Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des Systèmes d'Information.
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2012

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.


5 points

exercice 1 : taux d'évolution

Le tableau ci-dessous présente le nombre de voitures neuves vendues en France en 1980, 1990 puis chaque année de 1996 à 2010.
Année19801990199619971998199920002001
Nombre de ventes (en milliers)1 8732 3092 1321 7131 9442 1482 1342 255

Année200220032004200520062007200820092010
Nombre de ventes (en milliers)2 1452 0092 0142 0682 0012 0652 0502 2692 250
Source: comité des constructeurs français d'automobiles (CCFA)


Partie A : interpolation linéaire

On désire évaluer dans cette première partie le nombre de voitures vendues en 1986.
On suppose que la progression des ventes entre 1980 et 1990 est linéaire et qu'elle peut être modélisée par la droite passant par les points A et B de coordonnées respectives (1980 ; 1873) et (1990 ; 2309).

1. Déterminer, sans le justifier, l'équation de la droite (AB).

2. En déduire une estimation du nombre de voitures neuves vendues en 1986, arrondie au millier.

Partie B : taux d'évolution

1. Jérémie aimerait connaître le taux d'évolution du nombre de ventes de voitures neuves d'une année à l'autre à partir de 1997. Pour cela il s'aide d'un tableur dont la page est représentée ci-dessous:
 ABCD
1AnnéeNombre de ventes en milliersTaux d'évolutionIndice
219962 132 99,91
319971 713-19,65% 
419981 944  
519992 148  
620002 134 100
720012 255  
820022 145  
920032 009  
1020042 014  
1120052 068  
1220062 001  
1320072 065  
1420082 050  
1520092 269  
1620102 250  

Le format des cellules de la colonne C est en pourcentage, arrondi à deux chiffres après la virgule.
    a) Justifier le résultat de la cellule C3.
    b) Quelle formule Jérémie doit-il rentrer dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, tous les taux d'évolution souhaités?

2. Clémentine souhaite observer l'évolution du nombre de ventes en prenant pour base 100 le nombre de ventes en 2000.
Le format des cellules de la colonne D est en «nombre» à deux décimales.
    a) Justifier le résultat de la cellule D2.
    b) Parmi les trois formules suivantes, écrivez sur votre copie celle que Clémentine doit rentrer dans la cellule D2 pour obtenir, par recopie vers le bas, tous les indices souhaités ?
Formule 1 : = B2/B$6*100
Formule 2 : = B$6/B2*100
Formule 3: = B2/B6*100

3. Sophie désire évaluer le nombre de voitures neuves qui seront vendues en 2020.
    a) Calculer le taux global d'évolution du nombre de voitures neuves vendues entre 1996 et 2010 (arrondir à 0,01%).
    b) Démontrer alors que le taux moyen annuel entre 1996 et 2010 est environ égal à 0,39%.
    c) Sophie suppose qu'à partir de 2010 le nombre de voitures neuves vendues augmente chaque année de 0,39%. En déduire alors le nombre de voitures neuves qui seront vendues en 2020 (arrondir au millier) ?


4 points

exercice 2

La puissance électrique maximale consommée en France en hiver dépend en partie des conditions climatiques. Si la demande est trop forte, la France doit importer une partie de son énergie électrique. On considère comme aléatoire la température minimale d'un hiver.
On note E l'événement «l'hiver a été rude» et I l'événement «la France doit importer une partie de son énergie électrique».
On note P(E) la probabilité de l'événement E et on considère que P(E) = 0,1.
Si l'hiver est rude, la probabilité que la France importe une partie de son énergie électrique est de 0,80.
Si l'hiver n'est pas rude, la probabilité que la France importe une partie de son énergie électrique est de 0,60.

1. Traduire les données de l'énoncé par un arbre de probabilités ou un tableau.

2. Calculer la probabilité que l'hiver soit rude et que la France importe une partie de son énergie électrique.

3. Démontrer que P(I) = 0,62.

4. On choisit au hasard un hiver durant lequel la France a importé une partie de son énergie électrique.
Quelle est la probabilité que cet hiver ait été rude ? On donnera la valeur arrondie au centième.


4 points

exercice 3

Un potier fabrique des théières et des coupes à fruits originales. Les théières et les coupes à fruits sont munies chacune d'une anse en rotin, fournie par un autre artisan. La fabrication d'une théière nécessite 1,8 kg de terre et 1 h de main d'?uvre. Tandis que celle d'une coupe à fruits nécessite 3,6 kg de terre et 30 min de main d'œuvre.

Étant en rupture de stock, le potier ne dispose pour la semaine que de 162 kg de terre. Par ailleurs il n'a en réserve que 30 anses à théière et 40 anses à coupe à fruits. Enfin, il ne souhaite pas travailler plus de 39 h au cours de la semaine.

1. Déterminer un système d'inéquations traduisant les contraintes pour la fabrication dans la semaine de x théières et y coupes à fruits.

2. Les solutions du système précédent sont les coordonnées de certains points appartenant à la région grisée donnée en annexe 1.
Le potier peut-il fabriquer 15 théières et 38 coupes à fruits ?
ANNEXE 1
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2012 - terminale : image 1


3. Le prix de vente d'une théière est de 45 € et celui d'une coupe à fruits de 63 €. Le potier souhaite maximiser son chiffre d'affaires. Il utilise un tableur pour déterminer le couple (x ; y) qui correspond au profit maximal.
Un extrait de la feuille de calcul est donné en annexe 2.
ANNEXE 2
 ABCDEFGHIJKL
1403 1953 2403 2853 3303 3753 4203 4653 5103 5553 6003 645
2393 1323 1773 2223 2673 3123 3573 4023 4473 4923 5373 582
3383 0693 1143 1593 2043 2493 2943 3393 3843 4293 4743 519
4373 0063 0513 0963 1413 1863 2313 2763 3213 3663 4113 456
5362 9432 9883 0333 0783 1233 1683 2133 2583 3033 3483 393
6352 8802 9252 9703 0153 0603 1053 1503 1953 2403 2853 330
7342 8172 8622 9072 9522 9973 0423 0873 1323 1773 2223 267
8332 7542 7992 8442 8892 9342 9793 0243 0693 1143 1593 204
9322 6912 7362 7812 8262 8712 9162 9613 0063 0513 0963 141
10312 6282 6732 7182 7632 8082 8532 8982 9432 9883 0333 078
11302 5652 6102 6552 7002 7452 7902 8352 8802 9252 9703 015
12y / x1516171819202122232425

    a) Quelle formule a été entrée dans la cellule B1, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B1 : L11 ?
    b) On suppose que toute la production est vendue. Déterminer à l'aide du graphique et du tableau donnés en annexes 1 et 2 le nombre de théières et de coupes à fruits que le potier doit fabriquer dans la semaine pour obtenir un chiffre d'affaires maximal.
    c) Quel est alors ce chiffre d'affaires ?


7 points

exercice 4

Les prix seront arrondis au centime d'euros.
Une entreprise d'agroalimentaire désire lancer sur le marché un nouveau produit sur le segment «bio».
Une étude préalable a permis de modéliser la fonction offre f et la fonction demande g.
x désigne la quantité de produit mise sur le marché en centaines de kilogrammes et x appartient à l'intervalle [0 ; 50].
L'expression f(x) désigne le prix proposé par l'entreprise, en euros, d'un kilogramme de ce produit en fonction de x.
L'expression g(x) désigne le prix, en euros, que les consommateurs sont prêts à dépenser pour l'achat d'un kilogramme de ce produit pour la quantité x mise sur le marché.
Les fonctions f et g sont définies par les relations suivantes :
f(x) = 10\text{e}^{0,001x^2 + 0,02x}     et     g(x) = 10\text{e}^{- 0,06x + 2}


Partie A : étude d'un cas particulier

L'entreprise veut mettre sur le marché 3 000 kg du nouveau produit.

1. Montrer alors qu'un kilogramme du nouveau produit sera vendu 44,82 €, autrement dit que l'offre est égale à 44,82 €.

2. Combien le marché est-il prêt à payer un kilogramme du nouveau produit ?

Partie B : étude des fonctions f et g

1. On rappelle que si u désigne une fonction dérivable sur l'intervalle I, alors \left(\text{e}^u\right)^{\prime} = u^{\prime} \text{e}^u.
    a) On désigne par f^{\prime} la fonction dérivée de f.
Déterminer l'expression f^{\prime}(x) puis étudier soigneusement son signe sur l'intervalle [0 ; 50].
    b) En déduire le tableau de variations de la fonction f.
    c) Donner sans justification le tableau de variations de la fonction g.

2. Une partie de la courbe de la fonction f est donnée en annexe 3.
Compléter le tableau de valeurs de la fonction g située en bas de l'annexe 3 et construire la courbe représentative de la fonction g dans le même repère que celui de la courbe de la fonction f.
ANNEXE 3
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2012 - terminale : image 2

Tableau de valeurs de la fonction g à compléter
x010152025304050
g(x)        


Partie C : interprétation économique

On appelle prix d'équilibre le prix pour lequel l'offre est égale à la demande.
L'objectif de cette partie est de déterminer graphiquement puis par le calcul ce prix d'équilibre.

1. a) Lire graphiquement, avec la précision permise par le dessin, la quantité à produire et à mettre sur le marché pour que l'offre soit égale à la demande.
    b) En déduire, par la méthode voulue, une valeur approchée du prix d'équilibre d'un kilogramme du nouveau produit.

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

2. a) Montrer que pour x \in [0 ; 50] : résoudre l'équation f(x) = g(x) revient à résoudre l'équation :
(0,001x - 0,02)(x + 100) = 0.

    b) Résoudre dans \mathbb{R} l'équation (0,001x - 0,02)(x + 100) = 0.
    c) En déduire alors la quantité à produire pour atteindre le prix d'équilibre, puis calculer ce prix d'équilibre.
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