Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des Systèmes d'Information.
Nouvelle Calédonie - Session Mars 2012

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1

Un concessionnaire automobile fait le bilan annuel de ses ventes.
60% des véhicules vendus sont d'occasion, les autres sont neufs.
Certains ont un moteur diesel, les autres un moteur essence.
Parmi les véhicules d'occasion, 25% ont un moteur diesel.
Parmi les véhicules neufs, 30% ont un moteur essence.
On choisit au hasard le dossier d'un véhicule vendu cette année. On note :
    N l'évènement : «C'est un véhicule neuf»
    D l'évènement : «C'est un véhicule diesel»

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Mars 2012 - terminale : image 1


2. Traduire par une phrase l'évènement N \cap D.

3. Calculer P(N \cap D).

4. Montrer que : P(D) = 0,43.

5. En déduire la probabilité conditionnelle P_{D}(N).
On donnera une valeur arrondie du résultat à 10-2.

6. Les évènements N et D sont-ils indépendants ? Justifier.


5 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire 0,25 point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est 0.

En septembre 2011, les coûts de production d'une petite entreprise s'élevaient à 2 530 €.
Cette entreprise souhaite augmenter progressivement son bénéfice, en diminuant son coût de production. Elle envisage pour cela deux stratégies :
    Une première stratégie consiste à diminuer le coût de production de 2% par mois.
    Une deuxième consiste à baisser ce coût de 40 € par mois.
La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, permet de comparer ces deux stratégies. Tous les résultats sont donnés en euros et arrondis à 0,01.
 ABCDEF
1 Stratégie n°1Stratégie n°2
2MoisRang du moisCoût de productionMontant de la baisseCoût de productionMontant de la baisse
3septembre 201112530,0050,602530,0040,00
4octobre 201122479,4049,592490,0040,00
5novembre 201132429,8148,602450,0040,00
6décembre 201142381,2147,622410,0040,00
7janvier201252333,59 2370,00 

1. Dans la cellule E4, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :
a) = E$3 - 40b) = C3 - F3c) = C$3 - 40d) = E3 - 40


2. Dans la cellule D3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :
a) = C3 *2/100b) = $C$3*2c) = C3*2d) = $C$3*2/100


3. Selon la stratégie n°1, le pourcentage d'évolution du coût de production de septembre 2011 à janvier 2012 (arrondi au dixième) est :
a) -7,8%b) -8,0%c) -9,6%d) -10,0%


4. On appelle u_{n} le coût de production au mois de rang n selon la stratégie n°2.
On a ainsi : u_{1} = 2 530, u_{2} = 2 490, ...
L'expression de u_{n} en fonction de n est :
a) u_{n} = 2530 \times 40^{n-1}b) u_{n} = 2530 - 40(n - 1)c) u_{n} = 2530 - 40 nd) u_{n} = 2530 \times 40 n


5. La stratégie permettant d'obtenir le bénéfice le plus important en septembre 2013 est:
a) la stratégie n°1b) la stratégie n°2c) les deux stratégies sont équivalentes



5 points

exercice 3

Le tableau suivant donne la superficie et le prix de dix appartements anciens vendus récemment dans le centre d'une petite ville :
Superficie (en m2) : x_{i}323638424565708090110
Prix (en centaines d'euros) : y_{i}3303704004304506606807808501050

1. Représenter, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, le nuage de points M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right) associé aux informations ci-dessus.
On adoptera les unités graphiques suivantes :
    sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 m2 ;
    sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100 centaines d'euros.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer dans le repère.

3. Donner une équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au centième).

4. Dans cette question, on utilisera l'équation obtenue dans la question 3 pour faire des estimations de prix et de surface.
    a) Estimer (à la centaine d'euros près) le prix d'un appartement de 150 m2.
    b) Estimer (au mètre carré près) la surface d'un appartement coûtant 160 000 euros.


6 points

exercice 4

La courbe \mathcal{C} tracée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie sur ]0 ; +\infty[.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Mars 2012 - terminale : image 2
La droite tracée en pointillés est la tangente à \mathcal{C} au point d'abscisse 1.

Partie A

Dans cette partie, il est demandé de répondre aux différentes questions par lecture graphique.
Aucun calcul n'est donc attendu.


1. Donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0.

2. Résoudre l'équation f^{\prime}(x) = 0.

3. Déterminer f^{\prime}(1).

Partie B

En fait, la fonction f est définie sur ]0 ; +\infty[ par :
f(x) = 2x - 2 - 4 \ln (x).

1. Montrer que : f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x} pour tout x > 0.

2. En déduire le tableau de variation de f. On indiquera la valeur exacte du minimum.
On notera \alpha la solution de l'équation f(x) = 0 appartenant à l'intervalle [3 ; +\infty[.
Déterminer un encadrement de \alpha à 10-2 près puis à 10-3 près.

Partie C

Soit C la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 6] par:
C(x) = x^2 + 2x -  4x \ln (x).
Une entreprise fabrique des boitiers de télécommande plastiques. Lorsque l'entreprise fabrique x milliers de boitiers par jour, le coût moyen de production d'un boitier est égal à C(x) (x est compris entre 1 millier et 6 milliers). Le coût moyen est exprimé en euros.

1. Montrer que C^{\prime}(x) = 2x - 2 - 4 \ln (x)C^{\prime} désigne la fonction dérivée de C sur [1 ; 6].

2. À l'aide de l'étude faite dans la partie B, déterminer le signe de C^{\prime}(x) sur [1 ; 6] puis établir le tableau de variation de C sur l'intervalle [1 ; 6].

3. En déduire le nombre de boitiers à produire par jour pour que le coût de production d'un boitier soit minimum. On donnera une valeur approchée du résultat à un boitier près.
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