Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Session Juin 2012 - Polynésie Française

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est distribué avec le sujet.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1

Cet exercice est un Q.C.M.
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.
Une réponse juste apporte 1 point; une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \neq - 1$ par $f(x) = \dfrac{x + 2}{x + 1}$ .
a) L'image de 3 par la fonction $f$ est:

A. $\dfrac{14}{3}$

B. $\dfrac{5}{4}$

C. 2

b) Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.
Le point de coordonnées $(-2 ; 0)$ est situé :

A. au-dessous de la courbe $\mathcal{C}$ ?

B. au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$ ?

C. sur la courbe $\mathcal{C}$ ?

c) On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Pour tout réel $x \neq -1$ :

A. $f^{\prime}(x) = \dfrac{- 1}{(x + 1)^2}$

B. $f^{\prime}(x) = 1$

C. $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x + 1}$

2. La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-4 ; 2]$ et la droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{P}$ au point d'abscisse 1.

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française 2012 - terminale : image 1

a) L'équation $g(x) = 0$ a pour solution(s) :

A. 1,5

B. -1

C. -3 et 1

b) L'inéquation $g(x) \ge 0$ a pour ensemble de solutions :

A. $[-4 ; -1]$

B. $[-3 ; 1]$

C. $[0 ; 2]$

c) On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de $g$ . On a :

A. $g^{\prime}(1) = - 2$

B. $g^{\prime}(1) = - \dfrac{1}{2}$

C. $g^{\prime}(1) = 2$

8 points

exercice 2

Au cours d'une épidémie virale on a relevé chaque semaine le nombre, exprimé en milliers, de personnes contaminées. Le tableau ci-dessous rend compte de cette enquête sur une période de 10 semaines.

Semaine $\left(x_{i}\right)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre de cas en milliers $\left(y_{i}\right)$	2	5	7	15	30	33	50	68	79	92

Partie A

1. Représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ associé à la série statistique ci-dessus.
(unités graphiques : 1 cm pour 1 semaine en abscisse, 1 cm pour 10 milliers de personnes en ordonnée). Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de ce nuage par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au millième.

2. En utilisant ce modèle, prévoir le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 14^ème semaine.

Partie B

1. Calculer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées entre la 8^ème et la 10^ème semaine.

2. Calculer le taux d'évolution hebdomadaire moyen, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées sur cette même période.

3. On suppose que, à partir de la 10^ème semaine, le nombre de personnes contaminées augmente chaque semaine de 16,3%.
a) Calculer le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 11^ème semaine.
b) Calculer, en utilisant ce modèle, le nombre arrondi au millier de personnes contaminées à la 14^ème semaine.

Partie C

En réalité le nombre de cas relevés à la 14^ème semaine a été égal à 152 000.

1. Expliquer pourquoi on aurait pu prévoir, à l'aide du nuage de points, l'écart entre l'estimation obtenue à la partie A et le nombre réel de personnes contaminées à la 14^ème semaine.

2. Le modèle utilisé à la partie B donne-t-il une meilleure estimation du nombre réel de personnes contaminées à la 14^ème semaine que celui de la partie A ?

6 points

exercice 3

Partie A

Une enquête est réalisée auprès des 1 500 élèves du lycée Bourbaki qui possèdent un téléphone portable afin de connaître le type d'appareil et le type de forfait dont ils disposent.
Il en ressort que :
210 élèves possèdent un smartphone et parmi eux 20% ont un forfait bloqué. 375 élèves ont un forfait non bloqué.
Recopier et compléter le tableau suivant :

	Nb d'élèves ayant un smartphone	Nb d'élèves ayant un autre téléphone	Total
Nb d'élèves ayant un forfait bloqué
Nb d'élèves ayant un forfait non bloqué			375
Total	210

Partie B

On interroge au hasard un élève du lycée Bourbaki et on considère les évènements:
    $S$ : «l'élève interrogé a un smartphone»
    $B$ : «l'élève interrogé a un forfait bloqué»

1. Calculer la probabilité de l'évènement B et celle de l'évènement S.

2. L'élève interrogé a un smartphone. Quelle est la probabilité qu'il ait un forfait non bloqué ?

3. a) Décrire par une phrase l'évènement $S \cup B$ .
    b) Calculer la probabilité de l'évènement $S \cup B$ .

Voir la correction

exercice 1

1. a) L'image de 3 par $f$ est $f(3)=\dfrac{3+2}{3+1}=\dfrac{5}{4}.$
La réponse juste est la réponse B.

1. b) L'image de -2 par $f$ est $f(-2)=\dfrac{-2+2}{-2+1}=0.$ Donc le point de coordonnées (-2 ; 0) appartient à la courbe.
La réponse juste est la réponse C.

1. c) Pour tout $x\neq-1~,~f'(x)=\dfrac{(x+1)\times 1-(x+2)\times 1}{(x+1)^2}=\dfrac{-1}{(x+1)^2}$
La réponse juste est la réponse A.

2. a) Les solutions de l'équation $g(x)=0$ sont les abscisses $x$ des points d'intersection de la courbe $\mathcaal{C}$ avec l'axe des abscisses dont une équation est $y=0$ .
Sur la repésentation graphique, on lit que ces abscisses sont -3 et 1.
La réponse juste est la réponse C.

2. b) Résoudre l'inéquation $g(x)\ge 0$ , c'est déterminer les $x$ dont l'image par $g$ est positive ou nulle.
Cela correspond donc aux abscisses des points de la courbe, situés au dessus de l'axe des abscisses.
La réponse juste est la réponse B.

2. c) La valeur de $g'(1)$ nombre dérivé de $g$ en 1 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
Ce coefficient directeur vaut -2, donc $g'(1)=-2.$
La réponse juste est la réponse A.

exercice 2

Partie A

1. Représentation du nuage de points :

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française 2012 - terminale : image 2

Une équation de la droite d'ajustement affine de ce nuage par la méthode des moindres carrés, est $y=10,552x-19,933.$

2. En utilisant ce modèle, le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 14ème semaine peut s'obtenir en lisant l'image de $x=14$ sur la droite d'ajustement affine.
On peut également remplacer $x$ par 14 dans l'équation de la droite d'ajustement afiine.
On obtient (dans un cas comme dans l'autre) environ 128 milliers.

Partie B

1. Le taux d'évolution, entre la 8^e et la 10^e semaine est :
$\dfrac{92-68}{68}\approx0,3529\text{ or, }0,3529\approx35,3\%$
Le taux d'évolution entre la 8^e et la 10^e semaine est donc : 35,3 %

2. Cette période comporte deux semaines. Soit $t$ le taux d'évolution hebdomadaire moyen sur cette période.
Le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 35,3 % vaut 1 + 0,353 = 1,353
Le réel $t$ doit donc être solution de l'équation $(1+t)^2=1,353$ soit $1+t=\sqrt{1,353} \approx 1,16318$
$t=0,16318\text{ soit }t\approx16,3\%$
Le taux d'évolution hebdomadaire moyen est donc d'environ : 16,3 %.

3. a) Le nombre de personnes contaminées à la 11^e semaine est : $92+\dfrac{16,3}{100}\times92\approx107$ milliers.

3. b) Ou bien on réitère l'opération précédente, ou bien on peut utiliser le coefficient multiplicateur qui ici vaut 1,163.
Le nombre de personnes contaminées à la 14^e semaine est égal à : $92 \times(1,163)^4\approx168$ milliers.

Partie C

1. On pouvait prévoir cet écart car les points ne semblent pas alignés, et la dispersion est assez grande autour de la droite d'ajustement.

2. Le modèle donné dans la partie B. donne un écart de 168 000 - 152 000 = 16 000
Le modèle donné dans la partie A. donne un écart de 152 000 - 128 000 = 24 000
Le second modèle (donné dans la partie B.) donne donc une meilleure estimation que celle obtenue avec le premier modèle.

exercice 3

Partie A

	Nb d'élèves ayant un smartphone	Nb d'élèves ayant un autre téléphone	Total
Nb d'élèves ayant un forfait bloqué	42	1 083	1 125
Nb d'élèves ayant un forfait non bloqué	168	207	375
Total	210	1 290	1 500

Partie B

1. $p(B)=\dfrac{1125}{1500}=\dfrac{3}{4}=0,75$
$p(S)=\dfrac{210}{1500}=\dfrac{7}{50}=0,14$

2. La probabilité demandée est $p_S(\bar B)=\dfrac{168}{210}=\dfrac{4}{5}=0,8.$

3. L'événement $S \cup B$ est : "l'élève interrogé a un smartphone ou dispose d'un forfait bloqué".
$p(S \cup B)=p(S)+p(B)-p(S \cap B)=\dfrac{210}{1500}+\dfrac{1125}{1500}-\dfrac{42}{1500}=\dfrac{1293}{1500}\approx0,862.$

Publié par TP/malou le 30-12-2013

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