Bonsoir

Comme la série converge, pour un   Epsilon > 0   il existe un rang N tel que

                     rn< Epsilon   pour n >  N

Où rn est le reste de la série des Uk  au rang n.  (rn = Série de k=n à k=+infini de Uk)

On peut alors separer la somme des k*Uk  en ce fameux rang N.

La première somme est une somme finie divisé par n et donc tend vers 0
La seconde somme est majorable par la somme de k=N à k=n de Uk car    k/n<=1
Cette somme tend vers rN quand n tend vers l infini, mais rN < epsilon.

Ps: désolé pour la redaction

Bonjour remullen2000,

Ta démonstration n'est valable que pour une série absolument convergente.
En effet, ta majoration de la deuxième somme doit se faire avec les valeurs absolues des u_k. Par exemple pour la série convergente de terme général tu majores la seconde somme par la somme de k=N à k=n des et cette somme tend vers l'infini quand n tend vers l'infini.

Une démonstration valable pour toute série convergente consiste à utiliser la transformation d'A... puis le théorème de C...

Bonjour Jandri,

effectivement, tu as raison! Merci pour cette correction

Bonjour à tous et merci à elhor_abdelali
Soit l la somme de la série.
La suite de terme général vn=u1+...+un converge donc vers l
ainsi que la suite de ses moyennes arithmétiques wn = (n.u1+(n-1).u2+...+1.un)/n
(d'après le théorème de Césaro)
Je peux aussi écrire vn sous la forme vn=(n.u1+n.u2+ ... +n.un)/n
donc  vn-wn=(1.u2+..+(n-1).un)/n tend vers 0.
Toujours d'après Césaro, la suite de terme général
tn= (u1+u2+..+un)/n converge, comme un, vers 0 donc vn-wn+tn aussi.
Or vn-wn+tn= (u1+2.u2+...+n.un)/n
d'où le résultat demandé.

PS: je n'avais pas lu le courrier de Jandri jusqu'au bout...