P(\overline{D} \cap T) = (1 - p) \times 0,01 = \dfrac{0,23}{24}$ donc $P(\overline{D} / T) = \dfrac{P(\overline{D} \cap T )}{P(T)} = \dfrac{\dfrac{0,23}{24}}{0,05} = \dfrac{0,23}{24} \times \dfrac{1}{0,05} = \dfrac{23}{120}$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Proposition 1 : VRAIE
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(1 ; - 1 ; - 1)$ , un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u} (- 2 ; 2 ; 2)$ , $\vec{u} = 2 \vec{n}$ donc la droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .

Proposition 2 : FAUSSE
La distance de O à P est égale à $\dfrac{|0 - 0 - 0 - 2 |}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ , cette distance est inférieure au rayon de la sphère donc la sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 n'est pas tangente au plan $\mathcal{P}$ , le plan $\mathcal{P}$ coupe la sphère suivant un cercle.

Proposition 3 : VRAIE
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$ ne sont pas parallèles donc se coupent suivant une droite d.
Si $t = 0$ , le point A de $\Delta$ a pour coordonnées (1 ; - 1 ; 0) ; or 1 -( - 1) - 0 - 2 = 0 donc $A \in \mathcal{P}$ et 1 - 1 + 3 × 0 = 0 donc $A \in \mathcal{P}'$ .
Si $t = 1$ , le point B de $\Delta$ a pour coordonnées (0 ; - 3 ; 1) ; or 0 - ( - 3) - 1 - 2 = 0 donc $A \in \mathcal{P}$ et 0 - 3 + 3 × 1 = 0 donc $B \in \mathcal{P}'$ .
L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite (AB) donc la droite $\Delta$ .

L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est $\left \lbrace \begin{array}{l} x = 1 - t' \\ y = -1 - 2 t' \\ z = t' \end{array} \right. t' \in \mathbb{R}$

Proposition 4 : FAUSSE
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u} (- 2 ; 2 ; 2)$ , un vecteur directeur de est v (- 1 ; - 2 ; 1), les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles donc elles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes.
Cherchons s'il existe $t$ et $t'$ tels que $\left \lbrace \begin{array}{l} x = -3 - 2t = 1 - t' \\ y = 2t = -1 - 2t' \\ z = 1 + 2t = t' \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} -2t + t' = 4 \\ 2t + 2t' = -1 \\ 2t - t' = 1 \end{array} \right.$
La première condition et la troisième ne sont pas compatibles : $-2 t + t' = 4$ et $2 t - t' = 1 \Longleftrightarrow 0 = 5 !$ donc le système n'a pas de solution, les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ne sont pas coplanaires.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère les suites $(I_n)$ et $(J_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : $I_n = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{1 + x} dx$ et $J_n = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{(1 + x)^2} dx$ 1. a) $I_0$ est l'aire comprise entre la courbe $f_0$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$
$I_1$ est l'aire comprise entre la courbe $f_1$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$
$I 2$ est l'aire comprise entre la courbe $f_2$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$
$I_3$ est l'aire comprise entre la courbe $f_3$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$
Etant donné la position relative des courbes, $I_0 > I_1 > I_2 > I_3$ . La suite semble être décroissante.

1. b) $f_{n+1}(x) - f_n(x) = \dfrac{e^{-(n+1)x}}{1 + x} - \dfrac{e^{-nx}}{1+x} = \dfrac{e^{-nx}(e^{-x} - 1)}{1 + x}$
$x \in [0 ; 1]$ donc $-x \leq 0$ donc $e^{-x} \leq 1$ donc $e^{-x} - 1 \leq 0$ , de plus la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , et $1 + x \geq 0$ sur [0 ; 1] donc $\dfrac{e^{-nx}(e^{-x} - 1)}{1 + x} \leq 0$ donc sur [0 ; 1], $f_{n + 1}(x) - f_ n(x) \leq 0$ .
Les fonctions $f_n, \, f_{n + 1}$ sont continues sur [0 ; 1] et $0 \leq 1$ donc $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{-(n+1)x}}{1 + x} dx \leq \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{1+x} dx$ soit $I_{n+1} \leq I_n$ donc la suite $(I_n)$ est décroissante.

2. a) $0 \leq x \leq 1$ donc $1 \leq 1 + x$ donc $1 \leq 1 + x \leq (1 + x)^2$ donc $0 \leq \dfrac{1}{(1 + x)^2} \leq \dfrac{1}{1 + x} \leq 1$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , donc en multipliant les termes de l'inégalité précédente par $e^{-nx}$ , on a pour tout entier $n > 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1] : $0 \leq \dfrac{e^{-nx}}{(1 + x)^2} \leq \dfrac{e^{-nx}}{1 + x} \leq e^{-nx}$

3. b) Les fonctions $f_n$ et $x \mapsto \dfrac{e^{-nx}}{(1 + x)^2}$ et $x \mapsto e^{-nx}$ sont continues sur [0 ; 1] et $0 \leq 1$ donc $0 \leq \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{(1 + x)^2} dx \leq \int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{1 + x} dx \leq \displaystyle \int_0^1 e^{-nx} dx$ soit $0 \leq J_n \leq I_n \leq \left[ - \dfrac{1}{n} e^{-nx} \right]_0^1$ soit $0 \leq J_n \leq I_n \leq \dfrac{1}{n} (1 - e^{-1})$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} (1 - e^{-1}) = 0$ donc d'après le théorème des gendarmes : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} J_n = \lim_{n \to + \infty} I_n = 0$

3. a) Soit $\left \lbrace \begin{array}{lcl} u'(x) = e^{-nx}& \hspace{5pt} & u(x) = - \dfrac{1}{n} e^{-nx} \\ v(x) = \dfrac{1}{1+x} && v'(x) = - \dfrac{1}{(1 + x)^2} \\ \end{array} \right.$ donc $I_n = \left[ -\dfrac{1}{n} e^{-nx} \times \dfrac{1}{1 + x} \right]_0^1 - \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{n} e^{-nx} \times \dfrac{1}{(1 + x)^2} dx$
$I_n = \left[ - \dfrac{1}{n} e^{-n} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{n} \right]_0^1 - \dfrac{1}{n} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{(1 + x)^2} dx$
$I_n = \dfrac{1}{n} \left( - \dfrac{e^{-n}}{2} + 1 \right) - \dfrac{1}{n} J_n$ donc pour tout entier $n \geq 1 : I_n = \dfrac{1}{n} \left(1 - \dfrac{e^{-n}}{2} - J_n \right)$

3. b) $n I_n = 1 - \dfrac{e^{-n}}{2} - J_n$ or $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} J_n = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{e^{-n}}{2} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n I_n = 1$

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissance

si $a \equiv b (\text{mod } n)$ , $n$ divise $a -b$ donc il existe un entier relatif $q$ tel que $a - b = n q$ donc $a = b + n q$
si $c \equiv d (\text{mod } n)$ , $n$ divise $c -d$ donc il existe un entier relatif $q'$ tel que $c - d = n q'$ donc $c = d + n q'$
$a c = (b + n p) (d + n q') = b d + n (b q' + d p + n p p')\\ a c - b d = n (b q' + d p + n p p')$
$(b q' + d p + n p p')$ est un entier relatif donc $n$ divise $a c - b d$ donc $a c \equiv b d (\text{mod } n)$ .

Partie B : Inverse de 23 modulo 26

1. 23 × (- 9) = 207 et 26 × (- 8) = 208 donc 23 × (- 9) - 26 × (- 8) = 1
Le couple (-9 ; - 8) est solution de l'équation (E).

2. $\left \lbrace \begin{array}{l} 23 x - 26y = 1\\ 23 \times (- 9) - 26 \times (- 8) = 1\\ \end{array} \right.$ donc par différence membre à membre : $23 (x + 9) - 26 (y + 8) = 0$
$23 (x + 9) = 26 (y + 8)$ , donc 23 divise $26 (y + 8)$ or 23 et 26 sont premiers entre eux donc 23 divise $y + 8$
Il existe un entier relatif $k$ tel que $y + 8 = 23 k$ donc $y = 23 k - 8$
En remplaçant dans $23 (x + 9) = 26 (y + 8)$ , alors $x + 9 = 26 k$ donc $x = 26 k - 9$
Vérification si $x = 26 k - 9$ et $y = 23 k - 8$ alors $23 x - 26 y = 23 (26 k - 9) - 26 (23 k - 8) = 23 \times (- 9) - 26 \times (- 8) = 1$
Les solutions de l'équation (E) sont les couples $(26 k - 9 ; 23 k - 8)$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

3. si $23 a \equiv 1 (\text{mod } 26)$ il existe un entier relatif $b$ tel que $23 a - 26 b = 1$ donc $a = 26 k - 9$
$0 \leq a \leq 25$ donc $k = 1$ et $a = 26 - 9 = 17$

Partie C : Chiffrement de Hill

1. $\stackrel{\text{S T}}{\text{mot en clair}} \stackrel{\text{étape }1}{\longrightarrow} (18 , 19).$
$\left \lbrace \begin{array}{l} y_1 = 11 \times 18 + 3 \times 19 \text{ mod } 26 \\ y_2 = 7 \times 18 + 4 \times 19 \text{mod } 26 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} y_1 \equiv 225 \text{ mod } 26 \\ y_2 \equiv 202 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ or 255 = 26 × 9 + 21 et 202 = 26 × 7 + 20
donc $y_1 = 21$ et $y_2 = 20$
$\stackrel{\text{S T}}{\text{mot en clair}} \stackrel{\text{étape }1}{\longrightarrow} (18 , 19) \stackrel{\text{étape }2}{\longrightarrow} (21 , 20) \stackrel{\text{étape }3}{\longrightarrow} \stackrel{\text{V U}}{\text{mot codé}}$
Le mot ST est codé par VU.

2. a) $(S_1) \left \lbrace \begin{array}{l} y_1 \equiv 11 x_1 + 3 x_2 \text{ mod } 26 \\ y_2 \equiv 7 x_1 + 4 x_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ donc $\left \lbrace \begin{array}{l} 4 y_1 \equiv 44 x_1 + 12 x_2 \text{ mod } 26 \\ 23 y_2 \equiv 141 x_1 + 112 x_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ et $\left \lbrace \begin{array}{l} 19 y_1 \equiv 209 x_1 + 57 x_2 \text{ mod } 26\\ 11 y_2 \equiv 77 x_1 + 44 x_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$
Or 209 = 26 × 8 + 1 ; 57 = 26 × 2 + 5 ; 77 = 26 × 2 + 25 et 44 = 26 + 18
donc $\left \lbrace \begin{array}{l} 4y_1 \equiv 18 x_1 + 12 x_2 \text{ mod } 26 \\ 23 y_2 \equiv 5 x_1 + 14 x_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ et $\left \lbrace \begin{array}{l} 19 y_1 \equiv x_1 + 5x_2 \text{ mod } 26\\ 11 y_2 \equiv 25 x_1 + 18 x_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$
En additionnant terme à terme $\left \lbrace \begin{array}{l} 4 y_1 \equiv 18 x_1 + 12 x_2 \text{ mod} 26 \\ 23 y_2 \equiv 5 x_1 + 14 x_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ donc $4 y_1 + 23 y_2 = 23 x_1 + 26 x_2 (\text{ mod } 26)$
et $\left \lbrace \begin{array}{l} 19y_1 \equiv x_1 + 5x_2 \text{ mod } 26\\ 11 y_2 \equiv 25 x_1 + 18 x_2 \text{ mod } 26\\ \end{array} \right.$ donc $19 y_1 + 11 y_2 = 26 x_1 + 23 x_2 (\text{ mod } 26)$
donc tout couple $(x_1 , x_2)$ vérifiant les équations du système $(S_1)$ , vérifie les équations du système $\left \lbrace \begin{array}{l} 23 x_1 \equiv 4 y_1 + 23 y_2 \text{ mod } 26 \\ 23 x_2 \equiv 19 y_1 + 11 y_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$

2. b) $\left \lbrace \begin{array}{l} 23 x_1 \equiv 4 y_1 + 23 y_2 \text{ mod } 26 \\ 23 x_2 \equiv 19 y_1 + 11 y_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ donc en multipliant par 17 puisque $23 \times 17 \equiv 1 (\text{ mod } 26)$ $\left \lbrace \begin{array}{l} 23 x_1 \equiv 4 y_1 + 23 y_2 \text{ mod } 26 \\ 23 x_2 \equiv 19 y_1 + 11 y_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ donc $\left \lbrace \begin{array}{l} 23 \times 17 x_1 \equiv 4 \times 17 y_1 + 23 \times 17 y_2 \text{ mod } 26\\ 23 \times 17 x_2 \equiv 19 \times 17 y_1 + 11 \times 17 y_2 \text{ mod } 26\\ \end{array} \right.$

$n$	4 × 17	23 × 17	19 × 17	11 × 17
reste de la division de $n$ par 23	16	1	11	5
quotient de la division de $n$ par 26	2	15	12	7

donc tout couple $(x_1 , x_2)$ vérifiant les équations du système $(S_2)$ , vérifie les équations du système $(S_3) \left \lbrace \begin{array}{l} x_1 \equiv 16 y_1 + y_2 \text{ mod } 26 \\ x_2 \equiv 11 y_1 + 5 y_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$

2. c) $\left \lbrace \begin{array}{l} 11 x_1 \equiv 16 \times 11 y_1 + 11 y_2 \text{ mod } 26\\ 3 x_2 \equiv 11 \times 3 y_1 + 5 \times 3 y_2 \text{ mod } 26\\ \end{array} \right.$ et $\left \lbrace \begin{array}{l} 7x_1 \equiv 16 \times 7y_1 + 7 y_2 \text{ mod } 26 \end{array} \right.$

$n$	16 × 11 = 176	11 × 3 = 33	16 × 7 = 112	11 × 4 = 44	5 × 4 = 20
reste de la division de $n$ par 26	20	7	8	18	9
quotient de la division de $n$ par 26	6	1	4	1	1

$\left \lbrace \begin{array}{l} 11 x_1 \equiv 20 \times y_1 + 11 y_2 \text{ mod } 26\\ 3x_2 \equiv 7y_1 + 15y_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ et $\left \lbrace \begin{array}{l} 7x_1 \equiv y_1 + 7y_2 \text{ mod } 26\\ 4x_2 \equiv 18 y_1 + 20y_2 \text{ mod } 26\\ \end{arary} \right.$
Par addition terme à terme :
$\left \lbrace \begin{array}{l} 11x_1 \equiv 20y_1 + 11y_2 \text{ mod } 26\\ 3x_2 \equiv 7y_1 + 15y_2 \text{ mod } 26\\ \end{array} \right.$ donc $11 x_1 + 3 x_2 \equiv 27 y_1 + 26 y_2 (\text{ mod } 26)$ soit $11 x_1 + 3 x_2 \equiv y_1 (\text{ mod } 26)$
$\left \lbrace \begin{array}{l} 7x_1 \equiv 8y_1 + 7y_2 \text{ mod } 26\\ 4x_2 \equiv 18y_1 + 20y_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ : donc $7 x_1 + 4 x_2 \equiv 26 y_1 + 27 y_2 (\text{ mod } 26)$ soit $7 x_1 + 4 x_2 \equiv y_2 (\text{ mod } 26)$
Tout couple $(x_1 , x_2)$ vérifiant les équations du système $(S_3) \, \left \lbrace \begin{array}{l} x_1 \equiv 16y_1 + y_2 \text{ mod } 26 \\ x_2 \equiv 11 y_1 + 5 y_2 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ , vérifie les équations du système $(S_1).$

2. d) $\stackrel{\text{Y J}}{\text{mot en clair}} \stackrel{\text{étape }1}{\longrightarrow} (24 , 9)$
$(y_1 ; y_2)$ donc $\left \lbrace \begin{array}{l} x_1 \equiv 16 \times 24 + 9 \text{ mod } 26\\ x_2 \equiv 11 \times 24 + 5 \times 9 \text{ mod } 26 \\ \end{arra} \right.$
or 16 × 4 + 9 = 26 × 15 + 3 et 11 × 24 + 5 × 9 = 11 × 26 + 23
donc $\left \lbrace \begin{array}{l} x_1 \equiv 3 \text{ mod } 26 \\ x_2 \equiv 23 \text{ mod } 26 \\ \end{array} \right.$ $\stackrel{\text{Y J}}{\text{mot codé}} \stackrel{\text{étape }1}{\longrightarrow} (24 , 9) \stackrel{\text{étape }2}{\longrightarrow} (3 , 23) \stackrel{\text{étape }3}{\longrightarrow} \stackrel{\text{D X}}{\text{mot en clair}}$
Le mot en clair est DX

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

$|z_1 z_2|^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1 z_2 \overline{z_1} \times \overline{z_2} = z_1 \overline{z_1} \times z_2 \overline{z_2} = |z_1|^2 |z_2|^2$
Le module d'un complexe est un réel positif donc $|z_1 z_2 | = |z_1| |z_2|$ .

Partie B : Étude d'une transformation particulière

1. Soit $C$ le point d'affixe $z_C = -2 + i$ .
1. a) L'affixe $z_{C'} = \dfrac{1 - z_C}{1 - (-2+i)}{-2-i-1} = \dfrac{3-i}{-3-i} = \dfrac{-3+i}'3+i} = \dfrac{(-3+i)(3-i)}{(3+i)(3+i)} = \dfrac{-9+6i+1}{10}$
L'affixe du point $C'$ image de $C$ par la transformation $f$ est $- 0,8 + 0,6 i$

1. b) $|-0,8 + 0,6i| = \sqrt{0,8^2 + 0,6^2} = 1$ donc OC' = 1 donc le point C' appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.

1. c) $\overrightarrow{AC}$ a pour affixe $z_C - z_A = -3 + i$ ; $\overrightarrow{AC'}$ a pour affixe $z_{C'} - z'A = - 1,8 + 0,6 i = 0,6 \times ( - 3 + i )$ donc $\overrightarrow{AC'} = 0,6 \overrightarrow{AC}$ .
Les points A, C et C ' sont alignés.

2. $f(M) = A \Longleftrightarrow \dfrac{1 - z}{\bar{z} - 1} \text{ et } z \neq 1$ $\Longleftrightarrow 1 - z = \bar{z} - 1 \text{ et } z \neq 1 \Longleftrightarrow z + \bar{z} = 2 \text{ et } z \neq 1$
Il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $z = x + i y$ alors $f(M) = A \Longleftrightarrow z + \bar{z} = 2 \text{ et } z \neq 1$ $\Longleftrightarrow 2 x = 2 \text{ et } x + i y \neq 1 \Longleftrightarrow x = 1 \text{ et } M \neq A$
L'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point $A$ pour image par la transformation $f$ est la droite d'équation $x = 1$ privée du point $A$ .

3. $|z'| = \left| \dfrac{1 - z}{\bar{z} - 1} \right| = \dfrac{|1 - z|}{|\bar{z} - 1|}$ or $|\bar{z} - 1| = |\bar{z-1}| = |z-1| = |1-z|$ donc $|z'| = 1$ soit $OM' = 1$
Pour tout point $M$ distinct de $A$ ; le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ .

4. $z' - 1 = \dfrac{1-z}{\bar{z} - 1} - 1 = \dfrac{1-z-(\bar{z} -1)}{\bar{z}-1} = \dfrac{2-z-\bar{z}}{\bar{z}-1}$
Il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $z = x + i y$ donc $\dfrac{z' -1}{z-1} = \dfrac{2-z-\bar{z}}{(\bar{z}-1)(z-1)} = \dfrac{2-2x}{|z-1|^2}$ .
Pour tout nombre complexe $z \neq 1 \, ; \, \dfrac{z' - 1}{z-1}$ est réel donc il existe un réel $k$ tel que $z' - 1 = k ( z - 1)$ soit $AM ' = k AM$ .
Les points A, M et M' sont alignés.

5. D n'appartient pas à la droite d'équation $x = 1$ donc $f(D) \neq A$ .
Les points A, D, D' sont alignés et D' appartient au cercle $\mathcal{C}$ donc D' est le deuxième point d'intersection autre que A de la droite (AD) et du cercle $\mathcal{C}$ .

Bac scientifique Pondichéry Avril 2012 - terminale : image 4

Publié par TP/Monique canalblog le 25-04-2016

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