Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Avril 2012 - Pondichéry
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.
1. À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?
2. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel :
«rand(1, 50)» permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1 ; 50]
l'écriture «» désigne l'affectation d'une valeur à une variable .
Variables
sont des variables du type entier
Initialisation
Traitement
Tant que ou ou ou ou ou ou ou ou ou
Début du tant que
Fin du tant que
Sortie
Afficher
a) Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme:
; ; ; ?
b) Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
3. À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.
4. On note la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course.
a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire ? Préciser ses paramètres.
b) On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
il a été contrôlé 5 fois exactement;
il n'a pas été contrôlé;
il a été contrôlé au moins une fois.
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle l'évènement : «le contrôle est positif», et d'après des statistiques, on admet que .
On appelle l'évènement: «le coureur est dopé».
Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que :
si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ;
si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.
1. Calculer .
2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Dans le repère orthonormé de l'espace, on considère :
les plans et d'équations :
et .
la droite ayant pour représentation paramétrique :
.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.
Proposition 1 La droite est orthogonale au plan .
Proposition 2 La sphère de centre O et de rayon 2 est tangente au plan .
Proposition 3 L'intersection des plans et est la droite dont une représentation paramétrique est :
.
Proposition 4 Les droites et sont coplanaires.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On considère les suites et définies pour tout entier naturel par :
et .
1. Sont représentées ci-dessous les fonctions définies sur l'intervalle [0 ; 1] par
pour différentes valeurs de :
a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite en expliquant la démarche.
b) Démontrer cette conjecture.
2. a) Montrer que pour tout entier et pour tout nombre réel de l'intervalle [0 ; 1] :
.
b) Montrer que les suites et sont convergentes et déterminer leur limite.
3. a) Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier :
.
b) En déduire .
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Soit un nombre complexe. On rappelle que est le conjugué de et que est le module de . On admet l'égalité : .
Montrer que, si et sont deux nombres complexes, alors .
Partie B - Étude d'une transformation particulière
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct , on désigne par A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.
Soit la transformation du plan qui à tout point d'affixe , associe le point d'affixe tel que:
1. Soit C le point d'affixe .
a) Calculer l'affixe du point C' image de C par la transformation , et placer les points C et C' dans le repère donné en annexe.
b) Montrer que le point C' appartient au cercle de centre O et de rayon 1.
c) Montrer que les points A, C et C' sont alignés.
2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation .
3. Montrer que, pour tout point distinct de A, le point appartient au cercle .
4. Montrer que, pour tout nombre complexe , est réel.
Que peut-on en déduire pour les points A, et ?
5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D' par la transformation .
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A - Restitution organisée de connaissance
Soit des entiers relatifs et un entier naturel non nul.
Montrer que si et alors .
Partie B - Inverse de 23 modulo 26
On considère l'équation
,
où et désignent deux entiers relatifs.
1. Vérifier que le couple (-9 ; -8) est solution de l'équation .
2. Résoudre alors l'équation .
3. En déduire un entier tel que et .
Partie C - Chiffrement de Hill
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :
Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
On obtient un couple d'entiers où correspond à la première lettre du mot et correspond à la deuxième lettre du mot.
Étape 2 est transformé en tel que :
avec et .
Étape 3 est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
Exemple :
1. Coder le mot ST.
2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage:
a) Montrer que tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système :
b) À l'aide de la partie B, montrer que tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système
c) Montrer que tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système d) Décoder le mot YJ.
1. Il faut choisir au hasard sans ordre ni répétition 5 coureurs parmi 50 donc à l'issue de chaque étape, on peut former de soit 2 118 760 groupes différents de 5 coureurs.
2. a) L1 = {2, 11, 44, 2, 15} ; exclu (a = d)
L2 = {8, 17, 41, 34, 6} ; possible : 5 nombres deux à deux distincts compris entre 1 et 50
L3 = {12, 17, 23, 17, 50} ; exclu (b = d)
L4 = {45, 19, 43, 21, 18} possible : 5 nombres deux à deux distincts compris entre 1 et 50.
2. b) L'algorithme consiste à choisir 5 numéros deux à deux distincts pris entre 1 et 50 donc à choisir les dossards des cyclistes qui subiront un test anti-dopage
3. A l'issue de chaque étape, on peut former de groupes différents de 5 coureurs.
On choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants, on peut former groupes différents de 5 coureurs dans lesquels figure le coureur choisi donc la probabilité qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est soit 0,1.
4. a) On a une succession de 10 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d'elles a deux issues :
réussite : le coureur est contrôlé ( = 0,1)
échec : le coureur n'est pas contrôlé ( = 0,9)
donc la variable aléatoire qui compte le nombre de sachets défectueux achetés, suit une loi binomiale de paramètres (10 ; 0,1).
avec .
4. b)
Partie B
1. donc donc donc
2. donc
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Proposition 1 : VRAIE Un vecteur normal au plan est , un vecteur directeur de est , donc la droite est orthogonale au plan .
Proposition 2 : FAUSSE La distance de O à P est égale à , cette distance est inférieure au rayon de la sphère donc la sphère de centre O et de rayon 2 n'est pas tangente au plan , le plan coupe la sphère suivant un cercle.
Proposition 3 : VRAIE Les plans et ne sont pas parallèles donc se coupent suivant une droite d.
Si , le point A de a pour coordonnées (1 ; - 1 ; 0) ; or 1 -( - 1) - 0 - 2 = 0 donc et 1 - 1 + 3 × 0 = 0 donc .
Si , le point B de a pour coordonnées (0 ; - 3 ; 1) ; or 0 - ( - 3) - 1 - 2 = 0 donc et 0 - 3 + 3 × 1 = 0 donc .
L'intersection des plans et est la droite (AB) donc la droite .
L'intersection des plans et est la droite dont une représentation paramétrique est
Proposition 4 : FAUSSE Un vecteur directeur de est , un vecteur directeur de est v (- 1 ; - 2 ; 1), les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas
proportionnelles donc les droites et ne sont pas parallèles donc elles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes.
Cherchons s'il existe et tels que La première condition et la troisième ne sont pas compatibles : et donc le système n'a pas de solution, les droites et ne sont pas coplanaires.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On considère les suites et définies pour tout entier naturel par :
et
1. a) est l'aire comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est l'aire comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est l'aire comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est l'aire comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et Etant donné la position relative des courbes, . La suite semble être décroissante.
1. b) donc donc donc , de plus la fonction exponentielle est strictement positive sur , et sur [0 ; 1] donc
donc sur [0 ; 1], .
Les fonctions sont continues sur [0 ; 1] et donc soit donc la suite est décroissante.
2. a) donc donc donc La fonction exponentielle est strictement positive sur , donc en multipliant les termes de l'inégalité précédente par , on a pour tout entier et pour tout nombre réel de l'intervalle [0 ; 1] :
3. b) Les fonctions et et sont continues sur [0 ; 1] et donc
soit soit donc d'après le théorème des gendarmes :
3. a) Soit
donc donc pour tout entier
3. b) or et donc
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissance
si , divise donc il existe un entier relatif tel que donc si , divise donc il existe un entier relatif tel que donc est un entier relatif donc divise donc .
Partie B : Inverse de 23 modulo 26
1. 23 × (- 9) = 207 et 26 × (- 8) = 208 donc 23 × (- 9) - 26 × (- 8) = 1
Le couple (-9 ; - 8) est solution de l'équation (E).
2.
donc par différence membre à membre : , donc 23 divise or 23 et 26 sont premiers entre eux donc 23 divise Il existe un entier relatif tel que donc En remplaçant dans , alors donc Vérification si et alors Les solutions de l'équation (E) sont les couples avec .
3. si il existe un entier relatif tel que donc donc et
Partie C : Chiffrement de Hill
1.
or 255 = 26 × 9 + 21 et 202 = 26 × 7 + 20
donc et
Le mot ST est codé par VU.
2. a)
donc
et
Or 209 = 26 × 8 + 1 ; 57 = 26 × 2 + 5 ; 77 = 26 × 2 + 25 et 44 = 26 + 18
donc
et En additionnant terme à terme
donc et
donc donc tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système
2. b)
donc en multipliant par 17 puisque donc
4 × 17
23 × 17
19 × 17
11 × 17
reste de la division de par 23
16
1
11
5
quotient de la division de par 26
2
15
12
7
donc tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système
2. c)
et
16 × 11 = 176
11 × 3 = 33
16 × 7 = 112
11 × 4 = 44
5 × 4 = 20
reste de la division de par 26
20
7
8
18
9
quotient de la division de par 26
6
1
4
1
1
et
Par addition terme à terme :
donc soit
: donc soit Tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système
2. d) donc or 16 × 4 + 9 = 26 × 15 + 3 et 11 × 24 + 5 × 9 = 11 × 26 + 23
donc
Le mot en clair est DX
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Le module d'un complexe est un réel positif donc .
Partie B : Étude d'une transformation particulière
1. Soit le point d'affixe .
1. a) L'affixe L'affixe du point image de par la transformation est
1. b) donc OC' = 1 donc le point C' appartient au cercle de centre O et de rayon 1.
1. c) a pour affixe ; a pour affixe donc .
Les points A, C et C ' sont alignés.
2. Il existe deux réels et tels que alors L'ensemble des points du plan qui ont le point pour image par la transformation est la droite d'équation privée du point .
3. or donc soit Pour tout point distinct de ; le point appartient au cercle .
4. Il existe deux réels et tels que donc .
Pour tout nombre complexe est réel donc il existe un réel tel que soit .
Les points A, M et M' sont alignés.
5. D n'appartient pas à la droite d'équation donc .
Les points A, D, D' sont alignés et D' appartient au cercle donc D' est le deuxième point d'intersection autre que A de la droite (AD) et du cercle .
Publié par TP/Monique canalblog
le
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