Baccalauréat Général
Série Scientifique
Asie - Session Juin 2012
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points exercice 1 - Commun à tous les candidats
Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point.
1. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal
)
, on considère la droite

dont on donne une représentation paramétrique, et le plan

dont on donne une équation cartésienne :
.
Affirmation 1 : la droite

est strictement parallèle au plan

.
2. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal
)
, on considère le point A(1 ; 9 ; 0) et le plan

d'équation cartésienne :

.
Affirmation 2 : la distance du point A au plan

est égale à

.
3. Soit la fonction

définie pour tout réel

par :
 = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}})
.
On note

la courbe représentative de la fonction

dans un repère du plan.
Affirmation 3 : la courbe

admet deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses.
4. Pour tout réel

, on pose
 = \int_{1}^x (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t)
.
Affirmation 4 :
)
est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel

supérieur à 1.
5. On considère l'intégrale

.
Affirmation 5 : la valeur exacte de l'intégrale

est :

.
5 points exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
)
.
On note

la rotation de centre O et d'angle

.
On considère le point A, d'affixe

, le point A
1 d'affixe

où

désigne le conjugué de

.
On note enfin B image du point A
1, par la rotation

et

l'affixe du point B.
1. a) Écrire le nombre complexe

sous forme exponentielle, puis placer les points A et A
1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.
b) Vérifier que

sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe

sous forme algébrique.
Placer alors le point B dans le même repère.
2. On considère le vecteur unitaire

, tel que
 = \dfrac{\pi}{12})
, et la droite

passant par O et de vecteur directeur

.
a) Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.
b) Tracer la droite

, puis démontrer que

est la bissectrice de l'angle
)
.
En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite

.
3. On note B
1 le symétrique de B par rapport à l'axe
)
et B' l'image de B
1 par la rotation

. Démontrer que B' = A.
4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit C le point d'affixe
)
et D le symétrique de C par rapport à la droite

.
Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D
5 points exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
)
.
Partie A - Détermination d'une similitude directe
On considère les points A et B d'affixes respectives :
et
.
1. a) Ecrire les nombres complexes

et

sous forme exponentielle.
b) Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.
2. a) Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe

de centre 0 qui transforme le point A en B.
b) Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude

.
Partie B. Étude d'une transformation
Le but de cette partie est d'étudier la transformation

, où

désigne la similitude définie dans la partie A et

la réflexion d'axe
)
.
1. Soit M un point quelconque du plan. On désigne par M' l'image du point M par la transformation

.
On note

et

les affixes respectives des points M et M', et

celle du conjugué de

.
a) Démontrer l'égalité :

.
b) On pose C =

(A) et D =

(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.
c) Quelle est la nature du triangle OAC ?
d) Démontrer que les vecteurs

et

sont colinéaires.
2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la nature de la transformation

et préciser ses éléments géométriques.
5 points exercice 3 - Commun à tous les candidats
Soit

un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une urne contient

boules noires et 3 boules blanches. Ces

boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :
un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie.
Partie A
Dans la partie A, on pose

.
Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.
1. Un joueur joue une partie. On note

la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes.
Démontrer que

.
2. Soit

un entier tel que

. Un joueur joue

parties identiques et indépendantes.
On note

la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et

la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des

parties.
a) Expliquer pourquoi la variable

suit une loi binomiale de paramètres

et

.
b) Exprimer

en fonction de

, puis calculer

en arrondissant au millième.
c) Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.
Partie B
Dans la partie B, le nombre

est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur joue une partie.
On note

la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1. a) Justifier l'égalité :
 = \dfrac{6k}{(k + 3)^2})
.
2. On note E
)
l'espérance mathématique de la variable aléatoire
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E
)
est strictement positive.
Déterminer les valeurs de

pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.
5 points exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. On considère l'algorithme suivant :
Entrée
Saisir un réel strictement positif non nul
Saisir un réel strictement positif non nul
Saisir un entier naturel non nul
Initialisation
Affecter à

la valeur
Affecter à

la valeur
Affecter à

la valeur 0
Traitement
TANTQUE
Affecter à

la valeur
Affecter à

la valeur
Affecter à

la valeur
Affecter à

la valeur
Affecter à

la valeur
Sortie
Afficher

, afficher
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour

,

et

. Les valeurs successives de

et

seront arrondies au millième.
Dans la suite,

et

sont deux réels tels que

.
On considère les suites
)
et
)
définies par :

et, pour tout entier naturel

:
et
2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

, on a :

et

.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel

:
^2)
.
En déduire que, pour tout entier naturel

, on a

.
3. a) Démontrer que la suite
)
est croissante.
b) Comparer

et

. En déduire le sens de variation de la suite
)
.
4. Démontrer que les suites
)
et
)
sont convergentes.