Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Juin 2012

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

11 points

exercice 1

Pour un mariage, un traiteur souhaite proposer deux desserts à ses clients.

La réalisation du dessert A nécessite 10 € de matière première et 3 heures de fabrication, la réalisation du dessert B nécessite 20 € de matière première et 1,5 heures de fabrication.

Le traiteur dispose d'un budget pour les matières premières limité à 700 €, et il dispose d'au plus 120 heures de travail.

1. Soit $x$ le nombre de desserts A proposés et $y$ le nombre de desserts B proposés.
Expliquer pourquoi $x$ et $y$ satisfont le système d'inéquations suivants : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \\ 10x+20y&\le&700 \\ 3x+1,5y& \leq &120 \end{array}\right.$ Vérifier que ce système peut s'écrire également : $(S) \quad \left\lbrace\begin{array}{l c l} x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \\ y&\le&-\dfrac{1}{2}x+35 \\ y& \leq &-2x+80 \end{array}\right.$

2. a) Tracer les droites suivantes sur le repère fourni en annexe à remettre avec la copie : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} D_{1}\: : y&=&-\dfrac{1}{2}x+35 \\ D_{2}\: : y&=&-2x+80 \end{array}\right.$
b) Calculer les coordonnées du point $I$ , le point d'intersection entre $D_{1}$ et $D_{2}$ .

Bac hôtellerie Métropole juin 2012 - terminale : image 1

3. Déterminer graphiquement l'ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x ; y)$ vérifient le système (S) (On hachurera les parties du plan qui ne sont pas solutions).

4. Le traiteur peut-il proposer à ses clients 25 desserts A et 20 desserts B ? 20 desserts A et 30 desserts B ?

5. Les bénéfices réalisés par le traiteur sont de 6 € par dessert A et 8 € par dessert B.
    a) Expliquer pourquoi le bénéfice total $b$ vérifie $b = 6x + 8y$ .
    b) Tracer la droite $d_{240}$ qui correspond à un bénéfice total de 240 €.
Ce bénéfice est-il réalisable par le traiteur ? Justifier votre réponse.
    c) Tracer la droite $d_{400}$ qui correspond à un bénéfice total de 400 €.
Ce bénéfice est-il réalisable par le traiteur ? Si oui, donner un exemple de répartition du nombre de desserts A et B permettant ce bénéfice.
Si non, justifier la réponse.
    d) En déduire le nombre de desserts A et de desserts B à fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal.

9 points

exercice 2

Une agence de voyage cherche à faire une campagne de promotion pendant les week-ends du printemps.
Elle veut mettre en vente des séjours : «Histoire et gastronomie au pays du foie gras».
On appelle $x$ le nombre de séjours vendus par l'agence.

Partie A

Le coût de production de ces séjours en euros, est donné par la fonction : $f(x) = 40x + \dfrac{1000}{x}$ sur l'intervalle [2 ; 10]

1. On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ . Déterminer $f^{\prime}(x)$ .

2. Vérifier que $f^{\prime}(x) = \dfrac{40(x - 5)(x + 5)}{x^2}$ .

3. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur [2 ; 10].

4. Pour combien de séjours le coût de production est-il minimum ? Préciser le coût minimal ainsi obtenu.

Partie B

Chaque séjour est vendu 110 euros.
On rappelle que le bénéfice net est la différence entre la recette et le coût de production.

1. Quel est le bénéfice net de l'agence si elle vend 3 séjours ?

2. Quel est le bénéfice net de l'agence si elle vend 7 séjours ?

3. On appelle $R(x)$ , la recette en euros pour $x$ séjours. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$ .

4. a) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal tel que :
    1 cm représente une unité sur l'axe des abscisses ;
    1 cm représente 50 unités sur l'axe des ordonnées.
    b) Tracer sur le même graphique la droite $d$ d'équation : $y = 110x$ .

5. À partir de combien de séjours vendus, l'agence est-elle bénéficiaire? Justifier graphiquement les résultats.

Voir la correction

exercice 1

1. Cet énoncé peut être organisé à l'aide d'un tableau à double entrée.

$\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\cline{3-3}\hline {}&Prix en euros &Temps en heure&Nombre de desserts\\ \hline Dessert A&10&3&\textit{x}\\ \hline Dessert B&20&{1,5}&\textit{y}\\ \hline Contraintes&\leq 700 &\leq 120~\text{h} &{}\\ \hline\end{tabular}$
Les nombres $x$ et $y$ représentent les nombres de desserts, ils sont donc tous deux nécessairement positifs.
Le prix des $x$ desserts A est $10x$ ; celui des $y$ desserts B est $20y$ ; le prix total est $10x+20y$ et doit rester inférieur à 700 euros.
Soit : $10x+20y \le 700$
Le temps passé pour fabriquer $x$ desserts A est $3x$ ; celui passé pour fabriquer les $y$ desserts B est $1,5 \,y$ ; le temps total passé est $3x+1,5y$ et doit rester inférieur à 120 heures.
Soit :
$3x+1,5y \le 120$
D'où le système, dont il est aisé de démontrer qu'il peut s'écrire sous la forme $(S)$ proposée.

2. a) Tracé des deux droites (en prenant deux points pour chacune d'elles)

Bac hôtellerie Métropole juin 2012 - terminale : image 3

2. b) Soit $I$ intersection de $D_1$ et de $D_2$
$I(x;y) \in D_1 \cap D_2 \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l y=-\dfrac{1}{2}x+35 \\ y=-2x+80 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l -2x+80 =-\dfrac{1}{2}x+35 \\ y=-2x+80 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 45 =1,5x \\ y=-2x+80 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l x=30 \\ y=20 \end{array} \right.$

I(30 ; 20)

3. Voir figure de la question 1..

4. Le point de coordonnées (25 ; 20) appartient à l'ensemble solution du système, donc le traiteur peut proposer à ses clients 25 desserts A et 20 desserts B.
Le point de coordonnées (20 ; 30) n'appartient pas à l'ensemble solution du système, donc le traiteur ne peut pas proposer à ses clients 20 desserts A et 30 desserts B.

5. Les bénéfices réalisés par le traiteur sont de 6 euros par dessert A et 8 euros par dessert B.

5. a) En vendant $x$ desserts A, son bénéfice est de $6x$ euros ; et en vendant $y$ desserts B, son bénéfice est de $8y$ euros.
Au total, son bénéfice est donc : $b=6x+8y$

5. b) La droite $d_{240}$ a pour équation : $240=6x+8y$ .

Bac hôtellerie Métropole juin 2012 - terminale : image 6

Ce bénéfice de 240 euros est réalisable par le traiteur. En effet, des points à coordonnées entières de la droite $d_{240}$ appartiennent à l'ensemble solution du système $(S)$ (par exemple 0 dessert A et 30 desserts B).
5. c) On trace ensuite la droite $d_{400}$ .
Un bénéfice de 400 euros n'est pas réalisable par le traiteur. Aucun point de $d_{400}$ n'appartient à l'ensemble solution du système $(S)$ .

5. d) Le bénéfice maximal est obtenue pour la droite $d$ passant par I(30 ; 20).
Le bénéfice est alors de 6 × 30 + 8 × 20 = 340 euros obtenu avec 30 desserts A et 20 desserts B.

Bac hôtellerie Métropole juin 2012 - terminale : image 2

exercice 2

Partie A

Soit la fonction $f$ définie sur [2 ; 10] par $f(x)=40\,x+\dfrac{1000}{x}$

1. $f$ est dérivable sur [2 ; 10] et $f'(x)=40-\dfrac{1000}{x^2}$

2. $f'(x)=40-\dfrac{1000}{x^2}=\dfrac{40\,x^2-1000}{x^2}=\dfrac{40(x^2-25)}{x^2}=\dfrac{40(x-5)(x+5)}{x^2}$

3. La quantité $\dfrac{40}{x^2}$ est toujours strictement positive ; de plus, sur $[2;10]~,~x+5>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $x-5$
$x-5<0 \text{ pour }x<5$ et $x-5 > 0 \text{ pour } x > 5$
On en déduit le tableau de variations de $f$ :

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& 2 & &5 & &10 \\\hline f'(x) & &-&0&+ &\\\hline\niveau{2}{3} f& 580 & \decroit& 400& \croit &500\\\hline\end{tabvar}$

$f(2)=40\times 2 + \dfrac{1000}{2}=80+500=580$ De même $f(5)=400 \qquad \text{et }f(10)=550$

5. Le coût est minimal pour 5 séjours. Ce coût est alors égal à 400 euros.

Partie B

Un séjour est vendu 110 euros.

1. Si l'agence vend 3 séjours, le coût de production est $f(3) \approx 453$ euros ; sa recette est égale à : 3 × 110 = 330 euros, et l'agence a un bénéfice net négatif. L'agence perd environ 453 - 330 soit environ 123 euros.

2. Si l'agence vend 7 séjours, le coût de production est $f(7) \approx 423$ euros ; sa recette est égale à : 7 × 110 = 770 euros, et l'agence a un bénéfice net positif. L'agence gagne environ 770 - 423 soit environ 347 euros.

3. $R(x)=110\times x$

4. Représentation graphique :

Bac hôtellerie Métropole juin 2012 - terminale : image 5

5.L'agence est bénéficiaire pour : $R(x)>f(x)$ soit $d$ au dessus de $C$ .
D'après le graphique, l'agence est donc bénéficiaire à partir de 4 séjours vendus.

Publié par TP/malou le 11-01-2014

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