Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Asie - Session Juin 2012

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point.

1. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on considère la droite $\mathcal{D}$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $\mathcal{P}$ dont on donne une équation cartésienne : $\mathcal{D} \left\lbrace \begin{array}{l c r} x & = & 1 - 2t \\ y & = & t \\ z & = & - 5- 4t \end{array}\right. (t \in \mathbb{R})\quad \text{et}\quad \mathcal{P} : 3x + 2y -z -5 = 0$ . Affirmation 1 : la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ .

2. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on considère le point A(1 ; 9 ; 0) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $4x - y - z + 3 = 0$ .
Affirmation 2 : la distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

3. Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.
Affirmation 3 : la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses.

4. Pour tout réel $x$ , on pose $\displaystyle F(x) = \int_{1}^x (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t$ .
Affirmation 4 : $F(x)$ est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel $x$ supérieur à 1.

5. On considère l'intégrale $\displaystyle I = \int_{1}^{\text{e}} t^2 \ln t\:\text{d}t$ .
Affirmation 5 : la valeur exacte de l'intégrale $I$ est : $\dfrac{2\text{e}^3 + 1}{9}$ .

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ .

On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$ , le point A₁ d'affixe $z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$ .
On note enfin B image du point A₁, par la rotation $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B.

1. a) Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, puis placer les points A et A₁, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.
    b) Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
Placer alors le point B dans le même repère.

2. On considère le vecteur unitaire $\overrightarrow{w}$ , tel que $\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$ , et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $\overrightarrow{w}$ .
    a) Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.
    b) Tracer la droite $\Delta$ , puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}}\right)$ .
En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$ .

3. On note B₁ le symétrique de B par rapport à l'axe $\left(\text{O} ; \overrightarrow{u}\right)$ et B' l'image de B₁ par la rotation $r$ . Démontrer que B' = A.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.

Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$ .
Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .

Partie A - Détermination d'une similitude directe

On considère les points A et B d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     et     $z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}$ .

1. a) Ecrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
    b) Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.

2. a) Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $f$ de centre 0 qui transforme le point A en B.
    b) Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude $f$ .

Partie B. Étude d'une transformation

Le but de cette partie est d'étudier la transformation $g = s \circ f$ , où $f$ désigne la similitude définie dans la partie A et $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O} ; \overrightarrow{u}\right)$ .

1. Soit M un point quelconque du plan. On désigne par M' l'image du point M par la transformation $g$ .
On note $z$ et $z'$ les affixes respectives des points M et M', et $\overline{z}$ celle du conjugué de $z$ .
    a) Démontrer l'égalité : $z'= 2 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\overline{z}$ .
    b) On pose C = $g$ (A) et D = $g$ (C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.
    c) Quelle est la nature du triangle OAC ?
    d) Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{OA}}$ et $\overrightarrow{\text{OD}}$ sont colinéaires.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la nature de la transformation $g \circ g$ et préciser ses éléments géométriques.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une urne contient $k$ boules noires et 3 boules blanches. Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :
    un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
    un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
    un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie.

Partie A

Dans la partie A, on pose $k = 7$ .
Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes.
Démontrer que $p = 0,42$ .

2. Soit $n$ un entier tel que $n > 2$ . Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes.
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties.
    a) Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .
    b) Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au millième.
    c) Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.

Partie B

Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur joue une partie.
On note $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. a) Justifier l'égalité : $p\left(Y_{k} = 5\right) = \dfrac{6k}{(k + 3)^2}$ .

2. On note E $\left(Y_{k}\right)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_{k}$
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E $\left(Y_{k}\right)$ est strictement positive.
Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. On considère l'algorithme suivant :

Entrée
Saisir un réel strictement positif non nul $a$
Saisir un réel strictement positif non nul $b$ $(b > a)$
Saisir un entier naturel non nul $N$

Initialisation
Affecter à $u$ la valeur $a$
Affecter à $v$ la valeur $b$
Affecter à $n$ la valeur 0

Traitement
TANTQUE $n < N$
    Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
    Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$
    Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$
    Affecter à $a$ la valeur $u$
    Affecter à $b$ la valeur $v$

Sortie
Afficher $u$ , afficher $v$

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4$ , $b = 9$ et $N = 2$ . Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

$n$	$a$	$b$	$u$	$v$
0	4	9
1
2

Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$ .
On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par :
$u_{ 0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}$     et      $v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}$

2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$ .
    b) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$ .
En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n} \le v_{n}$ .

3. a) Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
    b) Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$ . En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$ .

4. Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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