Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Santé et du Social
Session Juin 2012 - Antilles Guyane

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 3
L'utilisation d’une calculatrice est autorisée.
une feuille de papier millimétré, à rendre avec la copie, est fournie au candidat.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, qu’il aura développée.
Par ailleurs, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

8 points

exercice 1

Afin de dépister le diabète gestationnel, on pratique chez les femmes enceintes, entre la 22^ème et la 26^ème semaine de grossesse, le test de O'Sullivan qui met à l'épreuve les mécanismes de régulation du glucose sanguin maternel.

Ce test consiste tout d'abord à faire absorber à la patiente 50 g de glucose.

Trente minutes plus tard, la glycémie de la patiente atteint 2 g par litre de sang. On commence alors à observer l'évolution de la glycémie.

On relève la glycémie de la patiente 30 minutes après le début de l'observation (soit une heure après l'ingestion du glucose) et le résultat du test s'interprète de la façon suivante:
    si la glycémie est inférieure ou égale à 1,30 g/L, on considère que la patiente n'est pas atteinte de diabète gestationnel ;
    si la glycémie est supérieure ou égale à 2 g/L, on considère que la patiente est atteinte de diabète gestationnel ;
    si la glycémie est strictement comprise entre 1,30 g/L et 2 g/L, la patiente devra subir un second test.

Partie A

Une première patiente a une glycémie égale à 2 g/L au début de l'observation, puis on admet que cette valeur baisse de 1 % par minute. On note, pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ sa glycémie $n$ minutes après le début de l'observation. On a donc $u_0=2$ .

1. a) Vérifier que $u_1 = 1,98$ .
    b) Calculer $u_2$ (arrondir à 10^-2 près).

2.
    Exprimer, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ .
    En déduire la nature de la suite $(u_n)$ en précisant son premier terme et sa raison.
    Exprimer, pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ en fonction de $n$ .

3. a) Calculer $u_{30}$ . On donnera un résultat arrondi à 10^-2 près.
    b) Comment s'interprète le résultat du test pour cette patiente ? Justifier la réponse.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 60] par $f(t)=2\times(0,984)^t$ .

La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée en Annexe 1. Cette annexe devra être rendue avec la copie.

Bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Antilles Guyane juin 2012 - terminale : image 1

Chez une autre patiente, on considère que la glycémie, $t$ minutes après le début de l'observation est donnée, en grammes par litres de sang, par: $f(t)=2\times(0,984)^t$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 60]

1. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera les valeurs arrondies à 10^-2 près.

$t$	0	10	20	30	40	50	60
$f(t)$			1,45

2. a) Résoudre à l'aide du graphique l'inéquation $f(t) \le 1,30$ .
b) Comment s'interprète le résultat du test pour cette deuxième patiente ? Justifier la réponse.

3. a) Résoudre, pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 60]$ , l'inéquation d'inconnue $t$ : $2\times(0,984)^t\le 1$ .
b) En déduire la durée nécessaire après le début de l'observation pour que la glycémie de cette deuxième patiente redevienne inférieure à 1 g/L.
(On arrondira le résultat à la minute près).

5 points

exercice 2

Le tableau suivant donne la répartition des médecins en France, au 1^er janvier 2011.

	Libéraux ou mixtes^*	Salariés	Total
Généralistes	67 843	32 823
Spécialité chirurgie		8795	25 494
Spécialité médicale			59 489
Autres spécialités	7 650		23 078
Total	122 791	85 936	208 727

^* en partie salariés
Source: http://www.sante-gouv.fr:OMG/pdf.seriestat157.pdf

Partie A

1. Compléter le tableau donné en Annexe 2 (ci-dessus), à rendre avec la copie.

2. Sachant que 40,9 % des généralistes sont des femmes, combien y a-t-il de femmes médecins généralistes ? On arrondira à l'entier le plus proche.

3. Quel est, en pourcentage, la part des médecins spécialisés en chirurgie parmi les médecins ? On arrondira à 0,1 % près.

Partie B

Les résultats seront, dans cette partie, arrondis à 0,01 % près.

Un médecin est tiré au hasard parmi l'ensemble des médecins exerçant en France.

1. a) Quelle est la probabilité que ce médecin soit salarié ?
b) Quelle est la probabilité que ce médecin soit généraliste et salarié ?
c) Quelle est la probabilité que ce médecin soit spécialisé en chirurgie ou médecin salarié ?

2. Quelle est la probabilité que ce médecin soit spécialisé en chirurgie sachant qu'il est un médecin salarié ?

7 points

exercice 3

Une personne a consommé de l'alcool au début de la soirée. Sachant qu'elle devra conduire pour rentrer chez elle, elle procède à une première mesure de son alcoolémie à l'aide d'un éthylomètre.

Celui-ci indique 1,1 gramme d'alcool par litre de sang.

La personne procède ensuite à plusieurs mesures successives.

Les résultats obtenus sont consignés dans une feuille de tableur.

La colonne C et au format %.

	A	B	C
1	Durée écoulée (en heures) depuis la première mesure	Alcoolémie en g/L	Taux d'évolution par rapport à l'alcoolémie de départ
2	0	1,10
3	0,25	1,07
4	0,75	1,00
5	1	0,95
6	2	0,83
7	3	0,73
8	4	0,63

Partie A : on ne demande pas de compléter le tableau

1. La colonne C (de C3 à C8) doit permettre de calculer le taux d'évolution de l'alcoolémie, par rapport à l'alcoolémie de départ. Quatre formules sont proposées à saisir en C3 puis à recopier vers le bas. Une seule est exacte. Indiquer cette formule sur la copie.

a) =(B3-B2)/B2

b) =(B3-B$2)/B$2

c) =B3/B2

d) =B3/B$2

2. Dans les textes de la sécurité routière on lit: «l'alcoolémie en gramme d'alcool par litre de sang diminue toutes les heures de 0,10 à 0,20 grammes».

Cette affirmation vous paraît-elle exacte en ce qui concerne cette personne pendant la période de 4 heures considérées ? Justifier votre réponse.

Partie B

Les résultats de la Partie A sont traités de manière statistique dans cette partie.

Durée écoulée (en heures) depuis la première mesure :	0	0,27	0,75	1	2	3	4
Alcoolémie en g/L: $y_i$	1,10	1,07	1,00	0,95	0,83	0,73	0,63

1. Sur la feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques:
    2 cm pour 1 heure sur l'axe des abscisses;
    10 cm pour 1 g/L sur l'axe des ordonnées.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. On arrondira les résultats à 10^-2 près. Placer ce point sur le graphique.

3. On admet que la droite $\mathcal{D}$ passant par $G$ et de coefficient directeur -0,12 constitue une droite d'ajustement convenable du nuage.
    a) Montrer qu'une équation de $\mathcal{D}$ est: $y=-0,12x+1,09$ (les coefficients ayant été arrondis à 10^-2 près)
    b) Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent.
    c) Déterminer à l'aide du graphique la durée nécessaire, selon l'ajustement choisi, pour que la personne puisse conduire à nouveau.
On rappelle qu'en France pour pouvoir conduite, l'alcoolémie doit être inférieure à 0,5 g/L de sang.

4. Déterminer par le calcul, la durée nécessaire pour que l'alcoolémie soit, selon l'ajustement choisi inférieure à 0,3 g/L. (Arrondir à l'entier le plus proche).

Voir la correction

exercice 1

Partie A

1. a) $u_1=u_0-\dfrac{1}{100}u_0=u_0 \left(1-\dfrac{1}{100} \right)=2\times 0,99=1,98$

1. b) $u_2=u_1-\dfrac{1}{100}u_0=u_1 \left(1 - \dfrac{1}{100} \right) = 1,98\times 0,99\approx 1,96$

2.
Pour tout entier naturel $n~,~u_{n+1}=u_n-\dfrac{1}{100}u_n=u_n \left(1 - \dfrac{1}{100} \right) = u_n\times 0,99$
$~(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison 0,99 . Son premier terme est $u_0=2$
Pour tout entier naturel $n~,~u_n=u_0\times(0,99)^n=2\times(0,99)^n$

3. a) $u_{30}=2\times(0,99)^{30}\approx 1,48$

3. b) Au bout de 30 minutes, la glycémie de la patiente étant de 1,48 g/L, celle-ci devra subir un second test.

Partie B

$t$	0	10	20	30	40	50	60
$f(t)$	2,00	1,70	1,45	1,23	1,05	0,89	0,76

2. a)

Bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Antilles Guyane juin 2012 - terminale : image 2

Résoudre graphiquement l'inéquation $f(t)\le 1,30$ revient à déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles la courbe représentative de $f$ est en dessous de la droite d'équation $y=1,30$ . Graphiquement on trouve pour ensemble solution l'intervalle [27 ; 60].

2. b) Pour cette patiente, la glycémie relevée au bout de 30 minutes est donc inférieure à 1,30 (g/L) ; on peut en déduire que la patiente n'est pas atteinte de diabète gestationnel.

3. a) Soit $t$ dans l'intervalle [0 ; 60].
$2\times(0,984)^t\le 1\Longleftrightarrow(0,984)^t\le 0,5\Longleftrightarrow \ln(0,984)^t\le\ln 0,5\Longleftrightarrow t\ln(0,984)\le\ln 0,5\Longleftrightarrow t\ge\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,984}\text{ ( Car } \ln 0,984\approx -0,016<0 \text{ )}$
Ce qui donne pour ensemble solution de l'inéquation proposée l'intervalle $\left[\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,984}~;~60\right]$

3. b) Comme $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,984}\approx 42,97$
Pour cette deuxième patiente, la glycémie sera inférieure à 1 g/L au bout de 43 minutes.

exercice 2

Partie A

	Libéraux ou mixtes^*	Salariés	Total
Généralistes	67 843	32 823	100 666
Spécialité chirurgie	16 699	8 795	25 494
Spécialité médicale	30 599	28 890	59 489
Autres spécialités	7 650	15 428	23 078
Total	122 791	85 936	208 727

2. Sachant que 40,9 % des généralistes sont des femmes, il y a donc : $\dfrac{40,9}{100}\times100 666\approx 41 172\text{ généralistes femmes.}$

3. La part des médecins spécialisés en chirurgie parmi les médecins est de : $\dfrac{25 494}{208 727}\approx 0,122\text{ soit environ }12,2\%$

Partie B

Un médecin est tiré au hasard parmi l'ensemble des médecins exerçant en France.
1. a) La probabilité que ce médecin soit salarié est de : $\dfrac{85 936}{208 727}\approx 0,41171$ soit environ 41,17%.

1. b) La probabilité que ce médecin soit généraliste et salarié est de : $\dfrac{32 823}{208 727}\approx 0,15725$ soit environ 15,73%.

1. c) La probabilité que ce médecin soit spécialisé en chirurgie ou médecin salarié est de : $\dfrac{25 494+85 936-8 795}{208 727}=\dfrac{102 635}{208 727}\approx 0,49171$ soit environ 49,17%.

2. La probabilité que ce médecin soit spécialisé en chirurgie sachant qu'il est un médecin salarié est de : $\dfrac{8 795}{85 936} \approx 0,10234$ soit environ 10,23%.

exercice 3

Partie A

1.Réponse b) " =(B3-B$2)/B$2 "

2. Cette affirmation est juste dans le cas de cette personne. En effet :
1,10 - 0,95 = 0,15 et , 0,10 < 0,15 < 0,20.
1,10 - 0,83 = 0,27 et 0,20 < 0,27 < 0,40, etc. (il suffit de faire une vérification analogue pour les deux derniers cas)

Partie B

Bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Antilles Guyane juin 2012 - terminale : image 3

2. Le point moyen G a pour coordonnées :
$x_G=\dfrac{0+0,27+0,75+1+2+3+4}{7}\approx 1,57\qquad y_G=\dfrac{1,10+1,07+1,00+0,95+0,83+0,73+0,63}{7}\approx 0,90$
$G(1,57~;~0,90)$
Voir le graphique présenté dans la question 3.

3. a)
On sait que le coefficient directeur de $D$ vaut -0,12.
Une équation de $D$ peut donc s'écrire $y=-0,12x+b$ avec $b$ réel à déterminer.
Or $D$ passe par $G(1,57~;~0,90)$ ce qui donne : $-0,90=-0,12\times 1,57+b$ soit $b\approx1,09$
Les coefficients étant arrondis à 10^-2, on peut donc dire qu'une équation de $D$ est $y=-0,12x+1,09$

3. b) Pour tracer $D$ , on sait qu'elle passe par $G$ , il suffit de prendre un second point.

Bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Antilles Guyane juin 2012 - terminale : image 4

3. c) Voir la construction sur le graphique présenté à la question 4.
Pour que la personne puisse conduire de nouveau, celle-ci devra attendre 4,9 heures soit presque 5 heures.

4. Il s'agit de résoudre l'inéquation $-0,12x+1,09<0,3$
$-0,12x+1,09<0,3\Longleftrightarrow 1,09-0,3<0,12x\Longleftrightarrow0,79<0,12x\Longleftrightarrow\dfrac{0,79}{0,12}<x$
Mais $\dfrac{0,79}{0,12}\approx6,58$
En arrondissant à l'entier le plus proche, la durée nécessaire pour que l'alcoolémie soit inférieure à 0,3 g/L sera de 7 heures.

Bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Antilles Guyane juin 2012 - terminale : image 5

Publié par TP/dandave le 26-07-2014

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