2023 et répunit

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2023 et répunit
Posté par 
lake  29-05-23 à 13:09
Bonjour,

Un fil récent m'a incité à poser l'exercice suivant :

Trouver un répunit en base  (son écriture décimale ne comporte que des chiffres ) multiple de .

Les logiciels de calcul, programmes en tout genre et calculettes sont à proscrire.

Papier, crayon uniquement. 
 Posté par 
GBZMre : 2023 et répunit  29-05-23 à 15:25
Bonjour,

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La factorisation de 2023 en produit de facteurs premiers est bien connue : .

Il suffit de trouver un  tel que 2023 divise , car alors 2023 divisera le repunit .

Reste à trouver  tel que  est congru à 1 modulo à la fois 7 et  ; il suffit de prendre  égal au ppcm des ordres des groupes des inversibles de  et , donc .

Une rapide exploration avec un esclave calculeur montre qu'on ne peut pas faire plus petit.

 Posté par 
dpire : 2023 et répunit  29-05-23 à 17:06
Bonjour,

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le premier multiplicateur de 2023 qui commence par 111 (265) est 55

mais comme le chiffre suivant est 2,je prends 549 qui me

donne  1110627 puis 5492 puis 54923 puis 549239

5492393 ;  54923930;  549239303 ;  5492393035

;............; 549 239 303 564 56308

J'en suis à un nombre de répunit 1 de 18.

je présume donc que le début  du multiplicateur de 2023 débutera par ces chiffres mais je vois mal  quelle sera sa longueur.

 Posté par 
GBZMre : 2023 et répunit  29-05-23 à 18:09
Bonjour dpi,

54923930356456308 est un bon début, mais tu n'es pas sorti de l'auberge !
 Posté par 
jandri re : 2023 et répunit  29-05-23 à 19:13
Bonjour,

on ne fait plus d'arithmétique au lycée qu'en terminale avec "maths expertes" et il y a au programme le petit théorème de Fermat qui donne facilement une solution au problème posé : 
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On commence par factoriser .

Par le théorème de Fermat avec  on obtient que  divise .

De même  divise .

De  on déduit par la formule du binôme que , donc  divise  .

Pour obtenir un entier  tel que  divise  il suffit de prendre le PPCM de  et , c'est-à dire .

Finalement pour ,  divise , donc aussi le répunit à  chiffres.
 Posté par 
lakere : 2023 et répunit  29-05-23 à 20:00
Bonjour à tous,

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J'avais en tête la solution de jandri à un niveau terminale y compris le développement de   avec la formule du binôme pour obtenir 
Par contre j'avais obtenu  en passant à côté de la solution "minimale".

 >> dpi
Comme le dit GBZM :  Citation :
 un bon début mais tu n'es pas sorti de l'auberge !

 Posté par 
dpire : 2023 et répunit  30-05-23 à 08:34
Bonjour,

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Mes souvenirs sont trop lointains car je n'ai pas pratiqué pendant

de longues années pendant lesquelles le niveau première C suffisait

et pourtant j'ai dirigé un Groupe coté en Bourse

Je voulais voir la  tête du monstre:

J'ai constaté que le pourcentage de répunit  1 augmentait .

Je suis arrivé à 88% pour un multiplicateur de 30 .En observant

la courbe ,je devrais approcher de 100 % dans au moins  700 chiffres....

Donc je regarde les ténors

 Posté par 
GBZMre : 2023 et répunit  30-05-23 à 14:18
Qu'est-ce que le "pourcentage de repunit 1" ??
 Posté par 
dpire : 2023 et répunit  30-05-23 à 15:36
>GBMZ

Je pensais bien au vu de l'énoncé 
Citation :
Papier, crayon uniquement.
  que le nombre se trouverait par calcul basé

sur les facteurs ...

Comme je ne savais plus faire ,je voulais au moins avoir une idée:

Sur Excel on est limité à 15 chiffres et sur la calculatrice à32.

J'ai donc bidouillé un multiplicateur personnel  pour atteindre 100 

chiffres significatifs (car un diviseur est absolument fastidieux).

Ainsi  on obtient le tableau suivant:

pour 100 chiffres du nombre 54923903.......4904  x 2023

on obtient  104   chiffres dont 100 fois le chiffres1  puis 0792 .

maintenant que je sais qu'il m'aurait fallu pousser jusq'à 816....
  Posté par 
dpire : 2023 et répunit  30-05-23 à 15:38
au lieu de quotient lire résultat de la multiplication par 2023