Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2012

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.


5 points

exercice 1

Cet exercice est un QCM, questionnaire à choix multiple. Chaque question est indépendante et comporte 4 réponses possibles parmi lesquelles une seule est correcte. Aucune justification n'est demandée. Le candidat doit recopier cette réponse sur sa copie face au numéro de la question.
Une bonne réponse trouvée rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.


1. On considère l'équation différentielle 4y^{\prime\prime} +  y = 0.
Pour toute solution f de cette équation, on peut trouver des réels A et B tels que, pour tout réel x,
a) f(x) = A\cos \left(\dfrac{1}{4}x\right) + B \sin \left(\dfrac{1}{4}x\right)c) f(x) = A\cos \left(\dfrac{1}{2}x\right) + B \sin \left(\dfrac{1}{2}x\right)
b) f(x) A \cos(4x) + B \sin (4x)d) f(x) = A \cos (2x) + B \sin (2x)


2. Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est :
X025
probabilité0,120,700,18
Les affirmations suivantes concernent des valeurs approchées à 0,01 près de l'espérance mathématique E (X) et l'écart-type \sigma(X) de X.
a) E(X) \approx  2,3 et \sigma(X) \approx  2,01c) E(X) \approx 2,3 et \sigma(X) \approx 1,42
b) E(X) \approx 2,42 et \sigma(X) \approx 7,30d) E(X) \approx 2,2 et \sigma(X) \approx 1,52


3. L'équation \ln ( x + 3) + \ln (2x - 1) = \ln 9, dans laquelle \ln désigne le logarithme népérien, a pour ensemble de solutions :
a) S = \lbrace- 4\rbracec) S = \left\lbrace\dfrac{3}{2} ; - 4\right\rbrace
b) S = \left\lbrace- \dfrac{5}{4}\right\rbraced) S = \left\lbrace\dfrac{3}{2}\right\rbrace


4. L'intégrale I = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \text{e}^{- x}\:\text{d}x est égale à :
a) I =0c) I = 0,75
b) I = 0,5d) I = - 0,5


5. La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = 2 \ln \left(\text{e}^x + 1\right) a pour dérivée la fonction f^{\prime} définie par :
a) f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}c) f^{\prime}(x) = 2\left(\text{e}^x + 1\right)
b) f^{\prime}(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}d) f^{\prime}(x) =  \text{e}^x + 1



5 points

exercice 2

1. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation :
z^2 - 6z + 13 = 0
On donnera les éventuelles solutions sous forme algébrique.

2. On définit le polynôme P par :
P(z) = z^3 - 7z^2 + 19z - 13

    a) Calculer P(1).
    b) Trouver trois réels a, b et c tels que pour tout complexe z :
P(z) = (z - 1)\left(az^2 + bz + c\right).

    c) Résoudre alors l'équation P(z) = 0.

3. Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}). On prendra comme unité graphique 2 cm. Placer les points A, B et C d'affixes respectives
z_{\text{A}} = 3 + 2\text{i}   ,    z_{\text{B}} = 3 - 2\text{i}     et    z_{\text{C}} = 1.


4. a) Calculer les distances AB, AC et BC.
    b) Déduire de ce qui précède que le triangle ABC est isocèle et rectangle en C.

5. Déterminer l'affixe z_{\text{D}} du point D, quatrième sommet du parallélogramme ABCD. Placer le point D et représenter le parallélogramme ABCD.


10 points

probleme

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = (- 2x + 6)\text{e}^{-0,5x}.

Soit \mathcal{C} la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. La courbe \mathcal{C} est représentée en annexe.
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole juin 2012 - terminale : image 1


Partie A : Interprétations graphiques

D'après le graphique observé,

1. Dresser un tableau de variation de f. Donner, en fonction de x, le signe de f(x).

Partie B : Résultats établis par le raisonnement ou le calcul

Dans cette partie, on se propose d'établir par le calcul les résultats observés précédemment.

1. Déterminer la limite de f en -\infty.

2. On rappelle que \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x\text{e}^{-0,5x}\right) = 0.
    a) En déduire la limite de f en +\infty.
    b) La courbe \mathcal{C} admet-elle une asymptote?

3. On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction!
    a) Montrer que la fonction dérivée f^{\prime} de la fonction f est donnée par :
f^{\prime}(x) = (x - 5)\text{e}^{- 0,5x}

    b) En déduire les variations de f.

4. a) Ces résultats confirment-ils les observations faites dans la partie A ?
    b) Donner une valeur approchée à 10-2 près de f(5).
    c) Résoudre l'équation f(x)=0.

5. Ces résultats confirment-ils les observations faites dans la partie A ?

Partie C

On considère la portion de plan \mathcal{P} comprise entre la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 3.

1. Hachurer le domaine \mathcal{P} sur le graphique donné en annexe.

2. On considère la fonction F,définie sur \mathbb{R} par : F(x) = (4x - 4)\text{e}^{-0,5x}. Vérifier que F est une primitive de f sur \mathbb{R}.

3. Quelle est l'aire de \mathcal{P} ? On l'exprimera en unités d'aire.




EXERCICE 1


(E)\text{ : }4y''+y=0

1. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

On sait que les solutions d'une équation différentielle de type y''+\omega^2y=0 sont de la forme :

y=\lambda_1 \cos(\omega x)+\lambda_2 \sin(\omega x)\text{ avec }\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}

Nons avons :

y''+y=0\Leftrightarrow y''+\dfrac{1}{4}y=0\Leftrightarrow y''+(\dfrac{1}{2})^2y=0

La solution générale de (E) est donc de la forme y=\lambda_1 \cos(\dfrac{x}{2})+\lambda_2 \sin(\dfrac{x}{2}) \text{ avec }\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}.}}


2. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

E(X)=\sum{p_i\times x_i}=\left(0,12\times 0\right)+\left(0,7 \times 2\right)+\left(0,18\times 5\right) =0+1,4+0,9=2,3 \\\\  \sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{p_i\times \left( x_i-E(X)\right)^{2}} =\sqrt{0,12\times\left(0-2,3 \right)^{2}+0,7\times\left(2-2,3 \right)^{2}+0,18\times\left(5-2,3 \right)^{2}} =\sqrt{2,1}\approx 1,42


3. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse d}.}}}

Explications :

Il faut x+3>0 et 2x-1>0, donc x\in]\dfrac{1}{2},+\infty[

On peut en déduire immédiatement que tous les ensembles solutions incluant des valeurs inférieures ou égales à 1/2 ne peuvent pas convenir.

Donc les réponses a) b) et c) sont à éliminer. La réponse est donc la réponse d.

Pour mémoire on peut résoudre cette équation ce qui donnerait :

\ln(x+3)+\ln(2x-1)=\ln 9\Leftrightarrow \ln\left[(x+3)(2x-1) \right]=\ln 9 \Leftrightarrow 2x^2+5x-3=9\Leftrightarrow 2x^2+5x-12=0

\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times 2\times (-4)=25+96=121 \\\\ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times 2}=\dfrac{-16}{4}=-4\notin ]\dfrac{1}{2},+\infty[ \\\\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times 2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\in ]\dfrac{1}{2},+\infty[ \\\\ \text{donc }\mathcal{S}=\lbrace \dfrac{3}{2}\rbrace


4. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Explications :

I=\displaystyle {\int_{0}^{\ln 2}e^{-x}\text{d}x=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\ln 2} =-e^{-\ln 2} -(-e^{0})=-\dfrac{1}{e^{\ln 2}}+1=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}=0,5


5. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Explications :

f est de la forme :

f(x)=2\ln\left(U(x) \right)\text{ avec }U(x)=\text{e}^x+1\text{ donc }f'(x)=2\times \dfrac{U'(x)}{U(x)}

f'(x)=2\times\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+1}=\dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1}



EXERCICE 2


1. Résolution dans \mathbb{C}


z^2-6z+13=0 \\\\\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 1 \times 13=36-52=-16 \\\\ z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)-i\sqrt{-(-16)}}{2\times 1}=\dfrac{6-i\sqrt{16}}{2}=3-2i \\\\ z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)+i\sqrt{-(-16)}}{2\times 1}=\dfrac{6+i\sqrt{16}}{2}=3+2i

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace 3-2i,3+2i\rbrace}}}}


2-a. P(1)=1^3-7\times 1^2+19\times 1-13=1-7+19-13=0

\boxed{\textcolor{blue}{P(1)=0}}}}



2-b. On a :

P(z)=(z-1)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-az^2-bz-c=az^3+z^2(b-a)+z(c-b)-c

et

P(z)=z^3-7z^2+19z-13

donc :
\forall z\in \textbf{C }\;, az^3+z^2(b-a)+z(c-b)-c=z^3-7z^2+19z-13\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ b-a=-7 \\ c-b=19 \\ c=13 \end{array}  \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ b=-6 \\ c=13 \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{P(z)=(z-1)(z^2-6z+13)}}}}



2-c. P(z)=0

P(z)=0\Longleftrightarrow (z-1)(z^2-6z+13)=0\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l z=1 \\ \text{ou } \\z^2-6z+13=0 \end{array}

L'équation z^2-6z+13=0 a été résolue au 1.

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace 3-2i\;;\;1\;;3+2i\rbrace }}}



3. Représentation graphique (voir ci-dessous)



4-a. Distances AB, AC et BC

AB=|z_B-z_A|=|3-2i-3-2i|=|-4i|=4

AC=|z_C-z_A|=|1-3-2i|=|-2-2i|=|-2||1+i|=2\sqrt{2}

BC=|z_C-z_B|=||-2+2i|=2\sqrt{2}

Donc AC=BC

\boxed{\textcolor{blue}{ AB=4,AC=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2}}}

AB^2= 16 \quad \text{ et } AC^2+BC^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16

Donc : AB^2=AC^2+BC^2 et le triangle ABC est rectangle en C



4-b. D'après la question précédente :

\boxed{\textcolor{blue}{ABC\text{ est un triangle rectangle isocèle en C.}}}}}



5.

ABCD est un parallèlogramme si et seulement si \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\Longleftrightarrow z_D-z_C=z_A-z_B

On obtient : z_D=z_A-z_B+z_C=1+4i

\boxed{\textcolor{blue}{D\text{ a pour affixe }1+4i}}}}

Représentation graphique
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole juin 2012 - terminale : image 5




PROBLEME


f(x)=(-2x+6)\text{e}^{-0,5x}

Partie A : Interprétations graphiques



1. Tableau de variations de f :

Par lecture du graphique, il semble que :

 \begin{tabvar}{|C|CCCCCC|}  \hline  x                       & -\infty   &&  5  &&    +\infty  & \\ \hline  f'(x)                & &   -      &  0  &   +    & &           \\ \hline  f       & ^{+\infty}   &  \searrow  &  _{m} &\nearrow     &  ^0  & \\ \hline \end{tabvar}

avec m\approx-\frac{1}{3}
Signe de f :

La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses pour x<3 et en dessous pour x>3.

\boxed{\textcolor{blue}{f(3)=0 \text{ et } x\in]-\infty,3[\Longrightarrow f(x)>0\text{ et } x\in]3,+\infty[\Longrightarrow f(x)<0}}}


Partie B : Résultats établis par le raisonnement ou le calcul



1. Limite en -\infty

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(-2x+6)\text{e}^{-0,5x}

\lim\limits_{x\to -\infty}(-2x+6)=+\infty \text{ et }\lim\limits_{x\to -\infty}\text{e}^{-0,5x}}=+\infty. On en déduit :

\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty}}}}



2-a. Limite en +\infty

f(x)=(-2x+6)\text{e}^{-0,5x}=-2x\text{e}^{-0,5x}+6\text{e}^{-0,5x}

On a : \lim\limits_{x\to +\infty}(x\text{e}^{-0,5x})=0\quad\text{ donc }\quad \lim\limits_{x\to +\infty}(-2x\text{e}^{-0,5x})=0

\lim\limits_{x\to +\infty}6\text{e}^{-0,5x}=0. On en déduit en additionnant :

\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0}}}}



2-b. Compte tenu de la limite trouvée en +\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe }\mathcal{C}\text{ admet l'axe des abscisses comme asymptote.}}}}}



3-a. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} comme composée et produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

f'(x)=-2\text{e}^{-0,5x}+(-2x+6)\times(-0,5)\text{e}^{-0,5x}=\text{e}^{-0,5x}\left(-2+x-3\right)=(x-5)\text{e}^{-0,5x}

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=(x-5)\text{e}^{-0,5x}}}}}



3-b. Variations de f

\forall x\in\mathbb{R},\quad \text{e}^{-0,5x}>0\text{, donc }f'(x)\text{ a le même signe que } x-5

Donc : la dérivée s'annule pour x=5 et :

\text{. }x\in]-\infty,5[\Rightarrow (x-5)<0\Rightarrow (x-5)\text{e}^{-0,5x}<0\Rightarrow f'(x)<0 \\\\ \text{. }x\in]5,+\infty[\Rightarrow (x-5)>0\Rightarrow (x-5)\text{e}^{-0,5x}>0\Rightarrow f'(x)>0

\boxed{\textcolor{blue}{x\in]-\infty,5[\Longrightarrow f'(x)<0\text{ et }f\text{ décroissante, } x\in]5,+\infty[\Longrightarrow f'(x)>0\text{ et }f\text{ croissante}}}}

Tableau de variations :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x  &  -\infty  &&   5  &&  +\infty  \\ \hline {f'(x)}  &   &  -  &  0  &  +  &  \\ \hline {f}&^{+\infty}&\searrow&_{-4\text{e}^{-2,5}}&\nearrow&^{0}& \hline \end{array}


4-a. Cela confirme les observations faites en partie A.

4-b. A l'aide de la caculatrice, on trouve :

f(5)=(-2\times 5+6)\text{e}^{-0,5\times 5}=-4\text{e}^{-2,5}\approx -0,328

\boxed{\textcolor{blue}{f(5)\approx -0,33}}}}

4-c. Résolution de f(x)=0

f(x)=0\Longleftrightarrow (-2x+6)\underbrace{\text{e}^{-0,5x}}_{\ne 0}=0\Longleftrightarrow -2x+6=0\Longleftrightarrow x=3

\boxed{\textcolor{blue}{f(x)=0\Longleftrightarrow x=3}}}}

5. Ces résultats confirment les observations de la partie A.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Oui.}}}}}

Partie C



1. Représentation graphique

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole juin 2012 - terminale : image 4


2. F(x)=(4x-4)\text{e}^{-0,5x}

F\text{ et } f sont toutes deux définies sur R. F est dérivable sur R comme composée et produit de fonctions dérivables sur R. Dérivons  F.

F'(x)=4\text{e}^{-0,5x}+(4x-4) \times(-0,5)\text{e}^{-0,5x}=\text{e}^{-0,5x}\left[4-0,5(4x-4) \right] =(-2x+6)\text{e}^{-0,5x}=f(x)

\boxed{\textcolor{blue}{F\text{ est une  primitive de }f\text{ sur }\mathbb{R}.}}}}

3. Aire de \mathcal{P}

D'après ce qui précède, on sait que pour tout x\text{ de } [1\;;\,3]\;\; C_f est au dessus de l'axe des abscisses.

Aire({\mathcal{P}})=\displaystyle{\int_{1}^{3}f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]_{1}^{3} =F(3)-F(1)=(4\times 3-4)\text{e}^{-0,5\times 3}-\underbrace{(4\times 1-4)}_{=0}\text{e}^{-0,5\times 1} =8\text{e}^{-1,5}\approx 1,785

\boxed{\textcolor{blue}{Aire(\Mathcal{P})=8\text{e}^{-1,5}\text{ u.a}}}}}
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