Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des Systèmes d'Information.
Session Juin 2012 - Polynésie Française

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

1. L'équation $\ln (2x + 3) = 0$ admet comme solution dans l'intervalle $\left]- \dfrac{3}{2} ; +\infty \right[$ :

a) $-\dfrac{3}{2}$

b) $- 1$

c) $\ln (3)$

d) $- \dfrac{2}{3}$

2. Un capital de 500 € est placé sur un compte à intérêts composés avec un taux annuel de 3%. Le montant du compte dépassera le double du montant initial pour la 1^ére fois au bout de :

a) 24 années

b) 6 années

c) 34 années

d) 12 années

3. Soit une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0} = 0$ et de raison $r = 3$ , alors $u_{50}$ vaut :

a) 151

b) 150

c) 50³

d) 350

4. Soit une suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ , $n \ge 1, u_{n+1} = 2u_{n} - 2$ .
La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite :

a) constante

b) arithmétique

c) géométrique

d) ni arithmétique, ni géométrique

5 points

exercice 2

On a copié ci-dessous le tableau d'une feuille de calcul donnant le nombre de mariages célébrés en France métropolitaine entre 2000 et 2009.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
1	Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
2	Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	Nombre de mariages en milliers $\left(y_{i}\right)$	297,9	288,3	279,1	276	271,6	276,3	267,3	267,2	258,7	245,2
4	Taux d'évolution annuel		-3,2%	-3,2%	-1,1%	-1,6%	1,7%	-3,3%	0,0%	-3,2%	-5,2%

source des données : INSEE
La plage B3 : K3 est au format «Nombre», arrondi au dixième, et la plage B4 : K4 est au format «Pourcentage», arrondi à 0,1%.

Partie 1

Les données ont été représentées dans un repère par un nuage de points fourni en annexe :

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française Juin 2012 - terminale : image 1

1. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite (D), droite d'ajustement de $y$ en $x$ de la série $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.

2. Pour la suite, on prendra pour équation de la droite (D) : $y = -4,6x + 298$ .
a) Tracer la droite (D) dans le repère fourni en annexe.
b) Avec ce modèle, déterminer le nombre de mariages que l'on peut prévoir en France métropolitaine pour l'année 2013.

Partie 2

1. La ligne 4 du tableau précédent donne les taux d'évolution annuels du nombre de mariages célébrés. Quelle formule, copiée sur la plage C4 : K4, a été entrée dans la cellule C4 ?

2. a) Calculer le taux d'évolution global du nombre de mariages célébrés en France entre 2005 et 2009. On arrondira le résultat à 0,1%.
b) En déduire le taux d'évolution annuel moyen du nombre de mariages célébrés en France entre 2005 et 2009. On arrondira le résultat à 0,1%.

5 points

exercice 3

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 0,0001.

Une maladie touche 0,2% d'une population. Un laboratoire propose un test afin de dépister cette maladie. Des expériences ont montré les résultats suivants :
    Lorsqu'un individu est atteint par la maladie, le test est positif dans 95% des cas.
    Lorsqu'un individu est sain, le test est positif dans 2% des cas (on parle alors de «faux positifs»).
On choisit un individu au hasard dans la population et on considère les évènements suivants :
    $M$ : «l'individu est atteint par la maladie»,
    $T$ : «le test est positif».
On note respectivement $\overline{M}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires des évènements $M$ et $T$ .

1. Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que l'individu n'est pas malade ?

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française Juin 2012 - terminale : image 2

3. Calculer la probabilité de l'évènement «l'individu est atteint par la maladie et le test est positif» noté $M \cap T$ .

4. Justifier que la probabilité de l'évènement $T$ est environ égale à 0,0219.

5. Calculer la probabilité que l'individu soit malade, sachant que le test est positif.

6. Que pensez-vous de la fiabilité de ce test ?

6 points

exercice 4

Une entreprise fabrique des objets. On note $x$ le nombre d'objets fabriqués par jour. Une étude a montré que le coût de fabrication journalier engendré par la fabrication de $x$ objets est donné, en euros, par : $f(x) = 400\text{e}^{0,01x}$ pour tout entier $x$ compris entre 0 et 220.

1. Calculer $f(0)$ . Que représente ce nombre pour l'entreprise ?
Chaque objet est vendu 15 € et l'on suppose que tous les objets produits sont vendus.

2. a) Calculer la recette générée par la vente de 50 objets.
b) Exprimer en fonction de $x$ la recette, en euros, générée par la vente de $x$ objets. On la notera $R(x)$ .

3. On a représenté ci-dessous dans un repère les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{R}$ des fonctions $f$ et $R$ .

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On appelle intervalle de rentabilité l'intervalle des quantités d'objets vendus pour lesquelles l'entreprise réalise un profit.
Déterminer graphiquement l'intervalle de rentabilité.

4. On rappelle la propriété suivante :

Pour toute fonction dérivable $u$ sur un intervalle donné, la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur ce même intervalle et a pour dérivée $u^{\prime}\text{e}^u$ .

On note, pour $x \in [0 ; 220], B(x)$ le bénéfice journalier (éventuellement négatif) en euros.
a) Donner l'expression de $B(x)$ en fonction de $x$ .
b) On admet que la fonction $B$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 220] et l'on note $B^{\prime}$ sa fonction dérivée.
Justifier que $B^{\prime}(x) = 15 - 4\text{e}^{0,01x}$ .

5. Pour cette question, toute tentative de réponse, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.
On admet que la fonction $B$ a pour tableau de variations : $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & 0 & & \alpha & & 220 \\ \hline B(x) & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} \\ \hline \end{tabvar}$ où $\alpha$ est un nombre réel.
Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près. En déduire le nombre d'objets que l'entreprise doit fabriquer pour que le profit soit maximal.

Voir la correction

exercice 1

1. Réponse b)
car $-1\in \left]-\dfrac{3}{2}~;~+\infty \right[ \text{ et } \ln(-2+3)=\ln(1)=0$

2. Réponse a)
car $1,03^n\ge 2 \text{ pour } n\ge 23,45$

3. Réponse b)
car $u_{50}=u_0+(50-0)\times r = 0+50\times 3=150$

4. Réponse d)
car $u_0=1 \qquad u_1=0 \qquad u_2=-2$ , et la suite n'est ni constante, ni géométrique, ni arithmétique.

exercice 2

Partie A

1. Une équation de la droite $(D)$ , droite d'ajustement de $y$ en $x$ de la série $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés est
$y=-4,62x+2,98,17$

2. On prend pour équation de la droite $(D) ~:~ y = -4,6x + 298.$
2. a) Pour tracer $(D)$ , il suffit de prendre deux points.

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2. b) Avec ce modèle, le nombre de mariages que l'on peut prévoir en France métropolitaine pour l'année 2013 (soit l'année de rang 14) est :
$y=-4,6\times 14 + 298=233,6 \text{ soit environ } 234 \text { milliers de mariages.}$

Partie B

1. Dans C4 peut être écrit " =(C3-B3)/B3 "

2. a Entre 2005 et 2009, le taux d'évolution global est :
$\dfrac{245,2-276,3}{276,3}\approx -0,1125$ soit une baisse d'environ 11,3 %.

2. b Sur 4 ans, la baisse est de 11,3 % soit un coefficient multiplicatif de $1-\dfrac{11,3}{100}=0,887$
Annuellement, le coefficient multiplicatif est de : $0,887^{\frac{1}{4}}\approx 0,9705$
ce qui correspond à une baisse annuelle de 1 - 0,9705 = 0,0295 soit une baisse annuelle d'environ 3 %.

exercice 3

1. Lorsqu'un individu est sain, le test est positif dans 2% des cas donc :
la probabilité que le test soit positif sachant que l'individu n'est pas malade est : $p_{\overline M}(T)=0,02$

2.

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3. $p(M\cap T)=p_M(T)\times p(M)=0,95\times 0,002=0,0019$

4. Les évènements $M\text{ et }\overline{M}$ formant une partition de l'univers, on a :
$p(T)=p(T\cap M)+p(T\cap\overline{M})$
$p(T)=p_M(T)\times p(M)+p_{\overline{M}}(T)\times p(\overline{M})$
$p(T)=0,95\times 0,002+0,02\times 0,998\approx 0,0219$

5. La probabilité que l'individu soit malade, sachant que le test est positif est $p_T(M)$
$p_T(M)=\dfrac{p(M\cap T )}{p(T)}=\dfrac{0,0019}{0,0219}\approx 0,0868$

6. Sachant que le test est positif, la probabilité que l'individu soit malade est d'environ 9%, on en déduit que le test est peu fiable.

exercice 4

1. $f(0)=400$
L'entreprise perd donc 400 euros par jour lorsqu'elle ne fabrique aucun objet.

2. a) La recette pour 50 objets est de : 15 × 50 = 750 euros.

2. b) Pour $x\in[0~;~220]~,~R(x)=15x$

3. Par lecture graphique, l'intervalle de rentabilité est ]40 ; 203[.

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4. a) $\text{Pour }x\in [0~;~220]~,~B(x)=R(x)-f(x)=15x-400\,\text{e}\,^{0,01x}$

4. b) $\text{Pour }x\in [0~;~220]~,~B'(x)=15-400\times 0,01\,\text{e}\,^{0,01x}=15-4\,\text{e}\,^{0,01x}$

5. La valeur $\alpha$ est la valeur qui annule la dérivée.
$15-4\,\text{e}\,^{0,01\alpha}=0 \\ 15=4\,\text{e}\,^{0,01\alpha}\\ \\ \dfrac{15}{4}=\text{e}\,^{0,01\alpha} \\ \ln\left(\dfrac{15}{4}\right)=0,01\alpha \\ 100\times\ln\left(\dfrac{15}{4}\right)=\alpha$
$\alpha \approx 132,2$
L'entreprise doit fabriquer environ 132 objets pour que le profit soit maximal.

Publié par TP/malou le 30-11--0001

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