Bonjour,
Réponse partielle :

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Avec , , abscisses des points A, B et C, on a constant.

PS : d'abscisses différentes bien entendu ...

@Sylvieg
oui. cela donne la réponse à la première question

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et l'abscisse de ce point

Bonjour,

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L'ordonnée de P est l'inverse du paramètre (avec le bon signe) de la parabole d'axe vertical passant par A, B et C.

et comme ça peut être construit à la règle et au compas, c'est gagné.
(même si c'est assez filandreux si on le fait vraiment avec une vraie règle et un vrai compas ... , d'où mon "et raccourcis")

Si vous voulez faire joujou avec GeoGebra :

bien vu ta construction du paramètre à partir d'une simple sécante et l'axe !
à retenir.

j'avais plus compliqué en tant que distance entre le foyer et la directrice.

Bonjour Sylvieg

Pourrais-tu donner une preuve de ton résultat? Je n'y arrive pas.

Bonjour fabo34,
Je n'ai pas conservé mes calculs.
Je me souviens d'avoir utilisé les polynômes d'interpolation de Lagrange.
Mais c'est une méthode "bulldozer". Il y a sans doute plus simple.

Bonjour,

Si les courbes en question sont des cubiques, alors f(x) est un polynôme de la forme k(x-a)(x-b)(x-c), d'où en dérivant 2 fois...
Mais sans doute est-ce une simplification abusive.

Je vais regarder ces polynômes d'interpolation de Lagrange. Je ne connaissais pas. Vu sur wikipedia, ça a effectivement l'air d'être l'outil idéal pour ce genre de problèmes. Merci!

Il me revient que j'avais ajouté un 4ème point : M(0 ; p) où p est un paramètre.
On a ainsi 4 points pour un polynôme de degré 3 ; ce qui donne l'unicité de son écriture.
Après il faut le dériver deux fois, et c'est un peu galère

@larrech,
J'avais noté a, b et c les abscisses des points A, B et C.

salut,
je n'ai pas de reponse à apporter (hormis les coordonnees du point fixe obtenues avec un logiciel), j'interviens pour ne pas perdre ce fil interessant.

Finalement, les calculs peuvent être moins "bulldozer" que ce que j'avais fait.
Je détaille :
On cherche un réel r tel que P"(r) soit constant, c'est à dire indépendant de p .

P(x) peut s'écrire comme la somme de 4 termes dont un qui dépend de p :
P(x) = y_AP₁(x) + y_BP₂(x) + y_CP₃(x) + pP₄(x)

P₄(x) est le quotient de (x-a)(x-b)(x-c) par -abc .
P₁(x) est le quotient de x(x-b)(x-c) par a(a-b)(a-c) .

Pour dériver deux fois P₄(x) , il suffit de connaitre ses coefficients de degré 3 et 2.
Les autres dérivées secondes avec P₁, P₂ et P₃ ne font pas intervenir le paramètre p .
On choisit r qui annule P₄"(x) .

C'est splendide! Bravo Sylvieg.

Si j'apporte ma modeste contribution avec une jolie formule que j'ai découverte récemment pour la dérivation d'un produit. Dommage qu'on ne l'enseigne pas au lycée. On connaît tous (uv)'=uv' + u'v, mais on peut aussi continuer avec (uvw)'=u'vw + uv'w + ucw' !  Et (uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'. Etc, etc ...

Ici on veut annuler P''₄(x), on peut ignorer la constante multiplicative, et ne dériver que (x-a)(x-b)(x-c)

                                          (x-a)(x-b)(x-c)
dérivée première : (x-b)(x-c) + (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c)
dérivée seconde :   (x-b) + (x-c) + (x-a) + (x-b)  + (x-b) + (x-c)
                                           = 6x -2 (a+b+c)

d'où le résultat x= (a+b+c)/3

C'est vraiment très puissant, ces polynômes de Lagrange. Bravo et merci pour la découverte!

Bonjour,
Ce que j'écris rejoint sans doute la solution de Sylvieg :

On peut écrire tous les polynômes de degré 3 dont les graphes passent par (deux à deux distincts) sous la forme :



et

   où ne dépend que de .

J'écris trop vite. Petit rectificatif.

                                          (x-a)(x-b)(x-c)
dérivée première : (x-b)(x-c) + (x-a)(x-c) + (x-a)(x-b)
dérivée seconde :   (x-b) + (x-c) + (x-a) + (x-c)  + (x-a) + (x-b)
                                           = 6x -2 (a+b+c)

Oui, c'est ça
sans connaitre vraiment Lagrange, on peut comprendre et fabriquer "à la main" par un raisonnement "qui coule ce source"



et sans chercher à développer vraiment la deuxième partie, il est clair que c'est un polynome du second degré en x
qui représente d'ailleurs l'équation de la parabole passant par A, B, C et que l'ont peut écrire sous la forme


où (u; v) représente les coordonnées du sommet et p le '"paramètre"

que l'on peut définir comme : dans un repère idoine l'équation est 2py = x²

bref la dérivé seconde de ça est directement 1/p

le reste, le k(x-a)(x-b)(x-c) que l'on peut développer traditionnellement en


et sa dérivée seconde k(6x - 2(a+b+c))

et donc au final
p''(x) = k(6x - 2(a+b+c)) +1/p

qui ne dépend pas de k ssi x = (a+b+c)/4 et vaut alors 1/p (que l'on peut tout à fait écrire 2a en termes d'équation scolaire du second degré ax² + bx+ c !)
d'où la conclusion
parfaitement du niveau Lycée (Première+ ou Terminale).

ensuite pour la construction de 1/p (avec le signe adéquat de p) il faut connaitre des choses totalement ignorées de nos lycéens actuels sur les propriétés géométriques des paraboles ...
que l'on voyait pourtant jadis en Terminale C .. ( en 1966 en tout cas)

la gestion de l'infini est parfois délicate
autant traiter le cas à part :
dérivée seconde nulle d'une expression du premier degré, point barre.
sans chercher à définir ça comme parabole avec paramètre infini

un "petit" (!) complément sur la construction géométrique.

c'est à dire comment construire divers éléments d'une parabole définie par 3 points et la direction de l'axe

tout commence par construire cet axe lui-même.
on utilise la propriété que c'est un axe de symétrie et donc la médiatrice d'une corde perpendiculaire à l'axe,
donc on commence par construire un 4ème point, sur une même horizontale (si la direction donnée de l'axe est verticale) que l'un des 3 points donnés
la construction proposée est essentiellement une traduction de la construction générale d'un point courant d'une conique définie par 5 points (hexagramme de Pascal, et réciproquement)
ici les 5 points sont les trois points donnés + le point double à l'infini dans la direction de l'axe (parabole = tangente à la droite de l'infini)
faire passer des droites par un point à l'infini c'est en réalité tracer des parallèles.

d'où une construction :



en appelant y le point à l'infini dans la direction de l'axe
les droites (AB) et (Cy) (parallèle à la direction de l'axe par C) se coupent en J
la perpendiculaire à l'axe passant par C (Cx) et (Ay) se coupent en I,
D = intersection de (Cx) et de la parallèle par B à (IJ)

et l 'axe est la médiatrice de CD

on pourrait poursuivre par la construction du foyer et de la directrice, donc le paramètre, distance entre foyer et directrice, mais ici seul nous intéresse le paramètre que l'on va construire directement.
on utilise deux propriétés :
d'une part le théorème : la sous normale est égale au paramètre.



par définition la parabole est le lieu des points M équidistants du foyer et de la directrice (MF = MH)
la tangente en M est la bissectrice de FMH, alias médiatrice de FH,
d'où le losange FMHT
la sous normale est (définition) le segment NP, (MN) étant la normale, perpendiculaire en M à la tangente
les triangles MNP et HFK étant isométriques, NP = FK = paramètre

d'autre part les milieux des cordes parallèles à une tangente donnée sont alignés sur une parallèle à l'axe.



il suffit donc de tracer la médiatrice de AB, coupant l'axe en J et la projection K du milieu de AB sur l'axe pour avoir le paramètre = JK = NP (sans avoir besoin d'en tracer plus)

illustration sur Geogebra (avec en prime construction du sommet, du foyer et de la directrice)

dans l'exo on a besoin de l'inverse du paramètre
une construction classique permet de l'obtenir
(par (1/p)/1 = 1/p et Thalès par exemple)

Bonjour,
La forme du polynôme P(x) proposée par lake est beaucoup plus agréable que la mienne

Il me semble que le cas des points alignés ne nécessite d'être traité à part que pour la partie construction.

ça dépend si on s'arrête à "il existe un point fixe" où si on cherche à en préciser la position / coordonnées.

En notant F ce point fixe, on a x_F = (x_A+x_B+x_C)/3 .

Écrire ensuite P"(x_F) ne me semble pas faire intervenir le fait que les points sont alignés ou pas.

Bonjour,
Je confirme si besoin était :

Citation :
  

et

L'ordonnee peut aussi s'ecrire:
Soit A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2)

on peut faire tous les calculs numériques ou littéraux détaillés que l'on veut ce n'est pas vraiment le sens de l'exo
il suffit de dire (de justifier) que c'est constant, quelle qu'en soit la valeur, pour répondre à la question "montrer qu'elles passent par un point fixe".
et ensuite ce n'est certainement pas des calculs sur les coordonnées qui vont donner une construction géométrique à la règle et au compas

si on utilise un logiciel à la place on calcule Polynome (A,B,C,M) et dérivée(dérivée(f)) et basta.
et le point de cette dérivée d'abscisse l'abscisse de (A+B+C)/3.
on obtient directement sans aucun effort une image "qui fait illusion" (qui fait croire qu'on a construit le point)

@mathafou,
Nos dernières réponses ne te semblent pas être dans le "sens de l'exo". OK
Cependant elles sont des tentatives de poursuite d'un dialogue non dénué d'intérêt :

je crois qu'on s'est mal compris
je ne dis pas que c'est dénué d'intérêt !!
il est toujours constructif d'exposer différentes façons de voir les choses.