Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Session Septembre 2012 - Polynésie Française

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Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est distribué avec le sujet.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.


8 points

exercice 1

Les résultats d'une étude sur l'énergie éolienne en France de 2000 à 2010 sont donnés dans le tableau ci-dessous. La «capacité en MW» est la quantité annuelle d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, exprimée en mégawatts et arrondie à l'unité. Le «pourcentage d'évolution» est le taux d'évolution de la capacité par rapport à celle de l'année précédente.
AnnéeCapacité en MWPourcentage d'évolution
200068 
200195+ 39,71%
2002148+ 55,79%
2003248 
2004386+ 55,65%
2005757+ 96,11%
2006 + 107,00%
20072 455+ 56,67%
20083 404+ 38,66%
20094 492+ 31,96%
20105 660+ 26,00%
Source : www.thewindpower.net


Partie A

Dans cette partie, les résultats donnés en pourcentage seront arrondis au centième.

1. a) Calculer le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage.
    b) Calculer la capacité en MW de l'année 2006, arrondie à l'unité.

2. Calculer le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage.
Déterminer, parmi les équations proposées, celle qui permet de déterminer le taux d'évolution moyen annuel t de 2007 à 2010. On ne demande pas de calculer ce taux.
a) (1 + t)^3 = 2,3055b) (1 + t)^4 = 2,3055c) (1 + t)^3 = 1,3055


Partie B

On suppose qu'à partir de 2010 le taux d'évolution de la capacité reste égal à 26% par an.

1. Pour visualiser l'évolution de la quantité d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, on utilise la feuille de calcul ci-dessous.
 ABCDEFGH
1Année2010201120122013201420152016
2Capacité en MW5 660      

    a) Calculer la capacité en MW en 2011, à l'unité près.
    b) Écrire la formule saisie dans la cellule C2, permettant par recopie vers la droite de compléter les cellules de D2 à H2.

2. On considère la suite \left(U_{n}\right) définie comme suit :
U_{0} = \np{5660} et, pour tout entier naturel n, U_{n} est la capacité en MW de l'année 2010 + n.
    a) Préciser la nature de la suite \left(U_{n}\right) et donner sa raison.
    b) Exprimer U_{n} en fonction de n, pour tout entier naturel n.
    c) Calculer la capacité fournie en 2016. On arrondira le résultat à l'unité.


7 points

exercice 2

Dans l'un des ateliers d'une usine chimique, la production journalière d'une certaine substance est comprise entre 0 et 90 kilogrammes.
Pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 90], on note f(x) le coût de production, en euros, de x kilogrammes de cette substance. La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; 90].

Partie A

La courbe \mathcal{C}, représentative dans un repère orthogonal de la fonction coût de production f, est donnée dans l'annexe.
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française Septembre 2012 - terminale : image 1


1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
    a) Combien coûte à l'usine la production de 40 kg de la substance ? De 80 kg ?
    b) Quelle production correspond à un coût de 480 € ?
    c) Quelle est la production maximale pour laquelle le coût n'excède pas 340 €?

2. Un kilogramme de la substance produite est vendu 9 €. La fonction g, exprimant la recette en euros pour x kilogrammes vendus, est donc définie sur l'intervalle [0 ; 90] par g(x) = 9x.
Toute la production est vendue et l'entreprise souhaite optimiser son bénéfice.
    a) Tracer la représentation graphique de la fonction g sur l'annexe à rendre avec la copie.
    b) Déterminer graphiquement les quantités minimale et maximale que l'atelier doit produire et vendre pour qu'il y ait bénéfice.

Partie B

Dans la suite, on admet que la fonction coût de production journalier f est définie par :
f(x) = 0,075x^2 + 1, 5x + 120 pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 90].


1. Montrer que le bénéfice B(x) réalisé par l'atelier pour la production et la vente journalières de x kilogrammes est donné par :
B(x) = - 0,075x^2 + 7,5x - 120 pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 90].

    a) On note B^{\prime} la dérivée de la fonction B. Calculer B^{\prime}(x).
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 90].
    c) En déduire la quantité de substance que l'atelier doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Préciser le montant de ce bénéfice maximal.


5 points

exercice 3

Une épidémie due à une bactérie s'est développée dans une grande ville.
Afin de lutter contre cette épidémie en distribuant de façon raisonnée un antibiotique adapté, un organisme de santé a mis au point un test de dépistage.
On admet que :
    15% de la population est contaminée par cette bactérie
    le test est positif dans 99,6% des cas pour une personne contaminée par cette bactérie
    le test est négatif dans 97,6% des cas pour une personne non contaminée par cette bactérie.

Une personne est choisie au hasard dans cette ville. On admet que chaque personne a la même probabilité d'être choisie. On considère les évènements suivants :
    B : «La personne choisie est contaminée par la bactérie»
    T : «Pour la personne choisie, le test est positif»
Dans chaque question, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale exacte.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant :
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française Septembre 2012 - terminale : image 2


2. Quelle est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne choisie est contaminée par la bactérie ?

3. Calculer la probabilité que la personne choisie soit contaminée par la bactérie, et que pour elle le test soit positif.

4. Quelle est la probabilité que, pour la personne choisie, le test soit positif ?

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
Calculer la probabilité que le test donne un résultat faux.
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