Bonjour,
Un L exactement ou au moins un L ?

Bonjour
Une idée... pour débuter.

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Soit un échiquier de A8 à H8
Si on pend au hasard la case  C5 les possibilités d'avoir un L
sont B5B6 B5B4 D5D4 D5D6 C4D4C6D6  soit 6 cas sur 63
soit environ une chance sur 10 de gagner .

@Sylvieg : au moins 1 .

Imod

Bonsoir,
une tentative.

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La probabilité d'avoir un L est celle de prendre exactement 3 cases dans un carré 22.

Cette probabilité est pour un carré donné.

Il y a 49 carrés 22 dans un échiquier 88.

La probabilité d'avoir au moins un L est donc :

Ma réponse précédente est au mieux approximative.

Je viens de me rendre compte que j'ai écrit 10 cases sur un échiquier8 X 8  au lieu de 12 mais ce n'est pas grave , la logique reste la même . On répond à l'une ou l'autre des questions .

Désolé

Imod

Cet exercice est intéressant.

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Je le décortique petit à petit et je trouverai à la fin
En regardant les carres de 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
on voit que le nombre de points rouges minimum pour être sûr
de former un L est respectivement 3 ,7,9,14,19,27,33

Ce qui veut dire qu'avec 12  on  a 12/14 chances d'avoir un L dans un carré de 5x5  et qu'il faudrait 33  points rouges pour notre carré de 8x8 . Quelles sont les chances avec 12 ?
Suis-je sur la bonne piste ?

J'avais plutôt choisi une approche à la Verdurin mais en considérant le nombre moyen de "L" produit par un triplet de cases . Après c'est facile sauf si je me suis complètement planté , ce qui n'est pas impossible vu mes faibles connaissances en probabilités

Imod

Une petite salade russe...

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On compte effectivement 49 carrés de 2x2 dans 64 cases et 12
points rouges à placer.
On a donc 12/49 x11/48x10/47  chances soit 1.2 %
Pas très fier...

Je n'arrive pas à trouver le calcul à faire.
J'ai fait une simulation qui donne :

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la probabilité d'un L avec 10 cases est environ 37,5%
la probabilité d'un L avec 12 cases est environ 56,5%.

Voilà comment j'avais vu les choses , ce n'est pas en accord avec ta simulation

Il y a 49 carrés 2X2 sur l'échiquier donc 196 L possibles . D'autre part il y a triplets de cases . Donc pour un triplet donné une moyenne de "L" . Si on prend 12 cases on a triplets donc une moyenne de "L" donc plus de 1 .

Je ne sais pas si le calcul est juste et notamment si les 220 triplets fournis par les 12 casses sont équivalents à 220 triplets choisis au hasard pour l'apparition d'un "L" .

A voir donc .

Imod

Bon , il y a un autre problème en dehors de celui que j'ai évoqué dans le message précédent . Le fait que la moyenne soit supérieure à 1 n'entraîne pas qu'il y ait plus d'une chance sur deux qu'un "L" apparaisse . En effet plusieurs "L" peuvent apparaître et gonfler la moyenne .

Le problème est donc ouvert : combien faut-il choisir de cases pour qu'en moyenne on ait au moins un "L" ?

Imod

Ma simulation est peut-être fausse.
Voici le code que j'ai utilisé ( en python ) :

def tirage(taille) :
    echi=[[0 for i in range(8)] for j in range(8)] # échiquier vide
    tire=sample(range(64),taille) # on tire taille cases
    for i in tire:
        echi[i//8][i%8]=1 #que l'on place sur l'échiquier
    # ensuite on parcourt les carrés
    for i in range(7):
        for j in range(7):
            # si il y a 3 cases occupées on a un L et on quitte
            if echi[i][j]+echi[i][j+1]+echi[i+1][j]+echi[i+1][j+1]==3 :
                return 1 # au moins un L
    return 0 # pas de L trouvé

Je ne sais pas lire ces codes

En fait ta simulation est en accord avec mon résultat même si mon raisonnement n'est pas correct ( avec 11 cases , est-on en dessous de 50% ? ) .

@Sylvieg : comme j'aime beaucoup en les chemins de traverse , il m'arrive souvent de me perdre , ce n'est pas la première et j'espère la dernière fois

Imod

Il me semble que ton raisonnement est douteux.
En fait je trouve, par simulation, qu'il y a en moyenne 0,9 L par carré quand on tire 12 cases. Ce qui n'empêche que la probabilité d'avoir au moins un L soit plus grande que 1/2.
Avec 11 cases je trouve , avec la même simulation, une probabilité d'environ 0,47 d'avoir au moins un L.

Bonjour
j'ai consideré qu'un "L" pouvait prendre 4 positions "le L normal , le L miroir , le "L" à l'envers  et son pied dirigé vers la gauche et le L à l'envers et son pied dirigé vers la droite , j'ai donc ecrit un petit programme "bourrin" qui choisit 10 cases differentes d'une grille 8x8 et retourne une proba de  0,3724  avec 10000 essais et que voici :

Sub GRILLE88()
Dim a, b, p As Integer
Dim s As Long
Dim e As Long
Randomize
p = 8  'grille 8x8
e = 0
Do
e = e + 1 '10000 essais

Set zone = Range(Cells(1, 1), Cells(8, 8)) 'zone de travail
zone.Interior.ColorIndex = xlNone  'vidage des couleurs
k = 0
Do
k = k + 1
recom:
   a = Int(Rnd * p) + 1
   b = Int(Rnd * p) + 1
    If Cells(a, b).Interior.ColorIndex = xlNone Then
     Cells(a, b).Interior.ColorIndex = 1
      Else
      GoTo recom  ' on ne choisit pas une meme cellule plusieurs fois
     End If
 Loop Until k = 10   'conteur de cellules , ici juqu'a 10
 n = 0
   'detection d'au moins un "L"
    'type 1:
      For i = 2 To 8
       For j = 1 To 8
        If Cells(i, j).Interior.ColorIndex = 1 Then
          If Cells(i, j).Offset(-1, 0).Interior.ColorIndex = 1 And Cells(i, j).Offset(, 1).Interior.ColorIndex = 1 Then
           n = n + 1
          End If
        End If
       Next
      Next
      
      
    'type2: au moins un "L" miroir
      For i = 2 To 8
       For j = 2 To 8
        If Cells(i, j).Interior.ColorIndex = 1 Then
          If Cells(i, j).Offset(-1, 0).Interior.ColorIndex = 1 And Cells(i, j).Offset(, -1).Interior.ColorIndex = 1 Then
           n = n + 1
          End If
        End If
       Next
      Next
    
    
    

    'type 3:au moins un "L" à l'envers droit
    
    For i = 1 To 8
       For j = 1 To 8
        If Cells(i, j).Interior.ColorIndex = 1 Then
          If Cells(i, j).Offset(1, 0).Interior.ColorIndex = 1 And Cells(i, j).Offset(, 1).Interior.ColorIndex = 1 Then
           n = n + 1
          End If
        End If
       Next
      Next
    
    
    
    
    'type 4:
    
    For i = 1 To 8 'au moins un "L" à l'envers gauche
       For j = 2 To 8
        If Cells(i, j).Interior.ColorIndex = 1 Then
          If Cells(i, j).Offset(1, 0).Interior.ColorIndex = 1 And Cells(i, j).Offset(, -1).Interior.ColorIndex = 1 Then
           n = n + 1
          End If
        End If
       Next
      Next
    
    If n > 0 Then
      s = s + 1   'on compte un succès à chaque fois qu'on trouve un "L" quelque soit son type
    End If
    
 Loop Until e = 10000
 
 MsgBox s / e   ' proba d'avoir au moins un "L" quelque soit sa posistion et retourne 0,3724
    
End Sub

Salut flight.
Je vois qu'on trouve tous les deux des résultats voisins.
Ça me semble confirmer ma simulation et la tienne.

Bonjour,

je ne vois pas du tout comment calculer la probabilité d'obtenir au moins un L, j'ai donc fait des simulations avec 100 000 tirages et je trouve exactement comme verdurin pour 10, 11 et 12 cases.

Bonjour,
Comme cet exercice est désormais ouvert, je pense qu'il y a des choses exploitables dans mon idée.
Si on observe les divers carrés nxn on voit que le nombre de points rouges* minimal pour 100 % de chances suit une certaine loi**
*le point vert étant le premier  à former un L.
On doit donc trouver  le rapport entre le nombre de point donné ici :
12 /3 pour 8X8 .
** quelque chose comme  n²+1

lire n²/2+1

Bonjour Dpi

Le problème pose bien sûr plein de questions à commencer par la question initiale qui a trouvé une solution robotique . J'ai proposé une moyenne du nombre de "L" en fonction du nombre de cases choisies . Je ne sais pas si le calcul est juste mais il répond à une question assez proche de la première .

Après on peut regarder comment éviter ou forcer les "L" . Pour moi il y a deux questions :

1°) Quel est le nombre maximal de cases que l'on peut choisir sans former de "L" ?

2°) Quel est le nombre minimal de cases sans "L" qu'il faut choisir pour que tout choix d'une nouvelle case génère un "L" ?

Tu as choisis cette deuxième question . Il me semble que sur ton dernier dessin on gagne une case en remplaçant le "=" central par un "X"

Imod

En attendant qu'un  excellent trouve la loi ...
J'ai modélisé un test qui me donne  +50% pour 12 dans 8x8
j'ai été surpris de trouver 2 L dans certains cas du genre:

Bonjour,
Je ne vois pas non plus comment calculer la probabilité d'avoir un L, mais calculer l'espérance du nombre de L est facile.
Sauf qu'il y a quelque chose de pas clair pour moi. Compte-t-on un L quand la quatrième case du carré 2x2 est occupée ? Je vais faire comme si on ne comptait pas de L dans ce cas.
Chaque L détermine un carré 2x2. Le nombre de L est donc le nombre de carrés 2x2 qui présentent un L.
Dans le damier il y a 49 carrés 2x2.  Pour chaque carré 2x2, la probabilité de présenter un L est . L'espérance du nombre de L est donc (additivité de l'espérance) .

Pas la même chose que Imod. J'en conclus qu'il compte quatre L quand il voit un carré 2x2 tout rempli. Auquel cas l'espérance du nombre de L est effectivement

Bonjour GBZM

Faut-il une case blanche pour qu'un "L" apparaisse ? Je ne mettais pas posé la question

Je n'ai pas le réflexe d'utilisé la linéarité de l'espérance qui est pourtant un outil extrêmement puissant  .

Imod

D'ailleurs je pense que les programmes précédents comptabilisent un  "L" chaque fois que trois cases d'un carré 2X2 sont occupées sans regarder la quatrième .

Imod

PS : Je ne "m'étais" pas posé la question

Non, je n'ai compté un L que lorsque exactement 3 cases du carrés 2x2 sont occupées (et verdurin a fait de même).

En revanche flight a compté quatre L quand les 4 cases sont occupées.

Mais cela ne joue pas beaucoup sur la probabilité qu'il y ait au moins un L car la probabilité qu'il y ait un carré 2x2 occupé est faible (environ 0,016 quand on choisit 10 cases).

Comment compter un tel tirage?

Soit on compte un seul L  et je trouve 42%
soit on en compte 6 et on monte à 70%

@dpi

sur cette grille je compte 4 L (en ne comptant un L que lorsque exactement 3 cases d'un carré 2x2 sont occupées) ou bien 8 L (en comptant quatre L lorsque les 4 cases d'un carrés 2x2 sont occupées).