Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Juin 2012 - Polynésie Française

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)$ .
On considère les points B(100 ; 100) et $\text{C}\left(50 ; \dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)$ et la droite (D) d'équation $y=x$ .
On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative, notée $\Gamma$ , est donnée en annexe.
On suppose de plus qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
pour tout $x$ réel, $f(x) = x\mathrm{e}^{a x+b}$ .
les points B et C appartiennent à la courbe $\Gamma$ .

1. a) Montrer que le couple $(a ; b)$ est solution du système : $\left \lbrace \begin{array}{l} 100a+b=0 \\ 50a+b=-\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$
    b) En déduire que, pour tout $x$ réel, $f (x) = x\mathrm{e}^{0,01x-1}$ .

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .

3. a) Montrer que pour tout $x$ réel, $f(x)=\dfrac{100}{\mathrm{e}}\times 0,01x \mathrm{e}^{0,01x}$
    b) En déduire la limite de $f$ en $-\infty$ .

4. Étudier les variations de la fonction $f$ .On donnera le tableau de variations complet.

5. Étudier la position relative de la courbe $\Gamma$ et de la droite (D).

6. a) Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale $\displaystyle \int_0^{100}f(t)\text{ d}t$ .
    b) On désigne par A l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 100$ , la droite (D) et la courbe $\Gamma$ .
Calculer A.
Annexe exercice 1

Bac scientifique Polynésie Française Juin 2012 - terminale : image 1

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right)$ , on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2 + 2\mathrm{i}$ , $b = -3 - 6\mathrm{i}$ et $c = 1$ .
La figure de l'exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. a) Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .
    b) En déduire l'affixe du point A' image de A par $r$ .
    c) Vérifier que l'affixe $s$ du point S milieu de [AA'] est $s=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}$ .
    d) Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. On construit de la même manière C' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ , Q le milieu de [CC'], B' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et P le milieu de [BB']. On admet que les affixes respectives de Q et de P sont $q =\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$ et $p = 2 - 5 \mathrm{i}$ .
    a) Démontrer que $\dfrac{s-q}{p-a}=-\mathrm{i}$ .
    b) En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.
Annexe exercice 2

Bac scientifique Polynésie Française Juin 2012 - terminale : image 2

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

On considère l'algorithme suivant :
les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$ .

Bac scientifique Polynésie Française Juin 2012 - terminale : image 3

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=3u_n-2n+3$ .

1. Calculer $u_1$ et $u_2$ .

2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n\ge n$ .
    b) En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ .

3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

4. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n = u_n - n +1$ .
    a) Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 3^n + n -1$ .

5. Soit $p$ un entier naturel non nul.
    a) Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$ , $u_n \geq 10^p$ ?
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$ .
    b) Justifier que $n_0 \leq 3p$ .
    c) Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$ .
    d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0$ , on ait $u_n \geq 10^p$ .

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On désigne par $x$ un réel appartenant à l'intervalle [0 ; 80].
Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges.
Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d'un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile.
Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d'un cercle, $x$ % ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile.

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l'urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d'un losange est égale à $0,12 + 0,004x$ .

2. Déterminer $x$ pour que la probabilité de tirer un cube marqué d'un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d'une étoile.

3. Déterminer $x$ pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d'un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que $x = 50$ .
Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu'il est marqué d'un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l'urne.
Les résultats seront arrondis au millième.

1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?

3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d'un cercle ?

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère l'équation (E) : $25x -108y =1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation.

2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

Partie B

Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$ .
On rappelle le petit théorème de Fermat : si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$ , alors $a^{ p-1}$ est congru à 1 modulo $p$ que l'on note $a^{ p-1} \equiv 1 [p]$ .

1. Soit $x$ un entier naturel.
Démontrer que si $x \equiv a [7]$ et $x \equiv a [19]$ , alors $x \equiv a [133]$ .

2. a) On suppose que $a$ n'est pas un multiple de 7.
Démontrer que $a^6 \equiv 1 [7]$ puis que $a^{108} \equiv 1 [7]$ .
En déduire que $\left(a^{25}\right)^g \equiv a [7]$ .
b) On suppose que a est un multiple de 7.
Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a [7]$ .
c) On admet que pour tout entier naturel $a$ , $\left(a^{25}\right)^g\equiv a [19]$ .
Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a [133]$ .

Partie C

On note A l'ensemble des entiers naturels $a$ tels que : $1 \leq a \leq 26$ .
Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.
La phase de codage consiste à associer, à chaque entier $a$ de A, l'entier $r$ tel que $a^{25}\equiv r [133]$ avec $0 \leq r< 133$ .
La phase de décodage consiste à associer à $r$ , l'entier $r_1$ tel que $r^{13}\equiv r_1 [133]$ avec $0 \leq r_1 < 133$ .

1. Justifier que $r_1 \equiv a [133]$ .

2. Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : $128 \qquad 59$ .
Décoder ce message.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) Sachant qu'il existe deux réels $a, b$ tels que pour tout $x\in \mathbb R$ , $f(x) = xe^{ax+b}$ , en évaluant en $x = 100$ , il vient : $f(100) = 100 e^{100 a + b}$ .
Le point $B\left(100; 100\right)$ étant sur $\Gamma$ , courbe représentative de $f$ , on a $f(100) = 100$ , donc en reportant : $100 = 100 e^{100 a + b}$
Après simplification par 100 et passage au logarithme : $100a + b = 0$

De la même manière, en évaluant l'équation $f(x) = xe^{ax+b}$ en $x = 50$ , on obtient $f(50) = 50e^{50a+b}$ , et le point $C\left(50; \dfrac{50}{\sqrt e}\right)$ étant sur $\Gamma$ , $f(50) = \dfrac{50}{\sqrt e}$ , donc $\dfrac{50}{\sqrt e} = 50e^{50a + b}$ , ce qui s'écrit aussi $e^{50a + b}\sqrt e = 1$ , i.e. $e^{50a + b}e^{1/2} = 1$ , c'est-à-dire $e^{50a + b+\frac{1}{2}} = 1$ d'où $50a + b + \dfrac{1}{2}$ = 0 après passage au logarithme.

Finalement, $a$ et $b$ vérifient le système : $\left \lbrace \begin{array}{l} 100a+ b=0 \\ 50a +b=-\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

1. b) Résolution du système précédent : en multipliant la seconde équation par 2, on obtient $100a + 2b = -1$ . En retranchant la première équation : $b = -1$ . En reportant $b = -1$ dans la première équation, il vient $100a - 1 = 0$ soit $a = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ .

2. On a $\lim\limits_{x \to +\infty} (0{,}01x - 1) = +\infty$ puisque $0,01 > 0$ , et $\lim\limits_{X\to+\infty} e^X = +\infty$ , donc par composition $\lim\limits_{x \to + \infty} e^{0{,}01x - 1} = +\infty$ .
De plus, $\lim\limits_{x\to+\infty} x = +\infty$ , donc, par produit de quantités qui tendent vers $+\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} xe^{0{,}01 x - 1} = +\infty$ i.e. $\lim\limits_{+\infty} f = +\infty$ .

3. a) Pour tout $x \in \mathbb R$ : $f(x) = x e^{0{,}01x - 1}$ soit $f(x) = x e^{0{,}01x}e^{-1} = \dfrac{1}{e}x e^{0{,}01x} = \dfrac{100}{e}\times\dfrac{1}{100}xe^{0{,}01x} = \dfrac{100}{e}\times 0{,}01 x e^{0{,}01x}$

3. b) On a $\lim\limits_{X \to -\infty} Xe^X = 0$ et comme $\lim\limits_{x \to -\infty} {0{,}01x} = -\infty$ , par composition, $\lim\limits_{X \to -\infty} 0{,}01x e^{0{,}01x} = 0$ .
Donc finalement $\lim\limits_{x\to-\infty} \left(\dfrac{100}{e}\times 0{,}01x e^{0{,}01x}\right) = 0$ i.e. $\lim\limits_{-\infty} f = 0$ .

4. Par produit, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ , et pour tout $x \in \mathbb R$ : $f'(x) = e^{0{,}01x - 1} + 0{,}01x e^{0{,}01x - 1} = (1 + 0{,}01x) e^{0{,}01x - 1}$

Publié par Cel/ovn le 21-10-2013

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