Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Centres Étrangers - Session Juin 2012

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal $(A ; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ .
On considère les points $I\left(1 ; \dfrac{1}{3} ; 0 \right)$ , $J \left( 0 ; \dfrac{2}{3} ; 1 \right)$ , $K \left( \dfrac{3}{4} ; 0 ; 1 \right)$ et $L(a ; 1 ; 0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant â l'intervalle [0 ; 1].

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2012 - terminale : image 1

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique
$\left \lbrace \begin{array}{l} x = \dfrac{3}{4} + t' \left( a - \dfrac{3}{4} \right)\\y = t'\\z = 1 - t'\\ \end{array} \right. \hspace{10pt} \text{ avec } t' \in \mathbb{R}$ 3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si $a = \dfrac{1}{4}$ .

Partie B

Dans toute la suite de l'exercice, on pose $a = \dfrac{1}{4}$ .
Le point L a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4} ; 1 ; 0 \right)$ .
1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.

2. La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2012 - terminale : image 2

Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
    a) Prouver que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK).
    b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8 x + 9 y + 5 z - 11 = 0$ .
    c) En déduire les coordonnées des points M et N.

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

On considère la suite $(I_n)$ définie pour $n$ entier naturel non nul par : $I_n = \displaystyle \int_0^1 x^n e^{x^2} dx$ .

1. a) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x e^{x^2}$ .
Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x) = \dfrac{1}{2} e^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$ .
    b) En déduire la valeur de $I_1$ .
    c) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier $n$ , supérieur ou égal à 1, on a : $I_{n+2} = \dfrac{1}{2} e - \dfrac{n+1}{2} I_n$ .
    d) Calculer $I_3$ et $I_5$ .

2. On considère l'algorithme suivant :

Initialisation	Affecter à $n$ la valeur 1 Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2} e - \dfrac{1}{2}$
Traitement	Tant que $n < 21$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2} e - \dfrac{n+1}{2}u$ Affecter à $n$ la valeur $n+2$
Sortie	Afficher $u$

Quel terme de la suite $(I_n)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ?

3. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ , $I_n \geq 0$ .
b) Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
c) En déduire que la suite $(I_n)$ est convergente.
On note $\ell$ sa limite.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la valeur de $\ell$ .

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère l'équation $(E)$ d'inconnue $x$ réelle : $e^x = 3(x^2 + x^3)$ .

Partie A : conjecture graphique

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3(x^2 + x^3)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2012 - terminale : image 3

À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $(E)$ et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique

1. a) Étudier selon les valeurs de $x$ , le signe de $x^2 + x^3$ .
    b) En déduire que l'équation $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty ; -1]$ .
    c) Vérifier que 0 n'est pas solution de l'équation $(E)$ .

2. On considère la fonction $h$ , définie pour tout nombre réel $x$ de $]-1 ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ par : $h(x) = \ln 3 + \ln (x^2) + \ln(1 + x) - x$ .
Montrer que, sur $]-1 ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ , l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation $h(x) = 0$ .

3. a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]- 1 ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ , on a $h'(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x+1)}$ .
    b) Déterminer les variations de la fonction $h$ .
    c) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.

4. Conclure quant à la conjecture de la partie A.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2012 - terminale : image 4

Affirmation : la probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé est égale à 0,32.

2. On considère une urne contenant $n$ boules rouges et trois boules noires, où $n$ désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire simultanément et au hasard deux boules dans l'urne.
Affirmation : il existe une valeur de $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$ .

3. Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ , on considère la transformation $t$ d'écriture complexe : $z' = -iz + 5 + i$ .
Affirmation : la transformation $t$ est la rotation de centre A d'affixe 3 - 2 i et d'angle de mesure $-\dfrac{\pi}{2}$ .

4. Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ : $z^2 - z \bar{z} - 1 = 0$ .
Affirmation : l'équation (E) admet au moins une solution.

5. Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points A, B et C d'affixes respectives : $a = - 1$ , $b = i$ et $c = \sqrt{3} + i (1 - \sqrt{3})$ .
Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60°.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l'équation $(E) \, : \, 3x - 2y = 1$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
Affirmation : les solutions de l'équation $(E)$ sont les couples $(9 + 2 k ; 13 +3 k)$ , avec $k$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs.

2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : $a = 3 n + 1$ et $b = 2 n + 3$ .
Affirmation : le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 7 si et seulement si $n$ est congru à 2 modulo 7.

3. Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par $a = 2n^2 + 7 n + 21$ et $b = 2 n + 2$ .
Affirmation : pour tout entier naturel $n$ , le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ sont respectivement égaux à $n + 2$ et à $n + 17$ .

4. Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère le point A d'affixe 3 + 4 i.
On note $s$ la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ .
Affirmation : la similitude directe réciproque $s^{-1}$ a pour écriture complexe : $z' = \dfrac{1-i}{2}z+\dfrac{-1+7i}{2}$ .

5. Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a = 1 + 2 i$ , $b = 4 - i$ , $c = 1 - 2\sqrt{3} + i (3 + \sqrt{3})$ et $d = 4 + \sqrt{3} + 4 i\sqrt{3}$ .
Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle $\dfrac{\pi}{3}$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x,y,z)$ .
$\begin{array}{rcl} M\in(IJ)&\Longleftrightarrow&\mathrm{il\ existe}\ t\in\mathbb{R},\ \overrightarrow{IM}=t\overrightarrow{IJ}\\ &\Longleftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{l}x-1=t(0-1)\\y-\dfrac{1}{3}=t \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3} \right)\\z=t(1-0)\end{array}\right.\\ &\Longleftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{l}x=1-t\\y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}t\\z=t\end{array}\right. \end{array}$
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $\fbox{\left\lbrace\begin{array}{l}x=1-t\\y= \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}t\\z=t\end{array}\right., t\in\mathbb{R}}$

2. Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x,y,z)$ .
$M \in (KL) \Longleftrightarrow \text{ il existe } t'\in\mathbb{R},\ \overrightarrow{KM}=t'\overrightarrow{KL}\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} x - \dfrac{3}{4} = t' \left(a - \dfrac{3}{4} \right) \\ y=t'(1-0)\\z-1=t'(0-1)\end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} x = \dfrac{3}{4}+t' \left(a - \dfrac{3}{4} \right) \\y=t'\\z=1-t'\end{array}\right.$
Ainsi, la droite $(KL)$ a bien pour représentation paramétrique : $\boxed{\left\lbrace\begin{array}{l} x=\dfrac{3}{4}+t' \left(a-\dfrac{3}{4} \right)\\y=t'\\z=1-t'\end{array}\right., t'\in\mathbb{R}}$

3. Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes si, et seulement si, il existe un point M de coordonnées $(x ; y ; z)$ tel que $M \in (IJ) \cap (KL)$
$\Longleftrightarrow \text{il existe } (t,t') \in \mathbb{R}^2, \left \lbrace \begin{array}{l}x=1-t=\dfrac{3}{4}+t' \left(a - \dfrac{3}{4} \right)\\ y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}t = t'\\ z=t=1-t'\end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l}1-t=\dfrac{3}{4}+t' \left(a - \dfrac{3}{4} \right)\\ \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}(1-t')= t'\\t=1-t'\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left \lbrace\begin{array}{l}1-t=\dfrac{3}{4}+t' \left(a - \dfrac{3}{4} \right)\\ t'=\dfrac{1}{2}\\t=\dfrac{1}{2} \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}a=\dfrac{1}{4}\\t=\dfrac{1}{2}\\t'=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$
Ainsi, les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes si, et seulement si, $\fbox{a=\dfrac{1}{4}}$ .

Partie B

1. Montrons que $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{LJ}$ .
$\overrightarrow{IK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}-1\\-\dfrac{1}{3}\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{4}\\-\dfrac{1}{3}\\1\end{pmatrix}$ .

$\overrightarrow{LJ}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{4}\\-\dfrac{1}{3}\\1\end{pmatrix}$ .
Ainsi, $\overrightarrow{IK}$ et $\overrightarrow{LJ}$ ont les mêmes coordonnées dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ donc ils sont égaux. Les points $IKJL$ forment donc un parallélogramme.

2. a) Comme le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ est orthonormal, on a :
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{IK} = 8 \times \dfrac{-1}{4}+9\times\dfrac{-1}{3}+5\times1=0$ ;
et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{IJ}=8\times(-1)+9\times\dfrac{1}{3}+5\times1=0$ .
De plus, $\overrightarrow{IK}$ et $\overrightarrow{IJ}$ ne sont pas colinéaires.
Donc $\vec{n}$ est orthogonal à $(\overrightarrow{IK},\overrightarrow{IJ})$ qui est une base du plan $(IJK)$ donc $\vec{n}$ est normal au plan $(IJK)$ .

2. b) Il existe donc $d\in\mathbb{R}$ tel que $(IJK)$ a pour équation cartésienne $8x+9y+5z+d=0$ .
Or $I \left(1,\dfrac{1}{3},0 \right)\in(IJK)$ donc $8+3+d=0 \Longleftrightarrow d=-11$ .
$(IJK)$ a donc pour équation cartésienne $\boxed{8 x + 9y + 5z - 11 = 0}$ .

2. c) Une description paramétrique de la droite $(BF)$ est $\left\lbrace\begin{array}{l}x=1\\ y=0\\z=t\end{array}\right.,t\in\mathbb{R}$ .
On a donc :
$\begin{array}{rcl} M(x,y,z)\in(IJK)\cap(BF)&\Longleftrightarrow&\mathrm{il\ existe}\ t\in\mathbb{R},\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=1\\y=0\\ z=t\\8x+9y+5z-11=0\end{array}\right.\\\\ &\Longleftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{l}x=1\\y=0\\z=t\\t=\dfrac{3}{5}\end{array}\right.\\\\ &\Longleftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{l}x=1\\y=0\\z=\dfrac{3}{5}\end{array} \end{array}$

Une description paramétrique de la droite $(DH)$ est $\left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\y=1\\z=t\end{array} \right.,t\in\mathbb{R}$ .
On a donc :
$\begin{array}{rcl} N(x,y,z)\in(IJK)\cap(DH)&\Longleftrightarrow&\mathrm{il\ existe}\ t\in\mathbb{R},\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\ y=1\\z=t\\8x+9y+5z-11=0\end{array}\right.\\\\ &\Longleftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\y=1\\z=t\\t=\dfrac{2}{5}\end{array}\right.\\\\ &\Longleftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\y=1\\z=\dfrac{2}{5}\end{array}\right. \end{array}$
Ainsi, $M$ a pour coordonnées $\left(1,0,\dfrac{3}{5} \right)$ et $N$ a pour coordonnées $\left(0,1,\dfrac{2}{5} \right)$ .

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a) $x\longmapsto x^{2}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ , domaine sur lequel $\exp$ est dérivable donc $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\forall\ x\in\mathbb{R},\ G'(x)=xe^{x^{2}}=g(x)$ . $G$ est donc une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ .

1. b) $I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{x^{2}}dx=\left[\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}\right]_{0}^{1}=\dfrac{e-1}{2}$ .
Ainsi $\fbox{I_{1}=\dfrac{e-1}{2}}$ .

1. c) Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$ .
$\begin{array}{rcl} I_{n}&=&\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}e^{x^{2}}dx\\ &=&\displaystyle\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}e^{x^{2}}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{n+1}\times2xe^{x^{2}}dx\ \text{ par théorème d'intégration par parties}\\ &=&\dfrac{e}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+2} \end{array}$

Donc $\forall\ n\geq 1,\ \fbox{I_{n+2}=\dfrac{e}{2}-\dfrac{n+1}{2}I_{n}}$ .

1. d) $\fbox{I_{3}=\dfrac{1}{2}}$ $\fbox{I_{5}=\dfrac{e}{2}-1}$ .

2. Pour $1\led n<19$ , $u$ prend la valeur $I_{n+2}$ puis $n$ prend $n+2$ . Ainsi, pour $n=19$ , $u$ prend $I_{21}$ et $n$ prend 21.
L'algorithme s'arrête alors, et renvoie donc $\fbox{I_{21}}$ .

3. a) $\forall\ n\in\mathbb{N}^{*},\ \forall\ x\in[0,1],\ x^{n}e^{x^{2}}\ge0$ donc, par positivité de l'intégrale, $\fbox{\forall\ n\in\mathbb{N}^{*},\ I_{n}\geq 0}$ .

3. b) Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$ .
$I_{n+1}-I_{n}=\displaystyle \int_{0}^{1}(x^{n+1}e^{x^{2}}-x^{n}e^{x^{2}})dx= \int_{0}^{1}(x-1)x^{n}e^{x^{2}}dx$
Comme, $\forall\ n\in\mathbb{N}^{*},\ \forall\ x\in[0,1],\ (x-1)x^{n}e^{x^{2}}\le0$ , par croissance de l'intégrale, $\forall\ n\in\mathbb{N}^{*},\ I_{n-1}-I_{n}\le0$ ie. $(I_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ est décroissante.

3. c) Étant décroissante et minorée par 0, la suite $(I_{n})_{n\ge1}$ converge.

4. Par croissance de la fonction exponentielle, on a $\forall\ x\in[0,1],\ e\ge e^{x^{2}}$ donc $\forall\ n\in\mathbb{N}^{*},\ \forall\ x\in[0,1],\ ex^{n}\ge x^{n}e^{x^{2}}$ .
Par croissance de l'intégrale, $\forall\ n\ge1\displaystyle\int_{0}^{1}ex^{n}dx\ge I_{n}$ .
Ainsi, $\forall\ n\ge1,\ 0\le I_{n}\le \dfrac{e}{n+1}$ donc par théorème d'encadrement, $(I_{n})_{n\ge1}$ converge vers 0.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersections entre les deux courbes donc on peut conjecturer que l'équation $(E)$ a deux solutions $-1<\alpha_{1}<0$ et $0<\alpha_{2}<1$ .

Partie B

1. a) Pour $x\in\mathbb{R}$ , $x^{2}+x^{3}=x^{2}(1+x)$ donc $x^{2}+x^{3}\ge0$ pour $x\ge-1$ et $x^{2}+x^{3}\le0$ pour $x\le-1$ .

1. b) $\forall\ x\in]-\infty,-1],\left\lbrace\begin{array}{l}3(x^{2}+x^{3})\le0\\e^{x}>0\end{array}\right.$ donc l'équation $(E)$ n'a pas de solutions sur cet intervalle.

1. c) $e^{0}=1\neq 0=3(0^{2}+0^{3})$ donc 0 n'est pas solution de $(E)$ .

2. Soit $x$ solution de $(E)$ . On a d'après les questions précédentes $x\in]-1,0[\cup ]0,+\infty[$ .
$(E) : e^{x}=3(x^{2}+x^{3})\Longleftrightarrow e^{x}=3x^{2}(x+1)\Longleftrightarrow x=\ln(3)+\ln(x^{2})+\ln(x+1)$
Donc $\fbox{\forall\ x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[,\ (E)\Longleftrightarrow h(x)=0}$ .

3. a) $h$ est dérivable sur $]-1,0[\cup]0,+\infty$ et $\forall\ x\in]-1,0[ \cup]0,+\infty[,\ h'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}}+\dfrac{1}{1+x}-1=\dfrac{2(1+x)+x-x(1+x)}{x(1+x)}$ .
Ainsi, $\fbox{\forall\ x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[,\ h'(x)=\dfrac{-x^{2}+2x+2}{x(x+1)}}$

3. b) Déterminons le signe du numérateur :
Le discriminant du trinôme est $\Delta=4+8=12>0$ donc le numérateur se factorise comme suit : $-x^{2}+2x+2 =-\left(x-\dfrac{-2+\sqrt{12}}{-2}\right)\left(x-\dfrac{-2-\sqrt{12}}{-2}\right)=-(x-1+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3})$
De plus, $-x^{2}+2x+2\ge0\Longleftrightarrow x\in[1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}]$ et $-x^{2}+2x+2\le0 \Longleftrightarrow x\in]-\infty,1-\sqrt{3}]\cup[1+\sqrt{3},+\infty[$ .

Déterminons le signe du dénominateur :
$x(x+1)\ge0\Longleftrightarrow x\in]-\infty,-1]\cup[0,+\infty[$ et $x(x+1)\le0\Longleftrightarrow -1< x<0$ .

Ainsi, $h'(x)\ge0\Longleftrightarrow ]-1,1-\sqrt{3}]\cup]0,1+\sqrt{3}]$ et $h'(x)\le0\Longleftrightarrow x\in[1-\sqrt{3},0[\cup]1+\sqrt{3},+\infty[$ .

Calcul des limites :
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to-1\\x>-1}}h(x)=-\infty\\\\ \lim_{x\to0}h(x)=-\infty\\\\ \lim_{x\to+\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\dfrac{\ln3}{x}+\dfrac{2\ln(x)}{x}+\dfrac{\ln(1+x)}{x}}-1\right)=-\infty$

On peut donc tracer le tableau de variations de $h$ :

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2012 - terminale : image 5

3. c) $\forall -1 < x <0,\ h(x)<0$ donc $(E)$ n'a pas de solutions sur l'intervalle $[0,1]$ .
$h$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0,1+\sqrt{3}]$ . De plus, $0\in]\displaystyle\lim_{x\to0} h(x)=-\infty,h(1+\sqrt{3})\approx1,69]$ donc d'après le théorème de la bijection, l'équation $h(x)=0$ a une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.
$0,618\le\alpha\le0,619$ donc $\fbox{\alpha\approx0,62}$ .

$h$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[1+\sqrt{3},+\infty]$ . De plus, $0\in]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty,h(1+\sqrt{3})\approx1,69]$ donc d'après le théorème de la bijection, l'équation $h(x)=0$ a une unique solution $\beta$ sur cet intervalle.
$7,117\le\beta\le7,118$ donc $\fbox{\beta\approx7,12}$ .

La conjecture de départ est donc fausse. Le nombre de solutions est correct mais l'encadrement ne l'est pas. Il était impossible de conjecturer à l'aide du graphique que $\beta$ était solution.

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Faux. En effet,
$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)}=\dfrac{0,2 \times 0,68}{0,2\times0,68+(1-0,2)(1-0,4)}=0,22\neq 0,32$

2. Vrai. En effet, pour tirer deux boules différentes, il faut tirer une boule noire (parmi 3) et une boule rouge (parmi n), le tout, parmi n+3 boules donc la probabilité associée à cet évènement est :
$P=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n+3\\2\end{pmatrix}}=\dfrac{3n}{\dfrac{(n+3)!}{2!(n+3-2)!}}=\dfrac{3n}{\dfrac{(n+2)(n+3)}{2!}}=\dfrac{6n}{(n+3)(n+2)}$ .
Donc,
$\begin{array}{rcl} P=\dfrac{9}{22}&\iff&22\times6n=9(n+2)(n+3)\\ &\iff&9n^2-87n+54=0 \end{array}$
Le discriminant de ce trinôme du second degré est $\Delta=(-87)^2-4\cdot9\cdot54=5625=75^2>0$ donc l'équation a deux solutions réelles distinctes :
$n_1=\dfrac{87-75}{18}=\dfrac{2}{3}$ et $n_2=\dfrac{87+75}{18}=9$ .
On cherche une solution entière (nombre de boules) donc seul $n_2$ convient et on a donc trouver un $n\in \mathbb{N}$ comme voulu.

3. Vrai. En effet, la rotation de centre A et d'angle de mesure $-\dfrac{\pi}{2}$ a pour écriture complexe $z'=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-(3-2i))+3-2i=-iz+i(3-2i)+3-2i=-iz+3i+2+3-2i=-iz+5+i$ .

4. Faux. En notant, pour $z\in\mathbb{C}$ , $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ , l'équation s'écrit :
$\begin{array}{rcl} (x+iy)^2-(x+iy)(x-iy)-1=0&\iff&x^2+2ixy-y^2-x^2-y^2-1=0\\ &\iff&-2y^2+2ixy-1=0\\ &\iff&x=\dfrac{1+2y^2}{2iy} \text{ si }\ y=0 \text{ l'équation n'a pas de solutions}\\ &\iff&x=-i\dfrac{1+2y^2}{2y}\in i\mathbb{R} \end{array}$
ce qui est absurde car $x\in\mathbb{R}$ .

5. Vrai. Calculons une mesure de l'angle $(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}})$ .
$(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}})=Arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)$
Or $\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{\sqrt{3}+i(1-\sqrt{3})+1}{i+1}=\dfrac{(1+\sqrt{3}+i(1-\sqrt{3}))(1-i)}{2} =\dfrac{2-2i\sqrt{3}}{2}=1-i\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , et $Arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)=\dfrac{-\pi}{3}$
Donc la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ vaut 60°.

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Vrai. Procédons par double-inclusion. Notons $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ .
Montrons que $\lbrace(9+2k,13+3k),\ k\in\mathbb{Z}\rbrace\subset\mathcal{S}$
Soit $k\in\mathbb{Z}$ . $3\times(9+2k)-2\times(13+3k)=1$ donc le couple $(9+2k,13+3k)$ est solution. Ainsi, $\forall k\in\mathbb{Z},\ (9+2k,13+3k)\in\mathcal{S}$ ie. $\lbrace(9+2k,13+3k),\ k\in\mathbb{Z}\rbrace\subset\mathcal{S}$ .
Montrons que $\mathcal{S}\subset\lbrace(9+2k,13+3k),\ k\in\mathbb{Z}\rbrace$
Remarquons que le couple (9,13) est solution.
Soit $(x,y)\in\mathcal{S}$ une solution de $(E)$ différente de (9,13). Alors, $3\times9-2\times13=1=3x-2y$ donc $2(y-13)=3(x-9)$ .
Ainsi, $2|3(x-9)$ mais 2 et 3 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, $2|(x-9)$ ie. il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $2k=x-9$ soit $x=9+2k$ .
Alors, $2(y-13)=3(9+2k-9)\Longleftrightarrow 2(y-13)=3\times2k\Longleftrightarrow y-13=3k\Longleftrightarrow y=13+3k$
Ainsi, il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $(x,y)=(9+2k,13+3k)$ .
On a donc montré que $\mathcal{S}\subset\lbrace(9+2k,13+3k),\ k\in\mathbb{Z}\rbrace$ .
Par double-inclusion, $\mathcal{S}=\lbrace(9+2k,13+3k),\ k\in\mathbb{Z}\rbrace$ .

2. Vrai. En effet :
Supposons que $\text{pgcd}(a,b)=7$ . Alors, $7|a$ et $7|b$ donc il existe $k,k'\in\mathbb{N}$ tels que $a=7k$ et $b=7k'$ .
Ainsi, $\left\lbrace\begin{array}{l}3n+1=7k\\2n+3=7k'\end{array}\right.$ donc en soustrayant la deuxième ligne à la première, on obtient $n=7(k-k')+2$ ie. $n\equiv2\ [7]$ .
Réciproquement, si $n\equiv 2\ [7]$ alors il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $n=7k+2$ donc $a=21k+7$ et $b=14k+7$ .
Appliquons l'algorithme d'Euclide :
$a=b+7k\\ b=2\times7k+7\\ 7k=k\times7+0$
Donc PGCD(a,b)=7.

3. Faux. En effet, $\forall n\in\mathbb{N},\ a=b(n+2)+n+17$ mais pour que cette expression donne le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b, il est nécessaire que $0\le n+17<b\Longleftrightarrow n>15$ donc le résultat n'est pas valable pour tout entier naturel $n$ .

4. Vrai.
Déterminons les caractéristiques de la similitude $s'$ ayant pour écriture complexe $z'=\dfrac{1-i}{2}z+\dfrac{-1+7i}{2}$ .
$s'$ a pour centre le point d'affixe $\dfrac{\frac{-1+7i}{2}}{1-\frac{1-i}{2}}=\dfrac{(-1+7i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{6+8i}{2}=3+4i$ donc $s'$ a pour centre A.
Son rapport est $\left|\dfrac{1-i}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .
Son angle est de mesure $Arg\left(\dfrac{1-i}{2}\right)=Arg\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)=Arg\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\Arg\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{4}$
On a donc montré que $s'=s^{-1}$ .

5. Vrai. En effet, connaissant deux points et leurs images, on peut connaître l'angle et le rapport de la similitude :
L'angle est de mesure :
$Arg\left(\dfrac{c-d}{a-b}\right)=Arg\left(\dfrac{-3-3\sqrt{3}+i(3-3\sqrt{3})}{-3+3i}\right)=Arg\left(\dfrac{(-1-\sqrt{3}+i(1-\sqrt{3})(-1-i)}{2}\right) \\ =Arg(1+\sqrt(3))=Arg\left(2\times\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=0+Arg(e^{i\frac{\pi}{3}})=\dfrac{\pi}{3}$

Publié par Cel/david9333 le 16-11-2013

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