Fiche de mathématiques
> >

Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2012

Partager :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.


5 points

exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.

On considère les nombres complexes
z_{1} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}    et    z_{2} = 1 - \text{i}.


1. Calculer le module et un argument de z_{1} et z_{2}.

2. On donne Z = \dfrac{z_{1}^2}{z_{2}}.
    a) Donner le module et un argument de Z et en déduire une écriture trigonométrique de Z.
    b) Donner la forme algébrique de Z.
    c) En déduire les valeurs exactes de \cos\left(\dfrac{19\pi}{12}\right) et de \sin\left(\dfrac{19\pi}{12}\right).


5 points

exercice 2

Une urne contient 100 jetons, bleus, verts ou rouges.
15 jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons verts que de jetons bleus.

1. Un joueur tire au hasard un jeton. On considère les évènements suivants :
A : «Le jeton tiré est rouge» ;
B : «Le jeton tiré est vert ou bleu».
Montrer que la probabilité de A est de 0,4.
En déduire la probabilité de B.

2. Un joueur mise 8 ?, tire un jeton et reçoit :
5 ? s'il tire un jeton rouge, 9 ? s'il tire un jeton vert et 10 ? s'il tire un jeton bleu.
Le gain du joueur (différence entre sa mise et la somme reçue après tirage) est une variable aléatoire notée X.
    a) Quelles sont les valeurs possibles pour la variable aléatoire X ?
    b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
On présentera les résultats dans un tableau.
    c) Calculer l'espérance du gain d'un joueur.

3. On change le montant reçu par le joueur lorsqu'il tire un jeton bleu.
Un joueur reçoit x ? s'il tire un jeton bleu et les autres montants sont inchangés.
Pour quelle valeur de x l'espérance mathématique de la variable aléatoire X associée est-elle nulle ?


10 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}). L'unité graphique est 1 cm.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par
f (x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et f' désigne la fonction dérivée de f.
La courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), notée \mathcal{C}_{f}, est donnée en annexe.
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole septembre 2012 - terminale : image 1


1. a) Déterminer la limite de f en -\infty.
    b) Tracer la droite D d'équation y = 3x+ 7 sur le même graphique que \mathcal{C}_{f}.
    c) Montrer que la droite D est asymptote à la courbe \mathcal{C}_{f} au voisinage de -\infty.
    d) Étudier la position de la courbe \mathcal{C}_{f} par rapport à la droite D suivant les valeurs de x.

2. a) Vérifier que pour tout x réel, f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 7 + \dfrac{3x}{\text{e}^x}+ \dfrac{7}{\text{e}^x}\right).
    b) En déduire la limite de f en + \infty.

3. a) Montrer que pour tout réel x,\: f'(x) = \left( 2\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x - 3\right) .
    b) Résoudre l'équation f'(x) = 0 et déterminer le signe de f'(x).
    c) Établir le tableau de variations de f.

4. a) Résoudre l'équation f'(x) = 3.
En déduire l'abscisse du point B de la courbe \mathcal{C}_{f} où la tangente notée D' est parallèle à la droite D.
    b) Vérifier que le point A de la courbe \mathcal{C}_{f}, d'abscisse \ln 7, est un point de la droite D.
    c) Dans le repère (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), placer les points A et B et tracer D'.

5. On désigne par \mathcal{A} l'aire exprimée en cm2, de la partie du plan limitée par la courbe \mathcal{C}_{f}, la droite D et les droites d'équation x = 0 et x = \ln 7.
    a) Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
    b) Calculer la valeur de l'aire \mathcal{A}.




Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2012

Partager :

EXERCICE 1


z_1=-1+i\sqrt{3}\quad z_2=1-i

1- Module et un argument de z_1 et z_2

\mid z_1\mid=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=\sqrt{1+3}=2 \\ z_1=-1+i\sqrt{3}=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3} \right)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }z_1\text{ est }2\text{ et un argument est }\dfrac{2\pi}{3}.  }}}

\mid z_2\mid=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2} \\ z_2=1-i=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) =\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) =\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\sin\dfrac{7\pi}{4} \right) =\sqrt{2}\left(\cos(-\dfrac{\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4}) \right)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }z_2\text{ est }\sqrt{2}\text{ et un argument est }-\dfrac{\pi}{4}.  }}}


2-a)- Argument et écriture trigonométrique de Z

\mid Z\mid=\mid \dfrac{z_1^2}{z_2}\mid= \dfrac{\mid z_1^2\mid}{\mid z_2\mid} = \dfrac{\mid z_1\mid^2}{\mid z_2\mid}=\dfrac{2^2}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}

On sait que :

\forall z,z'\in\mathbb{C},\quad arg\left(\dfrac{z}{z'} \right)=arg(z)-arg(z')\quad [2\pi]

et

arg(z^2)=2arg(z)\quad [2\pi]

Donc :

arg(Z)=arg\left(\dfrac{z_1^2}{z_2} \right)=arg(z_1^2)-arg(z_2)=2arg(z_1)-arg(z_2) =2\left(\dfrac{2\pi}{3} \right)-\left(-\dfrac{\pi}{4} \right) =\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{19\pi}{12}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le module de }Z\text{ est }2\sqrt{2}\text{ et un argument est }\dfrac{19\pi}{12}.  }}}


2-b)- Formule algébrique de Z

Z=\dfrac{z_1^2}{z_2}=\dfrac{\left(-1+i\sqrt{3} \right)^2}{1-i}=\dfrac{\left(1-2i\sqrt{3}-3 \right)}{1-i} =\dfrac{\left(-2-2i\sqrt{3} \right)\left(1+i \right)}{\left(1-i \right)\left(1+i \right)} =\dfrac{-2-2i-2i\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{\underbrace{1-i^2}_{=2}}=\left(-1+\sqrt{3} \right)+i\left(-1-\sqrt{3} \right)

\boxed{\textcolor{blue}{Z=\left(-1+\sqrt{3} \right)+i\left(-1-\sqrt{3} \right)}}}


2-c)- Valeurs exactes de \cos\left(\dfrac{19\pi}{12} \right) et de \sin\left(\dfrac{19\pi}{12} \right)

On a vu à la question 2-a)- que le module de Z est 2\sqrt{2} et un argument est \dfrac{19\pi}{12}, donc :

Z=2\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{19\pi}{12})+\sin(\dfrac{19\pi}{12}) \right)=\left(-1+\sqrt{3} \right)+i\left(-1-\sqrt{3} \right)

En identifiant, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{array}l  \cos(\dfrac{19\pi}{12})=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\\\  \sin(\dfrac{19\pi}{12})=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{\cos(\dfrac{19\pi}{12})=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\quad,   \quad \sin(\dfrac{19\pi}{12})=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} }}}


EXERCICE 2


1- Il y a 15 jetons bleus.
Il y a 3 fois plus de jetons verts que de bleus, soit 3\times 15= 45 jetons verts.
Il y a 100 jetons en tout, il reste donc 100-15-45=100-60=40 jetons rouges.

Il y a 40 jetons rouges sur une totalité de 100, donc :

p(A)=\dfrac{40}{100}=0,4

\boxed{\textcolor{blue}{P(A)=0,4}}}

L'événement «Le jeton tiré est vert ou bleu» est équivalent à l'événement «Le jeton tiré n'est pas rouge.
En fait, il correspond à l'événement contraire de A, donc :

p(B)=1-p(A)=1-0,4=0,6

\boxed{\textcolor{blue}{P(B)=0,6}}}


2-a)- La mise initiale du joueur étant de 8 euros, et les sommes reçues étant de 10 euros, 9 euros ou 5 euros :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les valeurs possibles pour }X\text{ sont }-3,\text{ }1\text{ et }2.}}}


2-b)- Loi de probabilité de la variable X

\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline   & rouge & vert &  bleu \\ \hline  x_i & -3 & 1 & 2  \\ \hline  p(X=x_i)&  0,4 & 0,45 & 0,15   \\ \hline  \end{tabular}

Arbre pondéré (non demandé) :
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole septembre 2012 - terminale : image 3


Remarque (non demandé) :

On vérifiera lors de l'élaboration du tableau de la loi de probabilité de X que :

\sum{p(X=x_i)}=p(X=-3)+p(X=1)+p(X=2)=0,40+0,45+0,15=1=100\%


2-c)- Espérance de X

E(X)=\sum{p_ix_i}=((-3)\times 0,4)+(1\times 0,45)+(2\times 0,15)=-1,2+0,45+0,3=-0,45

\boxed{\textcolor{blue}{E(X)=-0,45}}}


3- La loi de probabilité de la variable X est à présent :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline   & rouge & vert &  bleu \\ \hline  x_i & -3 & 1 & (x-8)  \\ \hline  p(X=x_i)&  0,4 & 0,45 & 0,15   \\ \hline  \end{tabular}

Avec une espérance nulle, on a :

E(X)=0\Leftrightarrow \sum{p_ix_i}=((-3)\times 0,4)+(1\times 0,45)+\left[ (x-8)\times 0,15\right] \Leftrightarrow 0=-1,2+0,45+0,15x-1,2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1,95}{0,15}=13

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'espérance mathématique de }X\text{ est nulle pour } x=13.}}}


PROBLEME


f(x)=\text{e}^{2x}-7\text{e}^x+3x+7


1-a)- Limite de f en -\infty

En posant x=-X, on a X\to +\infty quand x\to -\infty, donc :

\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to -\infty}{\lim}\left( \text{e}^{2x}-7\text{e}^x+3x+7\right) =\underset{X\to +\infty}{\lim}\left( \underbrace{\text{e}^{-2X}-7\text{e}^{-X}}_{\to 0}-3X+7\right) =\underset{X\to +\infty}{\lim}-3X=-\infty

\boxed{\textcolor{blue}{ \underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=-\infty  }}}


1-b)- Voir représentation graphique


1-c)- D asymptote à \mathcal{C}_f

On a :

\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[f(x)-(3x+7) \right] =\underset{x\to -\infty}{\lim}\left( \underbrace{\text{e}^{2x}-7\text{e}^x}_{\to 0}+\cancel{3x+7}\cancel{-3x-7}\right)=0

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[f(x)-(3x+7) \right]=0\text{, la droite }D \text{ d'équation }y=3x+7\text{ est donc asymptote à la courbe }\mathcal{C}_f\text{ en }-\infty. }}}


1-d)- Position de la courbe \mathcal{C}_f par rapport à la droite D

Regardons le signe de l'expression [f(x)-(3x+7)] :

On a :

[f(x)-(3x+7)]=\text{e}^{2x}-7\text{e}^x=\text{e}^{x}(\text{e}^x-7)

Or :

\forall x\in\mathbb{R},\quad \text{e}^x>0

Donc le signe de l'expression [f(x)-(3x+7)] ne dépend que du signe de (\text{e}^x-7).

\text{e}^x-7=0\Leftrightarrow \text{e}^x=7\Leftrightarrow x=\ln 7\approx 1,95

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Pour }x>\ln 7\text{, la courbe }\mathcal{C}_f \text{ est au-dessus de la droite }D\text{, et en dessous pour }x<\ln 7.}}}


2-a)-

f(x)=\text{e}^{2x}-7\text{e}^x+3x+7 =(\text{e}^{x}\times\text{e}^{x})-7\text{e}^x+(3x\times\text{e}^{x}\times\text{e}^{-x})+(7\times\text{e}^{x}\times\text{e}^{-x}) =\text{e}^x\left(\text{e}^x-7+3x\text{e}^{-x}+7\text{e}^{-x} \right) =\text{e}^x\left(\text{e}^x-7+\dfrac{3x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{7}{\text{e}^{x}} \right)

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in\mathbb{R},\text{ } f(x)=\text{e}^x\left(\text{e}^x-7+\dfrac{3x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{7}{\text{e}^{x}} \right)  }}}

2-b)- Limite de f en +\infty

\forall x\in\mathbb{R},\text{ }\underset{x\to +\infty}{\lim}\left( \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right)=0

Donc :

\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x) =\underset{x\to +\infty}{\lim}\left[ \text{e}^x\left(\text{e}^x-7+\underbrace{\dfrac{3x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{7}{\text{e}^{x}}}_{\to 0} \right)\right] =\underset{x\to +\infty}{\lim}\text{e}^{2x}=+\infty

\boxed{\textcolor{blue}{ \underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=+\infty  }}}

3-a)- La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}

La dérivée de \text{e}^{U(x)} est \text{e}^{U(x)}\times U'(x), donc :

f'(x)=2\text{e}^{2x}-7\text{e}^{x}+3

Posons X=\text{e}^{x}, nous avons :

f'(X)=2X^2-7X+3=2\left(X^2-\dfrac{7}{2}X+\dfrac{3}{2} \right) \\ \text{}\quad\qued\quad\quad\quad\quad=2\left[\left(X-\dfrac{7}{4} \right)^2-\left(\dfrac{7}{4} \right)^2 +\dfrac{3}{2}\right] \\ \text{}\quad\qued\quad\quad\quad\quad\quad\quad =2\left[\left(X-\dfrac{7}{4} \right)^2-\dfrac{25}{16} \right] \\ \text{}\quad\qued\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=2\left[\left(X-\dfrac{7}{4} \right)-\dfrac{5}{4} \right]\left[\left(X-\dfrac{7}{4} \right)+\dfrac{5}{4} \right] \\ \text{}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=2\left(X-3 \right)\left(X-\dfrac{1}{2} \right)
Comme X=\text{e}^{x}, on a :

f'(x)=2\left(\text{e}^{x}-3 \right)\left(\text{e}^{x}-\dfrac{1}{2} \right) =\left(\text{e}^{x}-3 \right)\left(2\text{e}^{x}-1 \right)

\boxed{\textcolor{blue}{ f'(x)=\left(2\text{e}^{x}-1 \right)\left(\text{e}^{x}-3 \right)  }}}

3-b)- Résolution de f'(x)=0

f'(x)=0\Leftrightarrow \left(2\text{e}^{x}-1 \right)\left(\text{e}^{x}-3 \right)=0  \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2\text{e}^{x}-1=0\\ou\\ \text{e}^{x}-3=0 \end{array}  \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l x=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2\\ou\\ x=\ln 3 \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{ \mathcall{S}=\lbrace{-\ln2,\ln 3 \rbrace}  }}}

3-c)- Tableau de variations

On a :

f(-\ln 2)=\text{e}^{2(-\ln 2)}-7\text{e}^{-\ln 2}+3(-\ln 2)+7 =\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} \right)^2-\dfrac{7}{\text{e}^{\ln 2}}-3\ln 2+7 =\left( \dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{7}{2}-3\ln 2+7 =\dfrac{1}{4}-\dfrac{7}{2}-3\ln 2+7 =\dfrac{15}{4}-3\ln 2

et

f(\ln 3)=\text{e}^{2(\ln 3)}-7\text{e}^{\ln 3}+3\ln 3+7 =\left(\text{e}^{\ln 3} \right)^{2}-7\times 3+3\ln 3+7 =3^2-21+3\ln 3+7 =3\ln 3-5

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x  &  -\infty  &&  -\ln2  &&  \ln 3  &&  +\infty  \\ \hline  {f'(x)}  & &  +  &  0  &  -  &  0  &  +  &  \\ \hline  {f}&_{-\infty}&\nearrow&^{\frac{15}{4}-3\ln2}&\searrow&_{3\ln3-5}&\nearrow&^{+\infty}& \hline \end{array}

4-a)- Résolution de f'(x)=3

f'(x)=3\Leftrightarrow 2\text{e}^{2x}-7\text{e}^{x}+\cancel{3}=\cancel{3} \Leftrightarrow \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{x}}=\dfrac{7}{2} \Leftrightarrow \text{e}^{x}=\dfrac{7}{2} \Leftrightarrow x=\ln\dfrac{7}{2}

\boxed{\textcolor{blue}{ \mathcall{S}=\lbrace{ \ln\dfrac{7}{2} \rbrace}  }}}

La solution est unique, f'(\ln\dfrac{7}{2})=3 indique une coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x=\ln\dfrac{7}{2} de 3.
On sait que deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

Or l'équation de la droite D est y=3x+7, donc D est de coefficient directeur égal à 3.
Donc la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x=\ln\dfrac{7}{2} est l'unique tangente à la courbe de f parallèle à la droite D.

\boxed{\textcolor{blue}{  \text{L'abscisse du point }B\text{ à la courbe  }\mathall{C}_f \text{ est égal à }\ln\dfrac{7}{2}   .}}}

4-b)- A\in\mathall{C}_f et x_A=\ln 7

A\in\mathall{C}_f\Rightarrow y_A=f(x_A)=f(\ln 7)=\text{e}^{2\ln 7}-7\text{e}^{\ln 7}+3\ln 7+7 =\cancel{7^2}-\cancel{7\times 7}+3\ln 7+7

L'équation de la droite D est y=3x+7, donc le point de la droite D d'abscisse x=\ln 7 a pour ordonnée y=3\ln 7+7, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le point }A\text{ de la courbe }\mathall{C}_f\text{ et d'abscisse }\ln 7 \text{ appartient à la droite }D  .}}}


4-c)- Voir représentation graphique


5-a)- Voir représentation graphique


5-b)- Calcul de \mathcal{A}

Pour x\in[0,\ln 7], la droite est au-dessus de la courbe de f, donc la valeur de l'aire recherchée est donnée par :

\mathcal{A}=\int_{0}^{\ln 7}\left[(3x+7)-f(x) \right]\text{d}x=\text{}\quad=\int_{0}^{\ln 7}\left(-\text{e}^{2x}+7\text{e}^x \right)\text{d}x =\left[ -\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}+7\text{e}^x\right]_{0}^{\ln 7} \\ \text{}\quad =-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\ln 7}+7\text{e}^{\ln 7}-\left(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{0}+7\text{e}^{0} \right) =-\dfrac{49}{2}+49+\dfrac{1}{2}-7=\dfrac{-49+98+1-14}{2} \\ \text{}\quad =\dfrac{36}{2}=18\text{ unités d'aire}

L'unité graphique étant le cm, on a :

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=18\text{ cm}^2   }}}

Représentation graphique :
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole septembre 2012 - terminale : image 2


Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Jedoniezh
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1348 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !