Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session Juin 2012

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

8 points

exercice 1

En 2010, un groupe pharmaceutique spécialisé dans la recherche et le développement de médicaments emploie 13 000 personnes dans le monde, dont 1 800 dans des laboratoires en France. Ces employés se repartissent dans l'administration, la vente et la recherche.
Parmi le personnel en France :
    62% sont des femmes,
    il y a autant d'hommes que de femmes dans l'administration,
    le département de la recherche regroupe 400 personnes dont 40% sont des femmes
    parmi les personnes chargées de la vente, 150 sont des hommes.

1. Quel pourcentage du groupe pharmaceutique représente le groupe français ? Donner le résultat arrondi à 0,1% près.

2. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Personnel en France	Administration	Vente	Recherche	Total
Femmes
Hommes
Total				1 800

Pour toute la suite, on arrondira tous les résultats à 10^-2 près.

3. On choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies. On considère les évènements :
$F$ : «la personne est une femme»
$A$ : «la personne travaille dans l'administration»
$V$ : «la personne s'occupe des ventes»
$R$ : «la personne est dans la recherche»
    a) Calculer $p(F)$ , $p(R)$ .
    b) Citer deux évènements incompatibles. Justifier.
    c) Définir par une phrase les évènements : $F \cap A$ , $\overline{F} \cap R$ et $F \cup V$ .
Calculer la probabilité de ces évènements.

4. On choisit au hasard une personne parmi le personnel chargé de la vente.
Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

5. En 2010, ce groupe pharmaceutique a investi 5,2 milliards de dollars dans la recherche soit 16% de son chiffre d'affaires.
    a) Quel est son chiffre d'affaires ?
    b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Dès l'année 2011, et chaque année suivante, le groupe prévoit d'augmenter de 10% son chiffre d'affaires.
En quelle année, le groupe aura-t-il, pour la première fois, doublé son chiffre d'affaires de 2010 ?

12 points

exercice 2

La souche d'Acetobacter est cultivée dans un milieu liquide contenant les substrats appropriés et de l'acide para-aminobenzoïque (PABA), indispensable à cette bactérie. On étudie la croissance de cette souche.

Partie A

Le tableau ci-dessous donne le nombre $n_{i}$ de bactéries par unité de volume à différents temps de culture $t_{i}$ (en heures).

$t_{i}$	4	5	6	7	8	9	10	11
$n_{i}$	1,38 × 10⁵	2,51 × 10⁵	5,75 × 10⁵	1,32 × 10⁶	3,02 × 10⁶	6,92 × 10⁶	1,51 × 10⁷	2,51 × 10⁷
$z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$						15,7

1. On pose $z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$ . Compléter le tableau sur la feuille annexe (le tableau ci-dessus), les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au dixième.

2. Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i} ; z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal ; on prendra pour origine le point de coordonnées (4 ; 9) et pour unités : 1 cm pour 1 heure en abscisse et 2 cm pour 1 unité en ordonnée.

3. On désigne par $G_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par $G_{2}$ celui des quatre derniers.
    a) Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique.
    b) Déterminer une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sous la forme $z = at + b$ où $a$ sera arrondi à 10^-2 près et $b$ sera arrondi à 10^-1 près.

4. On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points. On prendra comme équation réduite de cette droite : $z = 0,78t + 8,6$ .
    a) Déterminer, par un calcul, le nombre de bactéries au bout de 12 heures.
    b) Déterminer, par une lecture graphique, à partir de quelle heure le nombre de bactéries dépasse 300 millions.

Partie B

Une étude mathématique différente conduit à supposer que la fonction $N$ qui, à $t$ (exprimée en heures), associe le nombre de bactéries $N(t)$ , est solution de l'équation différentielle : $N'(t) = 0,78N(t)$ . Le nombre de bactéries à l'instant initial est de 5 432.

1. a) Donner les solutions de l'équation différentielle ci-dessus.
    b) Déterminer, parmi les solutions précédentes, la solution $N$ qui vérifie la condition $N(0) = 5432$ .

2. Soit $N$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $N(t) = 5432\text{e}^{0,78t}$ .
    a) Déterminer la limite de la fonction $N$ en $+\infty$ .
    b) Calculer $N^{\prime}(t)$ . En déduire le tableau de variations de la fonction $N$ sur $[0 ; +\infty[$ .

3. a) Déterminer le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe représentative de la fonction $N$ au point d'abscisse 6. On arrondira à l'unité près.
    b) Sachant que $N^{\prime}(t)$ représente la vitesse instantanée de formation des bactéries, déterminer cette vitesse à l'instant $t = 6$ heures.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer à partir de quel instant $t$ , exprimé en heures, le nombre de bactéries dépasse 300 millions.

Voir la correction

exercice 1

1. Le pourcentage du groupe pharmaceutique que représente le groupe français est égal à $\dfrac{1800}{13000} = 0,138 \text{ soit } \boxed{13,8 \%}$

2. A la lecture de l'énoncé, on peut dire qu'il y a 62 % de 1800 soit 1116 femmes. On en déduit immédiatement qu'il y a 1800 - 1116 = 684 hommes.
400 personnes sont dans le département recherche, donc il y a 40 % de 400 soit 160 femmes qui font de la recherche et donc 240 hommes qui font de la recherche.
Parmi les personnes chargées de la vente, 150 sont des hommes, on a donc 684 - (240 + 150) = 294 hommes dans l'administration, et donc autant de femmes dans ce secteur.
Il est simple alors de terminer de compléter ce tableau, ce qui donne :

Personnel en France	Administration	Vente	Recherche	Total
Femmes	294	662	160	1 116
Hommes	294	150	240	684
Total	588	812	400	1 800

3. a) $p(F)=\dfrac{1116}{1800}=0,62\text{ et } p(R)=\dfrac{400}{1800}\approx0,22$

3. b) Deux événements incompatibles sont par exemple $F \text{ : la personne est une femme et }\overline{F} \text{ : la personne est un homme.}$ Leur intersection est vide.

3. c) L'événement $F\cap A$ correspond à "La personne est une femme qui travaille dans l'administration"
L'événement $\overline{F}\cap R$ correspond à "La personne est un homme qui travaille dans la recherche"
L'événement $F\cup V$ correspond à "La personne est une femme ou la personne travaille dans la vente"
$p(F\cap A)=\dfrac{294}{1800}\approx\boxed{0,16}\qquad p(\overline{F}\cap R)=\dfrac{240}{1800}\approx\boxed{0,13}\\p(F\cup V)=p(F)+p(V)-p(F\cap V)=\dfrac{1116+812-662}{1800}\approx\boxed{0,70}$

4. On choisit au hasard une personne parmi le personnel chargé de la vente. La probabilité que ce soit une femme est $\dfrac{662}{812}\approx\boxed{0,82}$

5. a) Le chiffre d'affaires vaut $\dfrac{5,2 \times 100}{16}=\boxed{32,5\text{ (milliards)}}$

5. b) Une augmentation de 10 % par an correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,10 = 1,1
On cherche donc l'entier $n$ pour que $1,1^n > 2$ . A la calculatrice, on trouve $1,1^7 \approx 1,95 \text{ et } 1,1^8 \approx 2,14$
Il faudra donc 8 ans pour que le chiffre d'affaires ait doublé soit en 2018.

exercice 2

Partie A

$t_{i}$	4	5	6	7	8	9	10	11
$n_{i}$	1,38 × 10⁵	2,51 × 10⁵	5,75 × 10⁵	1,32 × 10⁶	3,02 × 10⁶	6,92 × 10⁶	1,51 × 10⁷	2,51 × 10⁷
$z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$	11,8	12,4	13,3	14,1	14,9	15,7	16,5	17,0

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française juin 2012 - terminale : image 1

3. Une équation de la droite $(G_1G_2)$ est de la forme $z=at+b$ équivaut à dire : $\left\lbrace\begin{array}{l} 2,9 = 5,5a + b\\16,025 = 9,5 a + b \end{array} \right. & \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} 3,125=4a \\16,025=9,5 a + b \end{array} \right. &\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} a = 0,78125\\b=8,603125\end{array} \right.$
Une équation de la droite $(G_1G_2)$ est $\boxed{z=0,78t+8,6}$

4. On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points.

4. a) Le nombre de bactéries au bout de 12 heures est $z=0,78\times 12+8,6=17,96$ ce qui donne : $n=e^{17,96} \approx \boxed{6,31\times10^7\text{ bactéries}}$
4. b) 300 millions vaut $300 \times 10^6$ ; $\ln(300\times 10^6)\approx 19,52$
Par lecture graphique, le nombre de bactéries dépasse 300 millions à partir de 14 heures.

Partie B

1. a) Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions $N$ définies sur $\mathbb{R}^+$ par $N(t)=K~\text{e}^{0.78t}\text{ avec } K\in\mathbb{R}$

1. b) Sachant que $N(0)=K~\text{e}^{0,78\times 0}=5432$ , on obtient $K=5432$
Parmi les solutions précédentes, la solution répondant à la condition initiale est la fonction $N$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par $N(t)=5432~\text{e}^{0,78t}$

2. a) $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}N(t)=+\infty$

2. b) $N$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et $N'(t)=5432\times0,78~\text{e}^{0,78t}> 0$
La fonction $N$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$

$\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline t& 0 & & +\infty \\\hline N'(t) & &+ &\\\hline\niveau{2}{3} N& 5432 & \croit& +\infty\\\hline\end{tabvar}$

3. a) Le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe représentative de la fonction $N$ au point d'abscisse 6 vaut $N'(6)\approx456617$

3. b) La vitesse instantanée à l'instant $t = 6$ heures vaut $N'(6)$ (cf 3. a) )

4. L'instant $t$ , exprimé en heures, à partir duquel le nombre de bactéries dépasse 300 millions répond à l'inéquation :
$\begin{matrix}N(t)&>& 300\times 10^6\\5432~\text{e}^{0.78t}&>& 300\times 10^6\\ \text{e}^{0,78t}&>&\dfrac{300\times 10^6}{5432}\\ 0,78t&>&\ln\left(\dfrac{300\times 10^6}{5432}\right)\\ t&>&\dfrac{1}{0,78}\ln\left(\dfrac{300\times 10^6}{5432}\right)\\ t&>&13,99\end{matrix}$
L'instant $t$ , à partir duquel le nombre de bactéries dépasse 300 millions est environ 14 heures.

Publié par TP/malou le 10-05-2014

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