Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Santé et du Social
Session Juin 2012 - Métropole

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Durée de l'épreuve : 2 heures       Coefficient : 3
L'utilisation d’une calculatrice est autorisée.
une feuille de papier millimétré, à rendre avec la copie, est fournie au candidat.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, qu’il aura développée.
Par ailleurs, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.


5 points

exercice 1

Un sondage sur la biodiversité a été effectué en France parmi 1 000 personnes. Les résultats du sondage sont répartis dans le tableau ci-dessous par catégorie socioprofessionnelle des personnes interrogées.
 Nombre de personnes
qui ont entendu parler de la biodiversité
Nombre de personnes
n'ayant jamais entendu parler de la biodiversité
TOTAL
Nombre de personnes appartenant
à une catégorie socioprofessionnelle favorisée ou très favorisée
36040400
Nombre de personnes appartenant
à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée
430170600
TOTAL7902101 000


1. On choisit au hasard une personne parmi toutes les personnes interrogées.
On considère les évènements suivants :
    A : «La personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée».
    B : «La personne choisie a entendu parler de la biodiversité».
Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.
    a) Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
    b) Définir par une phrase chacun des évènements suivants A \cap B et A \cup B, puis calculer leur probabilité.

2. a) Sachant que la personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée, calculer la probabilité que cette personne ait entendu parler de la biodiversité.
    b) Calculer la probabilité P_{B}(A).


8 points

exercice 2

Partie A

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution de la production de déchets municipaux, par kg et par habitant, en France, depuis l'année 2001.
 ABCDEFGHI
1Année20012002200320042005200620072008
2Rang de l'année x_{i}12345678
3Production en kg par habitant et par an de déchets municipaux y_{i}480496510520531536543539
4Taux d'évolution entre deux années consécutives (en %)        

Source: Ademe (Agence de l'énergie et de la maîtrise de l'environnement)


1. a) Calculer le taux d'évolution de la production de déchets municipaux, en kg par habitant entre l'année 2001 et 2002. On donnera le résultat en pourcentage, arrondi à 0,1%.
    b) Quelle formule doit on rentrer dans la cellule D4, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d'évolution de la production de déchets municipaux par habitant entre deux années consécutives? (On admet que les cellules C4 à 14 sont en pourcentages).

2. a) Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées \left(x_{i} ; y_{i}\right), dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 10 kg par habitant sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à 470 kg par habitant sur l'axe des ordonnées.
    b) Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer le point G dans le repère.
    c) On admet que la droite (\Delta) d'équation y = 8,77 x + 479,91 réalise un ajustement affine du nuage de points, fiable jusqu'en 2011. Tracer la droite (\Delta) dans le repère.
    d) Déterminer alors graphiquement la production de déchets municipaux en kg par habitant pour l'année 2011.

Partie B

En 2011, un bureau d'étude a prévu de réduire la production de déchets municipaux de 7% par habitant et par an pour atteindre moins de 390 kg de déchets par habitant et par an. On admet que la production de déchets municipaux en kg par habitant et par an est modélisée par une suite géométrique de terme général u_{n}n désigne un entier naturel et u_{n} représente la production de l'année (2011 + n). On a alors u_{0} = 576.

1. a) Montrer que la raison de cette suite est égale à 0,93.
    b) Calculer la production de déchets municipaux en kg par habitant en 2012. On arrondira le résultat à l'unité.

2. a) Exprimer u_{n} en fonction de n.
    b) Calculer u_{5} et u_{6}. En déduire l'année à partir de laquelle l'objectif du bureau d'étude sera atteint.


7 points

exercice 3

Partie A

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 12] par
f(x) = 14 \times 0,97^x.


1. On admet que sur l'intervalle [0 ; 12] la fonction f a le même sens de variation que la fonction définie par g(x) = 0,97^x.
Déterminer, en justifiant votre réponse, le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 12].

2. Établir le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 12].

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant, en arrondissant les résultats au dixième.
x0123456789101112
f(x)   12,8      10,3  


Partie B

On étudie à partir de l'année 2007, le nombre d'emplois créés en France par les entreprises des collectivités territoriales du traitement des ordures ménagères résiduelles. On admet que le nombre f(x) défini dans la partie A représente le nombre d'emplois créés (en milliers), en fonction du rang x de l'année.
Ainsi, x = 0 représente l'année 2007, x = 1 représente l'année 2008 et ainsi de suite.
La courbe représentative de la fonction f, dans un repère orthogonal du plan est donnée en annexe (à remettre avec la copie).

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Métropole juin 2012 - terminale : image 1


1. Déterminer à l'aide du graphique, en laissant les traits de constructions apparents :
    a) f(5).
    b) L'année au cours de laquelle le nombre d'emplois créés est de 11 500.
    c) À partir de quelle année, le nombre d'emplois créés deviendra inférieur à 12 750.

2. Résoudre par le calcul, l'inéquation f(x) \le 10 (on donnera la valeur exacte des extrémités de l'intervalle solution puis une valeur approchée arrondie à l'unité). Donner une interprétation de ce résultat.

3. À partir de quelle année, le nombre d'emplois créés aura-t-il diminué de 25% par rapport à l'année 2007 ?



exercice 1

1. a) p(A)=\dfrac{600}{1000}=0,60 \text{ et } p(B)=\dfrac{790}{1000}=0,79

1. b) A\cap B : "La personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée et a entendu parler de la biodiversité".
A \cup B : "La personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée ou a entendu parler de la biodiversité".
p(A \cap B) = \dfrac{430}{1000}=0,43\\ p(A \cup B) = p(A)+p(B) - p(A\cap B)=0,96

2. a) La probabilité demandée est p_A(B)=\dfrac{430}{600}\approx0,72, obtenue par lecture directe des valeurs dans le tableau fourni.

2. b) De même, p_B(A)=\dfrac{430}{790}\approx0,54




exercice 2

Partie A

1. a) Le taux d'évolution de la production de déchets municipaux, en kg par habitant entre l'année 2001 et 2002 est :
\dfrac{496-480}{480}\approx0,0333\text{ soit environ }3,3\%

1. b) La formule écrite dans D4 peut être : "=(D3-C3)/C3"

2. a)
bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Métropole juin 2012 - terminale : image 2


2. b) Les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points sont :
x_G=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}=4,5\text{ et }y_G=\dfrac{480+496+510+520+531+536+543+539}{8}=519,375

2. c) Le tracé de la droite d'ajustement sur la représentation graphique se fait en prenant deux points vérifiant son équation.


2. d) La production de déchets municipaux en kg par habitant pour l'année 2011 s'obtient pour le rang 11. Graphiquement, on obtient :
environ 576 kg par habitant


Partie B

1. a) Une baisse de 7 % par an correspond à un coefficient multiplicateur de : 1-\dfrac{7}{100}=0,93. La raison de la suite géométrique est donc de 0,93.

1. b) En 2012, la production de déchets municipaux en kg par habitant sera donc de :
576 \times 0,93 \approx536 \text{ kg par habitant}


2. a) Pour tout entier naturel n, on obtient :
u_n=u_0\times0,93^n=576\times0,93^n


2. b) Pourn = 5, on obtient : u_5=576\times0,93^5\approx401\text{ kg par habitant}
Pour n = 6, on obtient : u_6=576\times0,93^6\approx373\text{ kg par habitant}
L'objectif du bureau étant d'atteindre moins de 390 kg de déchets par habitant et par an, ceci sera vérifié à partir de n = 6 soit en 2011 + 6 = 2017.




exercice 3

Partie A

1. On sait que puisque : 0 < 0,97 < 1 alors g est strictement décroissante sur [0 ; 12].
La fonction f est donc strictement décroissante sur [0 ; 12].

2. Le tableau de variations de f est donc :
\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline x& 0 & & 12 \\\hline\niveau{2}{1} f& f(0) & \decroit& f(12)\\\hline\end{tabvar}


3.
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline {\textit{x}}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&{10}&{11}&{12}\\ \hline \textit{f}\text{(}\textit{x}\text{)}&14,0&13,6&13,2&12,8&12,4&12,0&11,7&11,3&11,0&10,6&10,3&10,0&9,7\\  \hline\end{tabular}


Partie B

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Métropole juin 2012 - terminale : image 3


1. a) La lecture graphique donne f(5)\approx12\text{(exprimé en milliers)}

1. b) L'année au cours de laquelle le nombre d'emplois créés est de 11 500 correspond à un rang entre 6 et 7, soit au cours de l'année 2013.

1. c) Le nombre d'emplois créés devient inférieur à 12 750 pour un rang entre 3 et 4, soit au cours de l'année 2010.

2. Soit à résoudre l'inéquation (1) : f(x) \leq 10
(1) \Longleftrightarrow 14 \times 0,97^x \leq 10 \\ (1)\Longleftrightarrow 0,97^x\le\dfrac{10}{14}
(1)\Longleftrightarrow 0,97^x\le\dfrac{5}{7} \\ (1)\Longleftrightarrow \text{log}( 0,97^x) \le \text{log}\left(\dfrac{5}{7}\right) \\ (1)\Longleftrightarrow x\text{log}( 0,97) \le \text{log}\left(\dfrac{5}{7}\right)
Or, 0,97 < 1 donc \text{log}(0,97) < 0 donc
(1)\Longleftrightarrow x \ge \ \dfrac{\text{log}\left(\dfrac{5}{7}\right)}{\text{log}( 0,97)}

L'intervalle solution est : \left[\dfrac{\text{log}\left(\dfrac{5}{7}\right)}{\text{log}( 0,97)};12\right]
avec \dfrac{\text{log}\left(\dfrac{5}{7}\right)}{\text{log}( 0,97)}\approx11
Le nombre d'emplois créés dans le domaine considéré sera sous la barre des 10000 à partir de 2018.

3. Une diminution de 25 % correspond à un coefficient multiplicatif de 1-\dfrac{25}{100}=0,75
Déterminer l'année où le nombre d'emplois créés aura diminué de 25% par rapport à l'année 2007 revient à déterminer le rang x tel que :
0,97^x=0,75 \\ x=\dfrac{\text{log(0,75)}}{\text{log(0,97)}}\approx9,44
C'est donc au cours de l'année de rang 9 donc au cours de l'année 2016 que le nombre d'emplois créés aura diminué de 25% par rapport à l'année 2007.
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