Bonjour Allemaths,

 Cliquez pour afficher

29!/9!  ?

Bonjour,

Le ministre de l'enseignement voyant que la classe
est occupée au 2/3 prend immédiatement une mesure
pour réduire d'autant le nombre de professeurs

bonjour dpi

Si je te comprends bien, le problème n'est plus d'actualité.
J'ai même entendu que l'on allait diminuer les dimensions des tables et des chaises pour faire entrer 30 élèves dans une classe de 20!
Mais vous n'êtes pas obligés de souscrire à ces propos.
A+

bonjour à tous,


Pierre-D , comment arrives -tu à ce rapport?
Je ne pense pas que ce soit la solution mais merci quand même!  

au revoir

bonjour,

  Les élèves  A, ...........T occupent ,par exemple, les 20 premières places . (A1,B2........T20)

1)le lendemain, ces 20 mêmes places peuvent encore occupéesmais sans aucune répétiton d´un élève à la même place.
2) mais un élève, A p.ex ,peut aller occuper un des  places libre la veille.Les 19 autres pourront rester aux mêmes places sans répétiton ou bien  1 ,B p:ex peut se placer là où était A et les 18 restants  ne doivent pas bien sûr occuper la même place.....
3) il fautp oursuivre pour 2 élèves,3.....10

celà me paraît inextricable:peut-être qu´une récurrence peut aider?   merci

Bonjour,

Ayant certainement pour rien planché sur les shadoks de jamo
je me suis défoulé.

Je pense que c'est comme le tiercé :combien de combinaisons
possibles avec 20 cases cochées pour 30 chevaux .

Déja 3 éleves pour une classe de 5 places donne 31 possibilités dès
le deuxième jour donc cela sent la factorielle genre 29 !-20!

Bonjour,

C'est une question difficile (peut-être pas autant que l'Enigmo 236 !)
Je n'ai pas trouvé de références dans des livres ou sur Internet (excepté la suite A60475 de l'encyclopédie OEIS).
J'ai trouvé trois formules (les 3 ont un sigma) mais je n'ai pas encore trouvé de démonstration simple.
Deux des formules font intervenir les nombres de dérangements (permutations sans point fixe des entiers de 1 à n).
Voici la troisième:

 Cliquez pour afficher

bonjour Jandri,

jái lu ta réponse rapidement, je pense que cést la bonne voie. Je vais m´y atteler ce soir.
Peux-tu me rappeler, comment on détermine le nombre de permutations d´un ensemble de cardinal n, n´ayant aucun point invariant, stp?

merci beaucoup, salut

point invariant par rapport à une permutation donnée bien sûr!!!

Bonjour,

Cet exercice est certainement plus difficile
qu'il n'y parait.

Pour essayer de bâtir un modèle essayez de voir
avec 3 élèves et 5 places seulement et vous
serez surpris du résultat.

Bonjour allemaths,

Le nombre de permutations sans point fixe d'un ensemble à n éléments est donné par la formule:

.

Bonsoir à tous,

merci dpi,j´ai effectivement fait la recherche comme tu l´indiques et la formule donnée par jandri fonctionne merveilleusement bien.

merci jandri, j´ai fait une tentative dans le cas géneral, je n´arrive pas à étabir la formule en suivant l´algorithme esquissé dans éléments de reflexion, tout celà "s´emboîte" et c´est la raison pour laquelle je pensais à une récurrence.

merci encore et bonne nuit!

Merci encore Allamaths pour cet excellent problème.

A jandri
On voit que la formule n'est pas évidente...

Ce que je disais pour 3 et 5 qui me paraissait étonnant:
c'est que chaque élément à placer n'a pas le même nombre de chance de se trouver à une place donnée ???

Voici mon tableau :

Bonjour,

>dpi
Ton tableau est juste. La différence entre le 7 est le 9 s'explique bien:
si l'élève 1 est à la place numérotée 1, l'élève 2 n'a que 3 places possibles: les places 2,3 et 5.
si l'élève 1 est à la place numérotée 4, l'élève 2 a 4 places possibles: les places 1,2,3 et 5.
les deux positions en plus sont alors: élève 1 en 4, élève 2 en 1, élève 3 en 2 ou 3.

>allemaths
La formule que j'ai donnée le 27/03 à 20h se démontre de la même façon que celle que j'ai donnée le 28/03 à 15h54 (qui donne le nombre de dérangements).

 Cliquez pour afficher

Une démonstration possible est d'utiliser la formule de Poincaré (ou formule du crible).
Pour le calcul de (nombre de bijections sans point fixe de ):
.

Pour le calcul de (nombre d'injections sans point fixe de dans ):
.

merci à tous les deux pour la recherche.

J´essaie d´établir la formule pour l´injection à l´aide de celle de la bijection mais sans succés.
Jandri, pourrais-tu détailler la démonstration stp?

merci,en tous cas, pour ton aide

Au revoir.

Bonjour allemaths,

Quelques précisions pour la démonstration:

 Cliquez pour afficher

Notons E l'ensemble des injections de dans et l'ensemble des éléments de E laissant fixe i.
L'ensemble des injections sans point fixe est le complémentaire de .
Son cardinal s'obtient avec la formule de Poincarré:

.

Ensuite il y a par exemple triplets avec et pour chaque triplet il y a injections laissant fixes i,j et k.

Bonjour Jandri,

un grand merci pour ces éclaircissements!

2 petites questions:

Comment fais-tu pour utliser les notations mathématiques dans les textes?

Comment as-tu pu calculer le nombre de possibilités? ma calculatrice renonce!

bonne journée.

Bonjour allemaths,

Pour écrire une formule mathématique j'utilise l'icône LtX et j'écris la formule en LateX.
Pour voir un exemple tu peux (si tu as Internet Explorer) faire glisser le pointeur de ta souris sur la formule affichée, cela fait apparaitre la formule en LateX.
Avec Firefox il faut cliquer dessus avec le bouton droit et sélectionner "Informations sur l'image".

Pour calculer le nombre de possibilités une calculatrice scientifique suffit mais elle fait un calcul approché (elle doit donner environ 3.73866659 10^25).
Pour obtenir la valeur entière exacte il faut une calculatrice formelle (par exemple TI89 ou Casio Graph 100) ou un ordinateur et un logiciel de calcul formel.

Si tu n'en a pas, tu peux aller sur le site WolframAlpha et demander:

 Cliquez pour afficher

20!Sum(Binomial(30-k,10)(-1)^k/k!,k,0,20)

merci jandri pour le rensignement