Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Juin 2012

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

8 points

exercice 1

Une association de consommateurs réalise une enquête auprès d'une population à risque de 800 personnes pour tester l'efficacité d'un traitement sur l'obésité. Voici les informations qu'elle recueille :
500 personnes ont suivi le traitement ;
530 personnes sont obèses et parmi celles-ci, 350 ont suivi le traitement.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant

	Personnes obèses	Personnes non obèses	Total
Personnes ayant suivi le traitement
Personnes n'ayant pas suivi le traitement
Total			800

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.

2. On choisit au hasard une personne parmi les 800 dans la population à risque.
a) Calculer la probabilité de l'événement $A$ : «la personne est obèse».
b) Calculer la probabilité de l'événement $B$ : «la personne a suivi le traitement».

3. On considère les événements suivants :

$A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $A\cap\overline{B}$ ; $\overline{A} \cap \overline{B}$ où $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont les événements contraires respectifs de A et B.
Définir chacun de ces événements par une phrase puis calculer leur probabilité.

4. a) On choisit au hasard une personne ayant suivi le traitement, calculer la probabilité $p_1$ de l'événement: «la personne est obèse».
b) On choisit au hasard une personne n'ayant pas suivi le traitement, calculer la probabilité $p_2$ de l'événement: «la personne est obèse».
c) Que pensez-vous de l'efficacité de ce traitement ?

12 points

exercice 2

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : Questionnaire à choix multiples

Sur la feuille annexe, dans le plan rapporté à un repère, on donne la courbe ( $\mathcal{C}$ ) représentative d'une fonction $f$ définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ . On sait que :
    La courbe ( $\mathcal{C}$ ) passe par les points A(100 ; 17,6) et B (75 ; 15).
    La droite (d) est la tangente à cette courbe au point A.
    La courbe ( $\mathcal{C}$ ) admet la droite d'équation $y = 18$ pour asymptote.

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole juin 2012 - terminale : image 1

Pour chaque proposition, une seule des réponses est exacte.
Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point, une erreur ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte de point.
Vous écrirez sur votre copie le numéro de la proposition et la lettre correspondant à votre réponse.

1. La fonction $f$ vérifie :

a) $f(100) = 17,6$

b) $f (17,6) = 100$

c) $f(15)=75$

2. La fonction dérivée $f^\prime$ de $f$ vérifie :

a) $f^\prime(50)<0$

b) $f^\prime(50)>0$

c) signe de $f^\prime(50)$ inconnu

3. La droite (d) a une équation de la forme $y = mt + 14,3$ .
Son coefficient directeur $m$ est égal à :

a) 30,3

b) -3,2

c) 0,033

4. La fonction $f$ vérifie :

a) $\displaystyle \lim _{t\to +\infty}f(t) = +\infty$

b) $\displaystyle \lim _{t\to 18}f(t) = +\infty$

c) $\displaystyle \lim _{t\to +\infty}f(t) = 18$

Partie B : Étude d'une fonction

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par $f(t) =\dfrac{18}{ 1 + 170\text{e}^{-0,09t}}$ .
On appelle ( $\mathcal{C}$ ) sa courbe représentative.

1. Calculer $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t)$ . Que peut-on en déduire ?

2. $f^\prime$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ .
Pour tout nombre $t$ positif, montrer que : $f^\prime (t) = \dfrac{275,4 \text{e}^{-0,09t}}{(1+170\text{e}^{-0,09t})^2}$

3. Justifier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ .

4. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-1 près de $f(0)$ .

5. Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ .

6. Calculer $f^\prime(100)$ (on en donnera un arrondi à 10^-3 près) puis en donner une interprétation graphique.

Partie C : Application

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole juin 2012 - terminale : image 2

On admet que :
    La fonction $f$ , définie dans la partie B, modélise le nombre d'insectes d'une population de tribolions bruns de la farine (ou tribolium confusum, voir photo ci-dessus) étudiée, pendant 200 jours, dans une petite quantité de farine. Cet insecte altère la qualité de la farine et la fait notamment tourner au gris lorsqu'il s'y trouve en assez grand nombre.
    La variable $t$ représente le nombre de jours de l'étude et $f(t)$ le nombre de ces insectes exprimé en centaines.
    La courbe représentative de cette fonction est celle donnée en annexe.

1. Déterminer la population initiale ( $t=0$ ) et la population finale ( $t=200$ ) de ces insectes.

2. La farine a visiblement tourné au gris dès le 75^e jour.
Combien y avait-il de ces insectes dans le lot ? On donnera le résultat arrondi à la centaine près.

3. a) Déterminer, par le calcul, le jour à partir duquel la population de tribolions bruns avait atteint les 900 individus.
    b) Vérifier graphiquement le résultat précédent en faisant apparaitre les traits de construction utiles sur le graphique de la partie A.

Voir la correction

exercice 1

1. Le tableau complété :
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline {}&Personnes obèses&Personnes non obèses&Total\\ \hline {Avec traitement}&350&150&500\\ \hline {Sans traitement}&180&120&300\\ \hline {Total}&530&270&800\\ \hline\end{tabular}$

2. a) $p(A)=\dfrac{530}{800}=0,6625$

2. b) $p(B)=\dfrac{500}{800}=0,625$

3.
$A\cap B$ : "La personne est obèse et a suivi le traitement"
$A\cup B$ : "La personne est obèse ou a suivi le traitement"
$A\cap \overline{B}$ : "La personne est obèse et n'a pas suivi le traitement"
$\overline{A}\cap \overline{B}$ : "La personne n'est pas obèse et n'a pas suivi le traitement"

$p(A\cap B)=\dfrac{350}{800}=0,4375$

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,85$

$p(A\cap \overline{B})=\dfrac{180}{800}=0,225$

$p(\overline{A}\cap \overline{B})=\dfrac{120}{800}=0,15$

4. a) $p_1=\dfrac{350}{500}=0,7$

4. b) $p_2=\dfrac{180}{300}=0,6$

4. c) Le traitement n'est pas efficace car $p_1>p_2$

exercice 2

Partie A

1. La réponse juste est la réponse a) car la courbe passe par le point A(100 ; 17,6).

2. La réponse juste est la réponse b) car la fonction est croissante.

3. La réponse juste est la réponse c). En effet, on remarque que le coefficient directeur doit être positif, puis on évalue celui-ci par lecture directe sur le graphique (quand $t$ augmente de 50, $y$ augmente d'environ 1,5.

4. La réponse juste est la réponse c) car la courbe $(\mathcal{C})$ admet la droite d'équation $y = 18$ pour asymptote.

Partie B

1. $\lim\limits_{\substack{{t\to+\infty}}}\left(1+170\hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}\right)=1$ donc $\lim\limits_{\substack{{t\to+\infty}}}f(t)=18.$
On en déduit que la droite d'équation $y=18$ est asymptote à la courbe en $+\infty.$

2. $f'(t)=\dfrac{-18\times(-0,09)\times170\hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}}{\left(1+170\hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}\right)^2}=\dfrac{275,4\hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}}{\left(1+170\hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}\right)^2}$

3. Pour tout $x$ de $[0;+\infty[$ , $f'(t)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.

4. $f(0)=\dfrac{18}{1+170}=\dfrac{18}{171}=\dfrac{2}{19}$ soit $f(0)\approx0,1$

5. On en déduit le tableau de variations suivant : $\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline t& 0 & & +\infty \\\hline f'(t) & &+ &\\\hline\niveau{2}{3} f& \frac{2}{19}& \croit& 18\\\hline\end{tabvar}$

6. En remplaçant $t$ par 100 dans l'expression de la dérivée, on obtient :
$f'(100)=\dfrac{275.4\hspace{1pt}\text{e}^{-9}}{\left(1+170\hspace{1pt}\text{e}^{-9}\right)^2}\approx0,033$
Or le point de la courbe d' abscisse 100 est le point A, et $f'(100)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en A. On retrouve le résultat démontré en A.3).

Partie C : Application

1. La population initiale est obtenue pour $t=0\text{ soit }f(0)\approx 0,1$ centaine ou encore environ 10 insectes.
La population finale est obtenue pour $t=200\text{ soit }f(200)\approx 18$ centaines ou encore environ 1800 insectes.

2. D'après lénoncé, on sait que la courbe passe par le point B(75 ; 15). Lorsque la farine tourne au gris le 75^e jour, la population d'insectes est de $f(75)= 15$ centaines ou encore de 1500 individus.

3. a) Déterminer le jour à partir duquel la population de tribolions bruns avait atteint les 900 individus, c'est déterminer $t \text{ de } [0;+\infty[$ solution de :
$\dfrac{18}{1+170\hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}}=9$
$1+170\hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}=2 \\ 170 \hspace{1pt}\text{e}^{-0,09t}=1 \\ \text{e}^{-0,09t}=\dfrac{1}{170}$
$-0,09t=\ln\left(\dfrac{1}{170}\right) \\ t=\dfrac{-1}{0,09}\ln\left(\dfrac{1}{170}\right) \\ t\approx57,06$
Le nombre de jours de l'étude est de environ 57,06.
Le jour à partir duquel la population de tribolions bruns avait atteint les 900 individus est le 58^e jour.

3. b) Ce résultat est vérifié sur le graphique.

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole juin 2012 - terminale : image 3

Publié par TP/malou le 18-12-2013

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