Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles Guyane - Session Juin 2012

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.


6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les parties B et C sont indépendantes.

On note \mathbb{R} l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par
f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.
On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j}).

Partie A : étude de la fonction

1. Déterminer la limite de f en -\infty.
Que peut-on en déduire pour la courbe \mathcal{C} ?

2. Déterminer la limite de f en +\infty.

3. On admet que f est dérivable sur \mathbb{R}, et on notef' sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel x, f'(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}.

4. Étudier les variations de f sur \mathbb{R} et dresser son tableau de variation sur \mathbb{R}.

Partie B : recherche d'une tangente particulière

Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse a, qui passe par l'origine du repère.

1. On appelle T_{a} la tangente à \mathcal{C} au point d'abscisse a. Donner une équation de T_{a}.

2. Démontrer qu'une tangente à \mathcal{C} en un point d'abscisse a strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si a vérifie l'égalité
1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.


3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que 1 est l'unique solution sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ de l'équation
1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.


4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Partie C : calcul d'aire

Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe \mathcal{C} de la fonction f dans un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j}).
Courbe \mathcal{C} représentative de f
Bac scientifique Antilles Guyane Juin 2012 - terminale : image 1


1. Construire sur ce graphique la droite \Delta d'équation y = 2x. On admet que la courbe \mathcal{C} est au-dessus de la droite \Delta. Hachurer le domaine \mathcal{D} limité par la courbe \mathcal{C} la droite \Delta, la droite d'équation (x = 1) et l'axe des ordonnées.

2. On pose \displaystyle I = \int_{0}^1  x\text{e}^{x-1}\:\text{d}x. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que I = \dfrac{1}{\text{e}}.

3. En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine \mathcal{D}.


4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; \vec{u},\vec{v}).
On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm.
On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives
a = - 1 + 2\text{i}    ;    b = - 2 - \text{i}    ;    c = - 3 + \text{i}.


1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer \dfrac{b}{a}, en déduire la nature du triangle OAB.

3. On considère l'application f qui à tout point M d'affixe z avec z \neq b, associe le point M' d'affixe z' définie par
z' = \dfrac{z + 1 - 2\text{i}}{z + 2 + \text{i}}

    a) Calculer l'affixe c' du point C', image de C par f et placer le point C' sur la figure.
    b) Déterminer l'ensemble \mathcal{E} des points M d'affixe z avec z \neq b, tels que |z'| = 1.
    c) Justifier que \mathcal{E} contient les points O et C. Tracer \mathcal{E}.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
On appelle J l'image du point A par la rotation r de centre O et d'angle -\dfrac{\pi}{2}.
On appelle K l'image du point C par la rotation r' de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{2}.
On note L le milieu de [JK].
Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit \left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par
\left\lbrace \begin{array}{l c l} u_{1}&=&\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n} \end{array}\right.


1. Calculer u_{2}, u_{3} et u_{4}.

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u_{n} est strictement positif.
    b) Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) est décroissante.
    c) Que peut-on en déduire pour la suite \left(u_{n}\right) ?

3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose
v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.

    a) Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v_{1}.
    b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.


4. Soit la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; +\infty[ par f(x) = \ln x - x \ln 2.
    a) Déterminer la limite de f en +\infty.
    b) En déduire la limite de la suite \left(u_{n}\right).


5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine.
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément.
Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair?

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et \dfrac{1}{5}.
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10-3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l'évènement «l'appareil présente un défaut d'apparence» et F l'évènement «l'appareil présente un défaut de fonctionnement».
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F ?

5. On considère l'algorithme :
A et C sont des entiers naturels,
C prend la valeur 0
Répéter 9 fois
     A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.
     Si A > 5
          C prend la valeur de C + 1
     Fin Si
Fin répéter
Afficher C.

Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.


5 points

exercice 4 - candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les quatre questions sont indépendantes.

1. a) Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l'équation
(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.

    b) Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x ; y) vérifiant l'équation (E).

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
2^{3n} \equiv 1\quad  \pmod 7.

    b) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011^{2012} par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que :
z' = \dfrac{3}{2} (1 - \text{i})z + 4 - 2\text{i}.

4. On considère l'algorithme suivant où \text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right) désigne la partie entière de \dfrac{\text{A}}{\text{N}}.
A et N sont des entiers naturels
Saisir A
N prend la valeur 1
Tant que N \le  \sqrt{\text{A}}
     Si \dfrac{\text{A}}{\text{N}} -  \text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right) = 0
          Afficher N et \dfrac{\text{A}}{\text{N}}
     Fin si
     N prend la valeur N + 1
Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?
Que donne cet algorithme dans le cas général?
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