boujour, voila j'aimerais avoir votre aide pour un exercice,
assez difficile je trouve si quelqu'un pouvait m'aider
Soit A et B deux points du plan et deux nombres a et b non nuls tels
que : a² - b² différents de 0
1) Démontrer qu'il existe un point I, barycentre de {(A,a) ; (B,b)}
et un point J, barycentre de {(A,a) ; (B,-b)}.
2) Exprimer les vecteurs AI et AJ à l'aide du vecteur AB.
3) Soit K le milieu du segment [IJ] .
Démontrer que K est barycentre de :
{(A, a²) ; (B, -b²)}
Bonjour Phanou
- Question 1 -
a et b sont deux nombres non nuls tels que : a² - b²
0
Donc :
(a - b)(a + b) 0
donc :
a - b 0
et
a + b 0
Comme a + b 0, alors
il existe un point I, barycentre de {(A,a) ; (B,b)}.
Comme a - b 0, alors
il existe un point J, barycentre de {(A,a) ; (B,-b)}.
- Question 2 -
Comme I est le barycentre de {(A,a) ; (B,b)}, alors :
aIA + bIB = 0
aIA + bIA + bAB = 0
(à l'aide de la relation de Chasles)
(a + b)IA + bAB = 0
-(a + b)AI = -bAB
AI = b/(a + b) AB
(car a + b 0)
De même pour le vecteur AJ :
Comme J est le barycentre de {(A,a) ; (B,-b)}, alors :
aJA - bJB = 0
aJA - bJA - bAB = 0
(à l'aide de la relation de Chasles)
(a - b)JA - bAB = 0
-(a - b)AJ = bAB
AJ = -b/(a - b) AB
(car a - b 0)
- Question 3 -
Comme K est le milieu du segment [IJ], alors
KI + KJ = 0
équivaut successivement à :
KA +AI + KA + AJ = 0
(à l'aide de la relation de Chasles)
2KA +AI + AJ = 0
2KA +b/(a + b) AB + - b/(a - b)AB = 0
(à l'aide de la question précédente)
2KA - 2b²/(a² - b²) AB = 0
2KA - 2b²/(a² - b²) AK - 2b²/(a² - b²) KB = 0
2a²/(a² - b²) KA - 2b²/(a² - b²) KB = 0
a² KA - b² KB = 0
K est donc barycentre de {(A, a²) ; (B, -b²)}.
A toi de tout refaire, bon courage ...
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