De bonne foi ,

salut

un rectangle R d'aire 1 a donc pour dimension x et 1/x avec x non nul ...

en notant O son centre et d la direction de sa médiatrice des côtés de longueur 1/x  alors pour x suffisamment grand et selon la bonne direction le rectangle R ne rencontrera aucun point de tout ensemble fini de points du plan pour une infinité (non dénombrable) de positions de O dans le plan.

@Dpi : tu as donné la bonne réponse mais la justification laisse un peu à désirer
@Carpediem : oui , plus simplement un ensemble fini de points est borné donc tout rectangle en dehors de sa boule ne contiendra aucun point de l'ensemble . Le cas infini est bien plus délicat .

Imod    

oui, effectivement je voulais commenter par mentionner ce cas "évident" de bornitude de tout ensemble fini de points

cependant il me semble que ma réponse précédente peut aussi convenir pour un ensemble infini dénombrable de points (qui peut alors ne pas être borné) :

pour tout point O du plan (distinct des points de l'ensemble E de points donnés) on peut projeter sur un cercle de centre O (et de rayon 1 pour simplifier mais il peut être quelconque) cet ensemble de points : chaque point M est projeté sur le cercle dans la direction (MO) : donc l'image de M est le point N tel que

on peut alors considérer la suite de points distincts (N_i) en tournant dans un sens (à partir d'un premier quelconque) : on considère alors l'arc on considère son symétrique par rapport à O : si ce symétrique ne contient aucun point de la suite alors on peut glisser un rectangle de longueur x et de largeur 1/x inférieur à la distance

l'ensemble des positions de O étant infinie non dénombrable on peut toujours trouver un point O tel que la situation précédente ait lieu

on peut même ne projeter que sur un demi-cercle : on quotiente par la relation N R N' <=> N et N' sont symétriques par rapport à O

Bonjour,
J'avoue

@Carpediem   est dénombrable et je ne pense pas qu'on puisse trouver un rectangle d'aire 1 qui ne le rencontre pas .
@Dpi As-tu compris la question ?

Imod

Merci , je ne vois pas du tout

Une façon naturelle d'aborder le problème est de considérer un ensemble E de points tel que tout rectangle d'aire 1 contient au moins un de ces points . Ensuite , il faut voir si un des rectangles en contient plus que 1 .

Imod

Imod : je suis d'accord avec toi mais je ne crois pas que ça contredise ce que je dis :

il peut ne pas y avoir de rectangle ... mais il peut y en avoir un (qui ne contienne aucun point de l'ensemble E

projetons l'ensemble des étoiles sur la sphère terrestre : recouvriront-elles toutes la sphère terrestre ?
ne pourrons-nous pas y "coincer" un pavé a x b x c avec c "infini" et a et b "epsilonnesques" ? ne rencontrant aucun point sur cette sphère ?

et je pense qu'ensuite on peut y placer un pavé contenant autant d'étoiles que l'on veut (en nombre fini) ...