Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Septembre 2012

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.


8 points

exercice 1

Au départ d'une randonnée, trois itinéraires différents sont proposés à un groupe de 48 randonneurs : un itinéraire pour débutant, un de difficulté moyenne et un de niveau élevé.
Ce groupe est composé de 32 femmes et de 16 hommes.
Concernant le choix de l'itinéraire :
    5 femmes et 2 hommes choisissent l'itinéraire de niveau débutant ;
    25% des randonneurs choisissent l'itinéraire de difficulté moyenne et parmi eux, il y a autant de femmes que d'hommes ;
    Les autres randonneurs choisissent l'itinéraire de niveau élevé.
On choisit au hasard un randonneur (on suppose que tous les randonneurs ont la même chance d'être choisis) et on note :
F l'évènement «le randonneur est une femme» ;
H l'évènement«le randonneur est un homme» ;
D l'évènement«le randonneur choisit l'itinéraire de niveau débutant» ;
E l'évènement«le randonneur choisit l'itinéraire de niveau élevé».

Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible. On pourra utiliser un arbre ou un tableau.

1. Calculer la probabilité p(F) de l'évènement F.

2. Calculer la probabilité p(E) de l'évènement E.

3. Définir par une phrase l'évènement noté H \cap E et calculer sa probabilité p(H \cap E).

4. Montrer que la probabilité de l'évènement «le randonneur est une femme ou choisit l'itinéraire de niveau débutant» est \dfrac{17}{24}.

5. Dans cette question, on choisit au hasard un randonneur parmi les hommes. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi l'itinéraire de niveau élevé ?

6. Commenter et critiquer éventuellement cette phrase: «Le niveau des femmes de ce groupe est plus élevé que celui des hommes».


12 points

exercice 2

Partie A

On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par :
g(x) = x^2 - 4.
On note (C) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal.

1. Étudier les variations de la fonction g.

2. Étudier le signe de g(x) sur \mathbb{R}.

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, puis tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe (C) (unité graphique : 2 cm).
x- 3- 2- 10123
g(x)       


Partie B

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]- 3 ; +\infty[ par :
f(x) = 3 \ln (x + 3).
On note \left(C'\right) la courbe représentative de la fonction f dans le même repère que précédemment.

1. Déterminer \displaystyle\lim_{x \to - 3} f(x) et en donner une interprétation graphique.

2. Déterminer \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x).

3. Étudier les variations de la fonction f.

4. Résoudre l'inéquation f(x) \ge 0 et interpréter graphiquement le résultat.

5. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au dixième) :
x- 2,5- 2- 10123
f(x)       


6. On considère la droite T_{1} tangente à la courbe (C) au point d'abscisse \dfrac{3}{2} et la droite T_{2} tangente à la courbe \left(C'\right) au point d'abscisse - 2.
    a) Déterminer une équation de la droite T_{1} et une équation de la droite T_{2}.
    b) Quelle est la position relative de ces deux droites ?
    c) Tracer les droites T_{1} et T_{2} et la courbe \left(C'\right) dans le même repère que la courbe (C).

Partie C

On se propose de déterminer l'aire de la partie D du plan, limitée par les courbes (C) et \left(C'\right) et les droites d'équations x = -2 et x = 3.

1. On considère la fonction F définie sur ]- 3 ; 3] par :
F(x) = 3(x + 3) \ln (x + 3) - 3x.
Vérifier que F est une primitive de la fonction f.

2. On admet que pour tout x de l'intervalle [- 2 ; 3], g(x) \le f(x) et que l'aire de la partie D en unités d'aire est égale à \displaystyle\int_{- 2}^3 \left(f(x) - g(x) \right)\:\text{d}x.
Donner la valeur exacte de l'aire de la partie D en cm2 puis une valeur approchée au mm2 près.



exercice 1

Une organisation en tableau à double entrée est possible : on complète le total (48), puis le nombre de débutants hommes (2) et le nombre de débutants femmes (5), ensuite le total du niveau moyen (12), dont on sait que ce nombre se répartit pour moitié entre hommes et femmes (6 et 6) ; il est alors aisé de terminer le tableau.

 DébutantMoyenElevéTotal
Homme26816
Femme562132
Total7122948
1. p(F)=\dfrac{32}{48}=\dfrac{2}{3}

2. p(E)=\dfrac{29}{48}

3. H\cap E : " Le randonneur est un homme qui a choisi l'itinéraire de niveau élevé ".
p(H\cap E)=\dfrac{8}{48}=\dfrac{1}{6}

4. p(F\cup D)=p(F)+p(D)-p(F\cap D)=\dfrac{32}{48}+\dfrac{7}{48}-\dfrac{5}{48}=\dfrac{34}{48}=\dfrac{17}{24}

5. On choisit au hasard un randonneur parmi les hommes, la probabilité qu'il ait choisi l'itinéraire de niveau élevé est :
p_H(E)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}

6. On choisit maintenant au hasard un randonneur parmi les femmes, la probabilité qu'elle ait choisi l'itinéraire de niveau élevé est :
p_F(E)=\dfrac{21}{32}\approx0,66
Comme 0,66 > 0,5 , on en déduit que le niveau des femmes de ce groupe est plus élevé que celui des hommes.




exercice 2

Partie A

1. y=x^2-4 est l'équation d'une parabole, tournée vers le haut, de sommet de coordonnées (0 ; -4).
g est donc décroissante sur ]-\infty \,;\, 0[ et croissante sur  ]0\, ;\, +\infty[.

2. g(x) est un polynôme du second degré, toujours du signe du coefficient de x^2 sauf entre ses racines éventuelles.
x^2-4=(x-2)(x+2) donc les solutions de g(x)=0 sont -2 et 2.
On en déduit que g(x)\ge 0 \text{ pour } x \text{ dans } ]-\infty\,;\,-2]\cup[2\,;\,+\infty[ et que : g(x)\le 0 \text{ pour } x\text{ dans } [-2\,;\,+2]

3.
x-3-2-10123
g(x)50-3-4-305

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2012 - terminale : image 3


Partie B

1. \displaystyle{\lim_{x\to-3}f(x)=-\infty}. On en déduit que la droite d'équation x=-3 est asymptote à la courbe C'.

2. \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}

3. f est dérivable sur ]-3\,;\,+\infty[\text{ et } f'(x)=3\times \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{3}{x+3}
f'(x) ne s'annule pas et est toujours strictement positive. La fonction f est donc strictement croissante sur ]-3\,;\,+\infty[.
On en déduit le tableau de variations suivant :

\begin{tabvar}{|C|CCCC|}\hline x& -3 && & +\infty \\\hline f'(x) &\dbarre &&+ &\\\hline\niveau{2}{3} f&\dbarre& -\infty & \croit& +\infty\\\hline\end{tabvar}


4. Soit à résoudre sur ]-3\,;\,+\infty[ \text{ l'inéquation }f(x)\ge 0 .
\begin{matrix}\ln(x+3)&\ge& 0 \\\ln(x+3)&\ge&\ln(1)\\x+3&\ge&1\\x&\ge&-2\end{matrix}

L'ensemble solution est [-2\,;\,+\infty[, ce qui signifie que sur [-2\,;\,+\infty[ la courbe C\,' est au dessus de l'axe des abscisses.

5. Tableau de valeurs
x-2,5-2-10123
f(x)-2,102,13,34,24,85,4


6. a) Une équation de T_1 est : y=g'(\frac{3}{2})(x-\frac{3}{2})+g(\frac{3}{2})
Or g(x)=x^2-4 et g'(x)=2x donc g(\frac{3}{2})=-\frac{7}{4} \text{ et } g'(\frac{3}{2})=3
Une équation de T_1 est : y=3x-\dfrac{25}{4}


Une équation de T_2 est : y=f'(-2)\left(x-(-2)\right)+f(-2)
Or f(-2)=0 et f'(-2)=3
Une équation de T_2 est : y=3x+6


6. b) T_1 et T_2 ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.

6. c)
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Partie C

On se propose de calculer l'aire du domaine D.
bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2012 - terminale : image 2


1. Pour x appartenant à : ]-3\,;\,+3[~,~F'(x)=3(x+3)\dfrac{1}{x+3}+3\ln(x+3)-3=3\ln(x+3)=f(x)
F est donc une primitive de f sur ]-3 ; +3[.

2. 1 u.a. = 4 cm²
\displaystyle{\mathcal{A}(D)=4\int_{-2}^3\left(f(x)-g(x)\right)\text{d}x=4\left[F(x)-\left(\dfrac{x^3}{3}-4x\right)\right]_{-2}^3=4\left[3(x+3)\,\ln\,(x+3)-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{-2}^3
\displaystyle{\mathcal{A}(D)=4\left[(18\ln6-9+3)-(3\ln1+\frac{8}{3}-2)\right]
\displaystyle{\mathcal{A}(D)=72\ln6 -\frac{80}{3}\text{cm}^2 \approx 102,34\text{ cm}^2
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