Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Avril 2013 - Pondichéry

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de rechercher même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

Bac scientifique Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 1

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : $h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu'initialement, pour $t = 0$ , le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 250] par $f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}$ .

1. Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$ ( $f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$ ).
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 250].

2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.

3. a) Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$ .
Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$ .
b) Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50 ; 100].
En donner une valeur approchée à 10^-2 près et interpréter ce résultat.

4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$ .
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$ .
En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci.
Estimer alors la hauteur du plant.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.
Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$ .
Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x &=& -2 + t + 2t' \\ y &=& - t - 2t' \\ z &=& -1 - t + 3t' \end{array}\right.$
La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x &=& -2 + t \\ y &=& -t \\ z &=& -1 - t \end{array}\right.$
On donne les points de l'espace M(-1 ; 2 ; 3) et N(1 ; -2 ; 9).

1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :

a) $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&=&t \\ y&=&1-2t \\ z&=&-1+3t \end{array}\right.$

b) $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&=&t+2t' \\ y&=&1-t+t' \\ z&=&-1-t \end{array}\right.$

c) $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&=&t+t' \\ y&=&1-t-2t' \\ z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$

d) $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&=&1+2t+t' \\ y&=&1-2t+2t' \\ z&=&-1-t'\end{array}\right.$

2. a) La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(- 8 ; 3 ; 2).
    b) La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires.
    c) La droite (D) est une droite du plan (P).
    d) La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.

3. a) La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
    b) La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
    c) La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
    d) La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.

4. a) Les plans (P) et (S) sont parallèles.
    b) La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{array}{l c l}x&=&t \\ y&=&-2-t \\ z&=&-3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans (P) et (S).
    c) Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S).
    d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$ .
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$ .
À tout point M d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$ , avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$ , on associe le point M' d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$ .
On désigne par $I$ le milieu du segment [AM].
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM' (propriété 1) et que BM' = 2 OI (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$ .
    a) Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$ .
    b) Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$ . Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$ .
    c) Placer les points A, B, M, M' et I dans le repère $(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ en prenant 2 cm pour unité graphique.
Tracer la droite (O $I$ ) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.

2. On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$ .
    a) Déterminer l'affixe du point I en fonction de $x$ et $y$ .
    b) Déterminer l'affixe du point M' en fonction de $x$ et $y$ .
    c) Écrire les coordonnées des points I, B et M'.
    d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM'.
    e) Montrer que BM' = 2 OI.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel $n$ , on note $j_{n}$ le nombre d'animaux jeunes après $n$ années d'observation et $a_{n}$ le nombre d'animaux adultes après $n$ années d'observation. Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi $j_{0} = 200$ et $a_{0} = 500$ .
On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} j_{n+ 1}&=&0,125j_{n}+0,525a_{n} \\ a_{n+1}&=&0,625j_{n}+0,625a_{n} \end{array}\right.$ On introduit les matrices suivantes : $A = \begin{pmatrix} 0,125&0,525 \\ 0,625& 0,625 \end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n} \\ a_{n}\end{pmatrix}$ .

1. a) Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+ 1} = A \times U_{n}$ .
    b) Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
    c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_{n}$ en fonction de $A^n$ et de $U_{0}$ .

2. On introduit les matrices suivantes $Q = \begin{pmatrix}7&3 \\ -5&5 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} -0,25&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$ .
    a) On admet que la matrice $Q$ est inversible et que $Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06 \\ 0,1& 0,14 \end{pmatrix}$ .
Montrer que $Q \times D \times Q^{- 1} = A$ .
    b) Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}$ .
    c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en fonction de $n$ .

3. On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\ 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7 + 0,3 \times (- 0,25)^n \end{pmatrix}$
    a) En déduire les expressions de $j_{n}$ et $a_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.
    b) Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
    Un salarié malade est absent
    La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
    Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à 0,04.
    Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à 0,24.

On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement «le salarié est absent pour cause de maladie la $n$ -ième semaine». On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$ .
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \le p_{n} < 1$ .

1. a) Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité.
    b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.

2. a) Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous

Bac scientifique Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 2

    b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$ .
    c) Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$ . En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$ .
    d) En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ .
    e) On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant :
Variables
    K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
Initialisation
    P prend la valeur 0
    J prend la valeur 1
Entrée
    Saisir la valeur de K
Traitement
    Tant que P $< 0,05 - 10^{-\text{K}}$
        P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$
        J prend la valeur J+1
    Fin tant que
Sortie
    Afficher J

À quoi correspond l'affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?

3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$ .
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
    a) Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$ .
    b) On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1.
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$ .

$x$	-1,55	-1,24	-0,93	-0,62	-0,31	0,00	0,31	0,62	0,93	1,24	1,55
$P(Z < x)$	0,061	0,108	0,177	0,268	0,379	0,500	0,621	0,732	0,823	0,892	0,939

Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b), une valeur approchée à 10^-2 près de la probabilité de l'évènement : «le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15».

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie 1

On sait que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} h(x) = 2$ . Or, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} b e^{-0,04 t} = 0$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} h(x) = a = 2$
On sait que $h(0)=0,1$ . Or, $h(0) = \dfrac{a}{1 + b}$ et $a = 2$ , donc :
$\dfrac{2}{1 + b} = 0,1 \Longleftrightarrow b = 19$ .
Ainsi, $\fbox{h(t) = \dfrac{2}{1 + 19 e^{-0,04t}}}$

Partie 2

1. La fonction $f$ est dérivable sur [0 ; 250] car le dénominateur ne s'annule pas et l'exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
La règle de dérivation de l'inverse donne $\forall t \in [0 ; 250], \, f'(t) = 2 \times \dfrac{-19 \times(-0,04)e^{-0,04t}}{(1+19e^{-0,04t})^2}$
Donc, $\forall t \in [0 ; 250], \, f'(t) = \dfrac{1,52\times e^{-0,04t}}{(1+19e^{-0,04t})^2}$
L'exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$ , $f' > 0$ sur [0 ; 250] donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

2. Résolvons l'inéquation $f(t) \ge 1,5$ :
$\begin{array}{rcl}f(t)\ge1,5&\Longleftrightarrow&\dfrac{2}{1+19e^{-0,04t}}\ge1,5\\&&\\ &\Longleftrightarrow&2\ge1,5\times(1+19e^{-0,04t})\ \text{car}\ 1+19e^{-0,04t}>0\\&&\\ &\Longleftrightarrow&0,5\ge28,5e^{-0,04t}\\&&\\ &\Longleftrightarrow&e^{0,04t}\ge\frac{28,5}{0,5}\ \text{car}\ e^{0,04t}>0\\&&\\ &\Longleftrightarrow&0,04t\ge\ln(57)\ \text{car}\ \ln\ \text{est\ croissante\ (et\ bijective\ pour\ l'}\acute{e}\text{quivalence)}\\ &\Longleftrightarrow& t \geq \dfrac{\ln(57)}{0,04} \end{array}$
Or, $\dfrac{\ln(57)}{0,04} \approx 101,08$ , donc le plant de maïs atteindra une hauteur supérieure à 1,5 m le 102ème jour.

3. a) $\forall t\in[0,250], \, f(t)=\dfrac{2}{1+19e^{-0,04t}}=\dcfrac{2\times e^{0,04t}}{(1+19e^{-0,04t})\times e^{0,04t}}=\dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}$
$F$ est dérivable sur [0 , 250] d'après le théorème de dérivation des fonctions composées et
$\forall t\in[0,250], \, F'(t)=50\times\dfrac{0,04e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}=\dfrac{2e^{0,04}}{e^{0,04}+19}=f(t)$
Donc $F$ est une primitive de $f$ sur [0 , 250].

3. b) La valeur moyenne de $f$ sur le segment [50 , 100] vaut :
$\dfrac{1}{100-50} \displaystyle \int_{50}^{100}f(t)dt = \dfrac{1}{50} \times \left[F(t)\right]_{50}^{100}=\ln(e^{0,04\times100}+19)-\ln(e^{0,04\times50}+19)= \ln\left(\dfrac{e^{4}+19}{e^2+19}\right)\approx1,03$
Entre 50 et 100 jours, la hauteur moyenne du plant de maïs est 1,03 m.

4. On cherche la valeur de $t$ pour laquelle $f'(t)$ est maximale ie. la pente à la courbe représentative de $f$ est maximale.
Graphiquement, on lit $t \approx 75 \text{ jours}$ . (En réalité, $t\approx73,61097448\ \text{jours}$ )
Avec notre valeur approchée, la hauteur du plant serait alors $f(75 )\approx 1,03m$ . (En réalité, c'est 1 m)

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Les justifications ne sont pas demandées, on les donne ici à titre informatif.

1. Réponse b)
En effet, le plan a pour équation cartésienne $x-2y+3z+5=0$ donc le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ est normal à ce plan. Donc (par exemple) $\vec{u} \begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ en forment une base. De plus, le point de coordonnées (0 , 1 , -1) appartient au plan donc il a pour équation paramétrique $\left\lbrace\begin{array}{l}x=t+2t'\\y=1-t+t'\\z=-1-t\end{array},\ t,t'\in\mathbb{R}$

2. Réponse c)
En effet, la droite (D) est dirigée par le vecteur $\vec{u}$ qui, on l'a vu à la question précédente, est un vecteur directeur du plan (P) donc (D) est parallèle à (P).
De plus, la droite passe par le point de coordonnées (-2 , 0 , -1) qui appartient à (P) donc la droite est incluse dans (P).`
A n'appartient pas à (P) donc la proposition a) est fausse.

3. Réponse a)
En effet, la droite (MN) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{MN} \begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\cdot\overrightarrow{MN}=1\times2+(-1)\times(-4)+(-1)\times6=0$ . Ainsi les droites (MN) et (D) sont orthogonales.
De plus, une représentation paramétrique de (MN) est : $\left\lbrace\begin{array}{l}x=-1+t\\y=2-2t\\z=3+3t\end{array}\right.,\ t\in\mathbb{R}$ ( $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}$ est aussi un vecteur directeur..). Donc :
$A(x,y,z)\in(MN)\cap D\Longleftrightarrow\exists t\in\mathbb{R}\backslash\left\lbrace\begin{array}{l}-2+t=-1+t\\-t=2-2t\\3-3t=-1-t\end{array}\right.$ or il n'est n'existe pas de tel réel, donc les deux droites sont d'intersection vide, ie. non sécantes.

4. Réponse b)
La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec{u}$ qui dirige (P) et (S). De plus, le point de coordonnées (0,-2,-3) appartient à cette droite et au plan (P). De même, il appartient à (S). En effet : le système $\left\lbrace\begin{array}{l}0=-2+t+2t'\\-2=-t-2t'\\-3=-1-t+3t'\end{array}\right.$ a une solution $(t,t')= (2,0)$ . Ainsi, la droite $\Delta$ appartient à à l'intersection de (P) et (S) donc la proposition b) est vraie.
On a vu que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ forment une base de (P). L'équation paramétrique de (S) nous donne accès immédiatement à une base de (S) : $\vec{u}'\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\vec{u},\ \vec{v}'\begin{pmatrix} 2\\-2\\3\end{pmatrix}$ . Or $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}'=2+4+9=15\neq0$ donc $\vec{n}$ n'est pas un vecteur normal à (S) donc (S) et (P) ne sont pas parallèles donc la proposition a) est fausse.
$-1-2\times2+3\times3+5=9\neq0$ donc $M\not\in (P)$ donc $M\not\in (P) \cap (S)$ donc la proposition c) est fausse.
Un vecteur normal au plan (S) est $\vec{n}'\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ . Or $\vec{n} \cdot \vec{n}'=1-2=-1\neq 0$ donc les deux vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux donc (P) et (S) ne sont pas perpendiculaires et la proposition d) est fausse.

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $z_M=2e^{-i\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1-i\sqrt{3}$
La forme algébrique de $z_M$ est $\fbox{z_M=1-i\sqrt{3}}$

1. b) $z_{M'}=-iz_M=-i+i^2\sqrt{3}$ donc $\fbox{z_{M'}=-\sqrt{3}-i}$
On a de plus $|z_{M'}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2$ et un argument de $z_{M'}$ est tel que
$\tan(\text{arg}(z_{M'}))=\dfrac{-1}{-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ . Par exemple, $\text{arg}(z_{M'})=\dfrac{\pi}{6}$ convient.

1. c)

Bac scientifique Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 4

Pour montrer la propriété 1, il suffit de montrer que $\overrightarrow{OI}\bot\overrightarrow{M'B}$ car alors (OI) est une droite passant par le sommet O orthogonale au côté opposé [BM'] donc c'est une hauteur du triangle OBM'. Or $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+1}{2},\dfrac{0-\sqrt{3}}{2}\right) =(1,-\frac{\sqrt{3}}{2})$ donc $\overrightarrow{OI}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$ . De plus, $\overrightarrow{M'B}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}0-(-\sqrt{3})\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\2\end{pmatrix}$ . Ainsi, $\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{M'B}=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$ d'où le résultat.
Par aileurs, $BM'=||\overrightarrow{M'B}||=\sqrt{\sqrt{3}^2+2^2}=\sqrt{7}$ et $OI=||\overrightarrow{OI}||=\sqrt{1^2+ \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2}=\sqrt{\dfrac{7}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{7}$ donc $\fbox{BM'=2OI}$ .

2. a) Notons $z_I$ l'affixe du point $I$ . $\fbox{z_I=\dfrac{z_A+z_M}{2}=\dfrac{1+x+iy}{2}}$

2. b) $z_{M'}=-iz_M=-ix-i^2y$ donc $\fbox{z_{M'}=y-ix}$

2. c) I a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+x}{2},\dfrac{y}{2} \right)$ . B a pour coordonnées (0,1). M' a pour coordonnées $(y,-x)$ .

2. d) Comme à la question 1.c), il suffit de montrer que $\overrightarrow{M'B}\bot\overrightarrow{OI}$ .
Or $\overrightarrow{M'B}\cdot \overrightarrow{OI}=(0-y)\times\left(\dfrac{1+x}{2}-0\right)+(1-(-x))\times\left(\dfrac{y}{2}-0\right)=0$
d'où le résultat.

2. e) $BM'=\sqrt{(0-y)^2+(1-(-x))^2}=\sqrt{(1+x)^2+y^2}$ et $OI=\sqrt{ \left(\dfrac{1+x}{2} \right)^2+ \left(\dfrac{y}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{(1+x)^2+y^2}$ donc $\fbox{BM'=2OI}$

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Soit $n\in\mathbb{N}$ .
$A\times U_n=\begin{pmatrix}0,125&0,525\\0,625&0,625\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}j_n\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,125\times j_n+0,525\times a_n\\0,625\times j_n+0,625\times a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{j_{n+1}\\a_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}$

1. b) $j_1=0,125j_0+0,525a_0=287,5\approx287$ et $a_1=0,625j_0+0,625a_0=437,5\approx437$
$j_2=0,125j_1+0,525a_1=265,625\approx265$ et $a_2=0,625j_1+0,625a_1=453,125\approx452$
(Attention à bien reprendre la valeur exacte de $j_1$ et $a_1$ pour calculer $j_2$ et $a_2$ car sinon, on commet une erreur de 1 sur $a_2$ par rapport au résultat qu'on obtient avec la question 3.a)

1. c) On reconnaît une relation de type "suite géométrique". Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $U_n=A^n\times U_0$ .
$\bullet\ n=0$ : $U_0=A^0\times U_0$ OK.
$\bullet$ Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $U_n=A^n\times U_0$ .
D'après la question précédente, $U_{n+1}=A\times U_n$ donc, par hypothèse de récurrence,
$U_{n+1}=A\times A^n\times U_0=A^{n+1}\times U_0$ .
On a donc montré que $\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\ U_n=A^n\times U_0}$ .

2. a)
$\begin{array}{rcl} Q\times D\times Q^{-1}&=&Q\times(D\times Q^{-1})\\\\ &=&Q\times\left(\begin{pmatrix}-0,25&0\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,1&-0,06\\\\ 0,1&0,14\end{pmatrix}\right)\\\\ &=&Q\times\begin{pmatrix}-0,25\times0,1+0\times0,1&-0,25\times(-0,06)+0\times0,14\\0\times0,1+1\times0,1&0\times(-0,06)+1\times0,14 \end{pmatrix}\right)\\\\ &=&\begin{pmatrix}7&3\\-5&5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-0,025&0,015\\0,1&0,14\end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix}7\times(-0,025)+3\times0,1&7\times0,015+3\times0,14\\-5\times(-0,025)+5\times0,1&-5\times0,015+5\times0,14\end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix}0,125&0,525\\0,625&0,625\end{pmatrix}\\\\ &=&A \end{array}$

2. b) Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$ que $A^n=Q\times D^n\times Q^{-1}$ .
$\bullet\ n=1$ Le résultat est vrai d'après la question précédente.
$\bullet$ Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $A^n=Q\times D^n\times Q^{-1}$ .
$A^{n+1}=A\times A^{n}$ donc d'après la question précédente et l'hypothèse de récurrence :
$A^{n+1}=(Q\times D\times Q^{-1})\times(Q\times D^{n}\times Q^{-1})=Q\times D\times(Q^{-1}\times Q)\times D^{n}\times Q^{-1}=Q\times D\times I_2 \times D^{n}\times Q^{-1}=Q\times D^{n+1}\times Q^{-1}$ (où l'on a noté $I_2$ la matrice identité)
On a donc montré que $\fbox{(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ A^n=Q\times D^{n}\times Q^{-1}}$ .

2. c) Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $D^n=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}$ .
$\bullet\ n=0$ : $D^0=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-0,25)^0&0\\0&1\end{pmatrix}$
$\bullet$ Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $D^n=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}$ .
$D^{n+1}=D^n\times D=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-0,25&0\\0&1\end{pmatrix}$ par hypothèse de récurrence. Donc $D^{n+1}=\begin{pmatrix}(-0,25)^{n+1}&0\\0&1\end{pmatrix}$
On a donc montré que $\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\ D^n=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}}$ .

3. a) D'après la question 1. c), $\begin{pmatrix}j_n\\a_n\end{pmatrix}=U_n=A^n\times\begin{pmatrix}j_0\\a_0\end{pmatrix}$ donc
$\left \lbrace \begin{array}{l} j_n=(0,3+0,7\times(-0,25)^n)\times j_0+(0,42-0,42\times(-0,25)^n)\times a_0\\ a_n=(0,5-0,5\times(-0,25)^n)\times j_0+(0,7+0,3 \times(-0,025)^n)\times a_0\end{array}\right.$
Ainsi, $\fbox{\left\lbrace\begin{array}{l}j_n=270-70(-0,25)^n\\a_n=450+50(-0,25)^n\end{array}\right.}$ et $\fbox{j_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}270}$ et $\fbox{a_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}450}$ (car 0,25 < 1)

3. b) La population d'animaux se stabilise à 270 jeunes et 450 adultes.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) On sait que le salarié n'est pas malade la première semaine donc on ne représente que l'arbre de probabilité à partir de la deuxième semaine :

Bac scientifique Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 3

On sait en effet que comme le salarié n'est pas malade la première semaine, $p_2=0,04$
et donc $P(\overline{E_2})=1-p_2=0,96$ et on remplit de la même façon le reste de l'arbre.
Ainsi, $p_3 = 0,04 \times 0,24 + 0,96 \times 0,04$ . On a donc : $\fbox{p_3=0,048}$ .

1. b) On cherche la probabilité conditionnelle $P_{E_3}(E_2)$ qui s'écrit $P_{E_3}(E_2)=\dfrac{P(E_2\cap E_3)}{P(E_3)}=\dfrac{0,04\times0,24}{0,048}$
donc $\fbox{P_{E_3}(E_2)=0,2}$

2. a) Comme à la question 1. a), on dresse l'arbre de probabilité :

Bac scientifique Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 5

2. b) Pour $n\in\mathbb{N}^*$ , comme à la question 1. a), on lit la probabilité sur l'arbre :
$p_{n+1}=0,24\times p_n+0,04\times(1-p_n)=0,2p_n+0,04$

2. c) Pour $n\in\mathbb{N}^*$ , $u_{n+1}=p_{n+1}-0,05=0,2p_n+0,04-0,05=0,2(p_n-0,05)=0,2u_n$ donc la suite $(u_n)_{n\ge1}$ est une suite géométrique de raison $\fbox{r=0,2}$ et de premier terme $\fbox{u_1=p_1-0,05=-0,05}$ .
Ainsi, $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ u_n=-0,05\times0,2^n$

2. d) Comme -1 < 0,2 < 1, la suite $u$ converge et a pour limite 0. Or $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ u_n=p_n-0,05$ donc en passant à la limite dans cette égalité, $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et a pour limite 0,05.

2. e) L'affichage final de $J$ correspond au premier entier tel que $p_J<0,05-10^{-K}$ .
L'algorithme finit si et seulement si P augmente à chaque passage dans la boucle. Or on sait que la suite $(p_n)$ (représentée par P) est croissante.
De plus, s'il existe un entier $n_0$ tel que $p_{n_0+1}=p_{n_0}$ alors $0,2p_{n_0}+0,04=p_{n_0}$
et donc $p_{n_0}=\dfrac{0,04}{0,8}=0,5>0,05$ ce qui contredit l'hypothèse de croissance de $(p_n)$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=0,05$ ). Ainsi, la quantité $P$ est strictement croissante et donc atteint forcément la valeur $0,05-10^{-K}$ et l'algorithme s'arrête.

3. a) Considérons l'épreuve de Bernoulli ayant pour succès "Le salarié considéré est malade" (probabilité $p=0,05$ ) et pour échec "Le salarié n'est pas malade" (probabilité $q=1-p=0,95$ ). Ici, on répète cette épreuve $n=220$ fois (pour les 220 salariés) et $X$ compte le nombre de salariés malades, c'est-à-dire le nombre de succès. Ainsi, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $(n=220,p=0,05)$ .
L'espérance mathématique est alors $\fbox{\mu=np=11}$ et l'écart-type est $\fbox{\sigma=\sqrt{npq}\approx3,08}$ .

3. b) $P(7\le X\le 15)=P(X\le15)-P(X<7)$ . Pour calculer chacune de ces probabilités, on utilise l'approximation donnée :
$X<7\Longleftrightarrow x=\dfrac{X-\mu}{\sigma}<\dfrac{7-\mu}{\sigma}\approx-1,298$ . On admettra que choisir $x=-1,24$ induit une erreur de l'ordre de $10^{-3}$ (ce qui n'est pas vraiment exact car on peut montrer que $P(Z<-1,298)\approx0,097\neq0,108\pm10^{-2}$ ). Ainsi, $P(X<7) \approx P(Z<-1,24)=0,108$ .
De plus, $X\le15\Longleftrightarrow x=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\le\dfrac{15-\mu}{\sigma}\approx1,298$ . On admettra de même que choisir $x=1,24$ induit une erreur de l'ordre de $10^{-3}$
(c'est encore une fois inexact car on peut montrer que $P(Z<1.298)\approx0,903\neq0,892\pm10^{-2}$ ).
Ainsi, $P(X\le15)\approx P(Z<1.24)=0,892$ .
Alors, $\fbox{P(7\le X\le 15)=0,78}$ à $10^{-2}$ près.

Publié par TP/david9333 le 28-06-2013

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