Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Mai 2012 - Amérique du Nord
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les qutre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhère à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis.
Partie A
On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
l'événement «le membre choisit est une femme»,
l'événement «le membre choisit adhère à la section tennis».
1. Montrer que la probabilité de l'événement est égale à .
2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
Partie B
Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.
1. Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.
a) Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y a ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
b) Pour tout entier naturel non nul, on note la probabilité pour qu'en semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
Montrer que pour tout entier non nul, .
c) Déterminer le nombre minimal de semaines pour que .
2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.
Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ? puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l'urne.
On note la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 ?) réalisé par un joueur lors d'une partie de cette loterie.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire et interpréter le résultat obtenu.
5 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Partie A : Restitution organisée des connaissances
On rappelle que .
Démontrer que .
Partie B
On considère la fonction définie sur [1 ; +[ par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal .
1. Soit la fonction définie sur [1 ; +[ par .
Montrer que la fonction est positive sur [1 ; +[.
2. a) Montrer que, pour tout de [1 ; +[, .
b) En déduire le sens de variation de sur [1 ; +[.
c) Montrer que la droite d'équation est une asymptote à la courbe .
d) Étudier la position de la courbe par rapport à la droite .
3. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, on note respectivement et les points d'abscisse de et .
a) Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, la distance entre les points et est donnée par .
b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier supérieur ou égal à 2 tel que la distance soit inférieur ou égale à 10-2.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Soit une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que :
et pour tout de [0 ; 1].
On ne cherchera pas à déterminer .
Partie A
1. Déterminer le sens de variation de sur [0 ; 1].
2. Soit la fonction définie sur par .
a) Justifier que est dérivable sur , puis que, pour tout de , .
b) Montrer que, pour tout de , , en déduire que .
3. Montrer que, pour tout de [0 ; 1], .
Partie B
Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel non nul, .
1. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, .
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul , .
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul , .
c) En déduire la limite de la suite .
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère l'application du plan dans lui même qui, à tout point d'affixe , associe le point d'affixe telle que : .
On note le point d'affixe 1.
1. Déterminer l'ensemble des points du plan tels que .
2. Soit le point d'affixe .
a) Exprimer sous forme exponentielle.
b) En déduire les affixes des deux antécédents de par .
3. Déterminer l'ensemble des points d'affixe tels que l'affixe du point soit un nombre imaginaire pur.
4. Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble des points distincts de pour lesquels le triangle est rectangle isocèle direct en .
a) À l'aide de la rotation de centre et d'angle , montrer que est un point de si et seulement si et .
b) Montrer que .
c) En déduire l'ensemble .
5. Soit un point d'affixe différente de 0 et e 1.
a) Exprimer en fonction d'un argument de .
b) En déduire l'ensemble des points distincts de et de tels que , et soient alignés.
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
Soit la transformation du plan qui, à tout d'affixe , associe le point d'affixe telle que : .
Partie A
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
2. On note et , et les parties réelles et imaginaires respectives de et .
Démontrer que :
Partie B
Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées et du point sont des entiers relatifs tels que et .
On note l'ensemble de ces points .
On rappelle que les coordonnées du point , image du point par la transformation , sont et .
1. a) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs tels que .
b) En déduire l'ensemble des points de de coordonnées tels que .
2. Soit un point de l'ensemble et son image par la transformation .
a) Démontrer que est un multiple de 5.
b) Démontrer que et sont congrus modulo 2.
En déduire que si est multiple de 2 alors et le sont également.
c) Déterminer l'ensemble des points de tels que : .
1. a) On a une succession de 4 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d'elles a deux issues :
succès : un membre adhère à la section tennis échec : toutes les boules tirées ne sont pas blanches donc la variable aléatoire qui compte le nombre de fois qu'un membre adhère à la section tennis suit une loi binomiale de paramètres (4 ; 0,3).
1. b) L'événement « il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis » a pour événement contraire « il n'y a aucun membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis »
donc pour tout entier non nul, .
1. c) or donc
2. a) Un joueur doit payer 5 ? puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne donc le nombre de cas possibles est Soit il a deux jetons perdants et donc il perd - 5 ?
le nombre de cas favorables est donc Soit il a deux jetons gagnants et donc il gagne 2 × 20 - 5 = 35 ?
le nombre de cas favorables est donc Soit il a un jeton gagnant et un perdant et donc il gagne 20 - 5 = 15 ?
Le nombre de cas favorables est donc La loi de probabilité de la variable aléatoire est :
-5
15
35
2. b) Sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 1 ?.
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Soit donc soit ou , or donc donc
Partie B
On considère la fonction définie sur par .
1. La fonction définie sur par est la somme de fonctions dérivables sur : et donc est dérivable sur .
donc g est strictement croissante sur or donc pour tout de soit
2. a) La fonction définie sur par est la somme de fonctions dérivables sur : et
donc est dérivable sur .
donc pour tout de ,
2. b) Pour tout de , donc est croissante sur .
2. c) or donc donc la droite d'équation est asymptote à la courbe en .
2. d) or pour tout donc sur et quand La courbe de est en dessous de la droite sur et le point A(1 ; 1) est un point commun à la courbe de et à la droite .
3. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, on note respectivement et les points d'abscisse de et .
3. a) La courbe de est en dessous de la droite sur donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, la distance entre les points et est donnée par .
3. b)
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. donc sur [0 ; 1], donc est strictement croissante sur [0 ; 1].
2. a) La fonction est dérivable sur , pour tout de ,
et est dérivable sur [0 ; 1] donc est dérivable sur .
Règle utilisée : la dérivée de est ici et donc or donc donc . Pour tout de , .
2. b) Pour tout de , , donc, pour tout de , où est une constante réelle.
donc donc, pour tout de , pour tout de , donc donc or donc .
3. est strictement croissante sur [0 ; 1], et donc pour tout de [0 ; 1] ,
Partie B
1. Soit
donc : Si alors donc or si est une fonction dérivable strictement positive sur I, une primitive sur I de la fonction est la fonction donc or et donc
2. a) b) Pour tout de [0 ; 1], Pour tout entier naturel non nul , et tout de [0 ; 1], donc : Les fonctions sont continues sur [0 ; 1] donc donc .
Pour tout entier naturel non nul,
2. c) Pour tout entier naturel non nul, donc d'après le théorème des gendarmes
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. est l'ensemble des points O et du plan.
2. a)
2. b) Les affixes des antécédents de A par sont solutions de l'équation : z Mettons sous forme exponentielle, il existe un réel strictement positif et un réel tels que
alors donc en égalant modules et arguments : et donc et soit soit Les antécédents de A sont les points d'affixes et .
3. Soit avec et réels
est un imaginaire pur est un imaginaire pur imaginaire pur
imaginaire pur
est donc la réunion des droites d'équation et .
4. Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble des points M distincts de pour lesquels le triangle est rectangle isocèle direct en .
4. a) Soit la rotation de centre et d'angle .
Soit l'affixe de l'image de M par la rotation .
L'écriture complexe de la rotation de centre d'affixe et d'angle est : L'écriture complexe de est soit Le triangle est rectangle isocèle direct en M est un point de .
4. b)
4. c) M est un point de L'ensemble est réduit au point d'affixe .
5. a) à près
à près
à près.
5. b) M étant distinct de O et de , les points O, M et M' sont alignés si et seulement si à près ou
à près et et ou et et est un réel différent de 0 et 1.
L'ensemble des points M distincts de O et de tels que O, M et M' soient alignés est l'axe des réels privé de O et .
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
Soit la transformation du plan qui, à tout point d'affixe , associe le point d'affixe telle que : 4.
Partie A
1. L'écriture complexe de est de la forme avec donc est une similitude directe de rapport et d'angle soit .
Le centre de est le point invariant de donc son affixe est solution de Le centre de est le point d'affixe .
2. Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales donc
Partie B
1. a) 4 - 3 = 1 donc 4 × 5 - 3 × 5 = 5
donc par soustraction terme à terme :
4 divise or 4 est premier avec 3 donc d'après le théorème de Gauss 4 divise , il existe un entier relatif tel que En remplaçant dans alors donc et avec .
Vérification : donc les solutions de l'équation sont les couples avec .
1. b) donc soit donc et donc soit donc doit vérifier les deux conditions donc ou Si Si
L'ensemble des points M tels que est donc réduit aux points A(2 ; -1) et B(-1 ; 3).
A l'intérieur du carré limité par et la droite d'équation ne passe que par deux points à coordonnées entières A et B.
2. a) est un entier relatif donc est un multiple de 5.
est un multiple de 5.
2. b) Or et donc donc modulo 2.
est multiple de 2 2 divise 2 divise 2 est un nombre premier donc soit 2 divise soit 2 divise soit modulo 2 soit modulo 2.
[nl modulo 2 donc
si modulo 2 alors modulo 2.
si modulo 2 alors modulo 2.
donc si est multiple de 2 alors et le sont également.
2. c) est un diviseur de 4 donc D'où les possibilités :
-4
-2
-1
1
2
4
-1
-2
-4
4
2
1
-6
-4
-3
-1
0
2
3
4
6
-2
0
1
seul 0 est divisible par 5 donc est réduit au point O.
Publié par TP/Cherchell
le
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