Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
Session Avril 2012 - Pondichéry

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
(Une feuille de papier millimétré est fournie).

4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

En avril 2011, on estime que la proportion de courrier indésirable, ou spams, sur la boite de messagerie électronique d'un particulier est de 76%. Le logiciel StopoSpam supprime 95% des messages indésirables mais aussi 3% des messages acceptés (c'est-à-dire «non indésirables»).
On pourra s'aider d'un arbre de probabilité pour répondre aux questions suivantes.

1. La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté est égale à :

a) 0,76

b) 0,95

c) 0,03

d) 0,24

2. La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté et supprimé est égale à :

a) 0,03

b) 0,0072

c) 0,2328

d) 0,1824

3. La probabilité qu'un message pris au hasard soit supprimé est égale à :

a) 0,7292

b) 0,19

c) 0,98

d) 0,722

4. La probabilité qu'un message pris au hasard soit indésirable sachant qu'il est supprimé est, à 0,01 près, égale à :

a) 0,95

b) 0,722

c) 0,99

d) 0,19

6 points

exercice 2

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos courtes sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction du nombre d'internautes connectés simultanément.
Le tableau ci-dessous représente les mesures constatées :

Nombre d'internautes connectés $x_{i}$ (en milliers)	0,5	1	2,5	3	4	5	6
Durée de chargement de la vidéo $y_{i}$ (en secondes)	0,3	0,4	0,6	0,9	1,3	2	2,8

On cherche à estimer la durée de chargement lorsque le nombre de personnes connectées sera encore plus élevé.

Partie A : Modèle affine

1. Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités : en abscisses 2 cm pour \np{1000} internautes connectés et en ordonnées 1 cm pour 0,2 seconde.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G (on donnera des valeurs arrondies au dixième) et le placer dans le repère.

3. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.

4. Pour la suite, on prendra pour équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0, 44x - 0,19$ .
a) Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent.
b) Avec ce modèle, estimer le temps de réponse pour 8 000 personnes connectées.

5. Une vidéo particulièrement demandée a attiré 8 000 personnes simultanément et on a constaté que le temps de chargement était de 6,2 secondes. Ce résultat conduit-il à rejeter le modèle affine ?

Partie B : Modèle exponentiel

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5 ; 10] par $f(x) = 0,25 \times \text{e}^{0,4x}$ . On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5 ; 10] et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

1. a) Calculer $f^{\prime}(x)$ .
b) Quel est le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0,5 ; 10] ?
c) En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.

2. Calculer $f(8)$ et représenter l'allure de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère de la partie A. Quel modèle vous semble le mieux adapté ?

5 points

exercice 3

Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d'une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante.

Les dépenses du service A augmentent de 4 000 € chaque année, tandis que celles du service B augmentent de 15% chaque année.
Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : 20 000 €.
On note $a_{n}$ le total des dépenses du service A et $b_{n}$ le total des dépenses du service B la $n$ -ième année. On s'intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années.

	P	Q	R	S	T
1	Numéro de l'année : $n$	Dépenses du service A : $a_{n}$	Cumul des dépenses du service A	Dépenses du service B : $b_{n}$	Cumul des dépenses du service B
2	1	20 000	20 000	20 000	20 000
3	2	24 000	44 000	23 000	43 000
4	3	28 000	72 000	26 450	69 450
5	4	32 000		30 417,50	99 867,50
6	5
7	6
8	7
9	8
10	9
11	10

Partie A : Étude des dépenses du service A

1. a) Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(a_{n}\right)$ des dépenses annuelles du service A ?
b) Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer $a_{10}$ .

2. Proposer une formule qui, entrée dans la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépenses du service A.

3. Calculer la somme $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{9} + a_{10}$ . Que représente cette somme ?

Partie B : Étude des dépenses du service B

1. Quelle formule entrée dans la cellule S3 permet par recopie vers le bas de calculer les dépenses annuelles du service B ?
a) Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(b_{n}\right)$ des dépenses du service B ?
b) Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$ .

2. Calculer les dépenses annuelles prévisibles pour le service B lors de la dixième année. On arrondira le résultat à la centaine d'euros.

Partie C : Comparaison des deux services

Lequel des deux services aura le plus dépensé en 10 ans pour son fonctionnement ?

5 points

exercice 4

Un menuisier installe des portes et des fenêtres. Il se fournit chaque mois auprès d'un fabriquant, qui lui propose deux sortes de lots pour ses travaux standards : le lot A est composé de 5 portes et 5 fenêtres, le lot B est composé de 4 portes et 2 fenêtres.
Le menuisier ayant une place limitée, il ne peut pas stocker plus de 120 portes et de 90 fenêtres.
On note $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B qu'il achète un mois donné à son fournisseur.

1. Décrire par un système d'inéquations les contraintes du problème (on établira clairement le rapport avec l'énoncé).

2. Montrer que ce système est équivalent au système suivant, dans lequel $x$ et $y$ désignent des inconnues entières : $(S)\qquad \left\lbrace \begin{array}{l c l} x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \\ y&\le&30-\dfrac{5}{4}x \\ y&\le&45-\dfrac{5}{2}x \end{array}\right.$ Dans le repère orthogonal fourni en annexe, on a tracé les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ d'équations respectives $y = -\dfrac{5}{4}x + 30$ et $y = - \dfrac{5}{2}x + 45$ .
Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont le couple de coordonnées $(x ; y)$ vérifie le système $(S)$ .

3. À l'aide du graphique, déterminer le nombre maximum de lots B que le menuisier peut acheter s'il achète 10 lots A.

4. Le bénéfice effectué sur un lot A est de 400 euros et sur un lot B de 200 euros. On suppose que le menuisier installe la totalité de son stock pendant le mois en cours.
    a) Exprimer, en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice mensuel qu'il peut réaliser.
    b) Représenter sur le graphique précédent les couples $(x ; y)$ qui permettent de réaliser un bénéfice de 5 000 €.
    c) Déterminer graphiquement les nombres de lots A et de lots B à acquérir et installer pour que le bénéfice mensuel soit le plus grand possible. Quel est ce bénéfice ? ANNEXE
À rendre avec la copie

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2012 - terminale : image 1

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exercice 1

Soit I l'événement : " le courrier est indésirable " et soit S l'événement : " le courrier est supprimé ".

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2012 - terminale : image 2

1. Réponse d) 0,24
La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté, c'est-à-dire qu'il soit "non indésirable", est égale à :
$p(\bar{I}) = 0,24$

2. Réponse b) 0,0072
La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté et supprimé est égale à :
$p(\bar{I} \cap S) = 0,24 \times 0,03 = 0,0072$

3. Réponse a) 0,7292
La probabilité qu'un message pris au hasard soit supprimé est égale à :
$p(I \cap S) + p(\bar{I} \cap S) = 0,76 \times 0,95 + 0,24 × 0,03 = 0,7292$

4. Réponse c) 0,99
La probabilité qu'un message pris au hasard soit indésirable sachant qu'il est supprimé est, à 0,01 près, égale à :
$p_S(I) = \dfrac{p(I \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,75 \times 0,95}{0,7292} \approx 0,99$

exercice 2

Partie A : Modèle affine

1. Représentons le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ associé à cette série statistique :

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2012 - terminale : image 3

2. Calculons les coordonnées du point moyen G :
$x_G = \dfrac{0,5 + 1 + 2,5 + 3 + 4 + 5 + 6}{7} = \dfrac{22}{7} \approx 3,1$ (valeur arrondie au dixième)
et $y_G = \dfrac{0,3 + 0,4 + 0,6 + 0,9 + 1,3 + 2 + 2,8}{7} = \dfrac{8,3}{7} \approx 1,2$ (valeur arrondie au dixième)
D'où : le point moyen G a pour coordonnées (3,1 ; 1,2).

3. À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ obtenue par la méthode des moindres carrés est : $y = 0,438 x - 0,190$ (les coefficients sont arrondis au millième).

4. a) cf repère précédent

4. b) Avec ce modèle, pour 8 000 personnes connectées, c'est-à-dire pour $x = 8$ , on a :
$y = 0,44 \times 8 - 0,19 \approx 3,33$
Avec ce modèle, pour 8 000 personnes connectées, le temps de réponse est d'environ 3,33 secondes.

5. La durée étant presque le double de celui prévu, ce résultat conduit à rejeter le modèle affine.

Partie B : Modèle exponentiel

1. a) $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5 ; 10]. Calculons $f^{\prime}(x)$ :
$f'(x) = 0,25 \times 0,4 e^{0,4 x} = 0,1 e^{0,4 x}$

1. b) Étudions le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5 ; 10] :
Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5 ; 10], $e^{0,4 x} > 0$ et 0,1 > 0.
Donc : pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5 ; 10], $f'(x) > 0$

1. c) On a montré que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5 ; 10], $f'(x) > 0$ .
Or, si pour tout $x \in I, \, f'(x) > 0$ , alors $f$ est croissante sur $I.$ .
On en conclut que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0,5 ; 10].

2. Calculons $f(8)$ :
$f(8) = 0,25 \times e^{0,4 \times 8} = 0,25 \times e^{3,2} \approx 6,13$ (valeur arrondie au centième)
(cf graphique, courbe en rouge)
Pour 8 000 personnes, on estime avec ce modèle, le temps de réponse à environ 6,13 secondes. Cette estimation est très proche de la durée constatée, donc ce modèle exponentiel semble le mieux adapté.

exercice 3

Partie A : Étude des dépenses du service A

1. a) Les dépenses du service A augmentent d'une somme constante chaque année (4 000 €). La suite $\left(a_{n}\right)$ est donc une suite arithmétique de raison 4 000 et de premier terme 20 000.

1. b) On a donc, pour tout entier $n > 0$ , $a_{n} = 20 000 + (n - 1) \times 4 000$ en fonction de $n$ .

1. c) Calculons $a_{10}$ :
$a_{10} = 20 000 + (10 - 1) \times 4 000 = 56 000$

2. Une formule qui, entrée dans la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépenses du service A est : $\boxed{\$R2+\$Q3}$

3. Calculons la somme $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{9} + a_{10}$ :
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{9} + a_{10}$ est la somme des dix premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $a_1 = 20 000$ et de raison 4 000. On a donc :
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{9} + a_{10} = \dfrac{10 \times (a_1 + a_{10})}{2} = \dfrac{10 \times (20 000 + 56 000)}{2} = 380 000$
Cette somme représente la somme totale des dépenses du service A pendant 10 ans de fonctionnement.

Partie B : Étude des dépenses du service B

1. La formule entrée dans la cellule S3 qui permet par recopie vers le bas de calculer les dépenses annuelles du service B est : $\boxed{\$S2*1,15}$

1. a) Faire subir à une grandeur une augmentation de 15 % revient à la multiplier par 1,15. On passe donc d'un terme au suivant en le multipliant par 1,15. La suite $\left(b_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme 20 000 et de raison 1,15.

1. b) Pour tout entier $n > 0$ , on a alors : $b_{n} = 20 000 \times 1,15^{n-1}$ en fonction de $n$ .

2. Calculons $b_{10}$ :
$b_{10} = 20 000 \times 1,15^{10 - 1} \approx 70 400$ (résultat arrondi à la centaine d'euros).

Partie C : Comparaison des deux services

Calculons la la somme $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \ldots + b_{9} + b_{10}$ correspondant à la somme totale dépensée en 10 ans pour le service B:
$b_{1} + b_{2} + b_{3} + \ldots + b_{9} + b_{10}$ est la somme des 10 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 20 000 et de raison 1,15. On a donc :
$b_{1} + b_{2} + b_{3} + \ldots + b_{9} + b_{10} = b_1 \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} = 20 000 \times \dfrac{1 - 1,15^{10}}{1 - 1,15} \approx 406 074$ (somme arrondi à l'euro).
Or, 406 074 > 380 000, donc le service B aura le plus dépensé en 10 ans pour son fonctionnement.

	P	Q	R	S	T
1	Numéro de l'année : $n$	Dépenses du service A : $a_{n}$	Cumul des dépenses du service A	Dépenses du service B : $b_{n}$	Cumul des dépenses du service B
2	1	20 000	20 000	20 000	20 000
3	2	24 000	44 000	23 000	43 000
4	3	28 000	72 000	26 450	69 450
5	4	32 000	104 000	30 417,50	99 867,50
6	5	36 000	140 000	34 980,13	134 847,63
7	6	40 000	180 000	40 227,14	175 074,77
8	7	44 000	224 000	46 261,22	221 335,99
9	8	48 000	272 000	53 200,40	274 536,39
10	9	52 000	324 000	61 180,46	335 716,85
11	10	56 000	380 000	70 357,53	406 074,38

exercice 4

1. Soit $x$ le nombre de lots A. $x$ est donc un nombre entier positif. On a donc $x \geq 0$ .
Soit $y$ le nombre de lots B. $y$ est donc un nombre positif entier. On a donc $y \geq 0$ .
Un lot A est composé de 5 portes et 5 fenêtres. Dans $x$ lots A, il y a $5x$ portes et $5y$ fenêtres.
Un lot B est composé de 4 portes et 2 fenêtres. Dans $y$ lots B, il y a $4y$ portes et $2y$ fenêtres.
Le menuisier ne peut pas stocker plus de 120 portes, donc $5x + 4y \leq 120$ et il ne peut pas stocker plus de 90 fenêtres, donc $5x + 2y \leq 90$ .
on obtient alors un système d'inéquations :
$\left \lbrace \begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 5x + 4y \leq 120 \\ 5x + 2y \leq 90 \end{array} \right.$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers.

2. On a : $5x + 4y \leq 120 \Longleftrightarrow 4y \leq 120 - 5x \Longleftrightarrow y \leq \dfrac{120 - 5x}{4} \Longleftrightarrow y \leq 30 - \dfrac{5}{4} x$
et : $5x + 2y \leq 90 \Longleftrightarrow 2y \leq 90 - 5x \Longleftrightarrow y \leq \dfrac{90 - 5x}{2} \Longleftrightarrow y \leq 45 - \dfrac{5}{2}x$
Nous obtenons alors le système suivant :
$(S)\qquad \left\lbrace \begin{array}{l c l} x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \\ y&\le&30-\dfrac{5}{4}x \\ y&\le&45-\dfrac{5}{2}x \end{array}\right.$
$x \geq 0$ et $y \geq 0$ déﬁnissent le premier quadrant.
L'ensemble des solution des l'inéquation $y \leq 30 - \dfrac{5}{4} x$ est le demi-plan situé en dessous de la droite (d₁). La partie à hachurer est donc le demi-plan situé au-dessus de la droite (d₁). [cf hachures roses]
L'ensemble des solution des l'inéquation $y \leq 45 - \dfrac{5}{2} x$ est le demi-plan situé en dessous de la droite (d₂). La partie à hachurer est donc le demi-plan situé au-dessus de la droite (d₂). [cf hachures rouges]
L'ensemble des points M du plan donc le couple de coordonnées $(x ; y)$ vérifie le système $(S)$ est l'ensemble des points à coordonnées entières situés dans la zone non hachurée (bords inclus).

3. Par lecture graphique [cf pointillés verts], le nombre maximum de lots B que le menuisier peut acheter s'il achète 10 lots A est 17.

4. a) Le bénéfice effectué sur un lot A est de 400 euros et sur un lot B de 200 euros. Le bénéfice mensuel qu'il peut réaliser est : $400 x + 200 y$ .

4. b) Les couples $(x ; y)$ qui permettent de réaliser un bénéfice de 5 000 € sont les couples à coordonnées entières appartenant à la droite d'équation $400x + 200y = 5000$ , soit $y = -2x + 25$ (droite tracée en bleu sur le graphique).

4. c) Le point de coordonnées (12 ; 15) est le point d'intersection des droites (d_{1[/dub]) et (d₂). C'est en ce point que le bénéfice mensuel est le plus grand possible.

Le bénéfice est alors égal à : 400 × 12 + 200 × 15 = 4 800 + 3 000 = 7 800, soit 7 800 euros.}

Publié par TP/Cel le 24-05-2012

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