Bonjour,

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J'ose S=2

C'est la bonne réponse , comment le montrer simplement ?
Imod

Bonjour,

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Si la figure est carrée :

A partir du dessin, on écrit 3 équations liant a, le coté du carré rouge, b et c en tenant compte des indications s, s+1, s+2

On arrive au système :

a²-2ab-ac+bc+2=0
a²-ab-2ac+bc+4=0
a²-2ab-2ac+2bc+6=0

Avec a,b et c > 0

Il y a une seule solution qui est :
a = 2+sqrt(2)
b = sqrt(2)
c = 2

Donc s = sqrt(2)
et S = (2+sqrt(2)²  (aire du carré rouge)

Zut, il manque une parenthèse à la fin de mon message précédent.
La correction est facile.  

OK pour le carré

Sinon , une idée avec quasiment aucun calcul :



On a directement a²=4 et b²=2 .

Imod

Bonjour,
Je ne suis pas certaine d'avoir tout compris car la dernière question sur le " produit de la longueur et de la largeur de tous les rectangles " me semble évidente :

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4R+6 où R est la réponse trouvée pour S.

Oui , j'ai pris ma question à l'envers . Le produit longueur X largeur du rectangle est fixe F . Si un rectangle est d'aire F , peut-on toujours réaliser la figure du problème et de façon unique ?
Imod

Le problème original
Imod

Merci !
La vidéo est très claire même sans le son ( l'anglais n'est pas mon fort ).
Mais quid d'une solution simple ?

La solution très simple était plutôt réservée au carré mais même dans le cas du rectangle la solution proposée est vraiment trop lourde .

En exprimant les aires des triangles et du rectangle on a immédiatement :

bc=2S
a(c+d)=2S+4
d(a+b)=2S+2
(a+b)(c+d)=4S+6

Par simples additions et soustractions des équations on obtient ad=bc=2S , ac=4  et bd=2 . Alors abcd = 8 = 4S² et on a S . A partir de la , toutes les données s'expriment à l'aide d'un seul paramètre et on peut répondre à la question de l'existence et de l'unicité des solutions .
Imod

Nettement plus rapide que la vidéo

J'avais fait un peu comme ça   18/9  9h9

Merci Imod pour ta séduisante solution du rectangle
Pour le carré, j'avoue ne pas comprendre ta figure du 18/09.
Pourquoi les mêmes a et b en bas et à droite sur ses côtés ?

En fait seul le triangle bleu est donné au départ , ce qui fixe a et b et le triangle d'aire S . Ensuite on dépose deux copies de ce triangle dans les coins et on récupère a et b donc S . Le procédé ressemble beaucoup à la démonstration "chinoise" du théorème de Pythagore .
Imod

Après réflexion la construction dans le carré donne un exemple de solution mais ne justifie en rien l'unicité de S . D'un autre côté , l'unicité se justifie aisément pour un rectangle car la donnée de sa longueur ( ou sa largeur ) fixe tous les côtés des triangles . Comme les longueurs s'expriment simplement avec un seul paramètre , des inverses et des racines de 2 , il ne devrait pas être trop compliqué de construire la figure à l'ancienne en fixant le paramètre .

Après la figure ne sera pas forcément facile à lire

De toute façon il y a une figure unique pour n'importe quel choix de la longueur ou de la largeur du rectangle .

Imod

L'unicité de S ou de S+3 , c'est un peu la même chose mais je vois ce que tu veux dire .
Imod

J'ai écrit " le S+3 " et pas " de S+3 "

J'ai cherché un exemple sans S+3 dans un carré.

AB = 25
M est le milieu du côté AB.
CN = 4/5

D'accord , j'ai compris

En fait ce qui m'a induit en erreur c'est que le S + 3 est une conséquence des triangles égaux dans les angles .



Sur le dessin on a forcément c = a + b .

Imod

Bonjour,
je reviens sur ce problème intéressant pour regrouper ce qui a déjà été écrit. Je reprends les notations de imod dans le post précédent avec la figure suivante dans laquelle j'ai noté x, y, z et t les longueurs pour garder les a, b et c de imod :

1) Ce qui est remarquable c'est que l'aire S s'exprime en fonction de a, b et c (indépendamment du fait que le rectangle soit un carré ou non).
En effet avec la méthode utilisée par imod le 19-09-25 à 10:54 on obtient en résolvant les 4 équations obtenues avec les aires des 3 triangles et celle du rectangle :



On en déduit

d'où
On peut montrer que cette équation d'inconnue a une unique solution sauf si (dans le cas ) où elle n'a pas de solution.
Le cas particulier donne une équation plus simple et .

2) On vérifie sur les équations que si on pose cela ne change rien pour le calcul de S. On peut donc choisir k pour obtenir un carré.
Dans le cas du carré avec la condition particulière on obtient la figure donnée par imod dans le post précédent avec et le côté du carré étant égal à .

Bonjour,
Bravo jandri pour la généralisation avec a, b et c au lieu de 1, 2 et 3

Même si on a sorti le marteau pilon pour écraser une mouche , il reste la jolie formule  :

Imod

Ce ne serait pas plutôt ?

Oui , A et B jouent le même rôle contrairement à C

Ce qui est terrible c'est que je relis plusieurs fois mes messages avant de les poster

Imod

Bienvenue au club des vétérans +

La formule et la formule sont en fait une seule et même formule.

Pour passer de la première à la seconde il suffit de poser , , et .

Dans la première formule on exprime en fonction de alors que dans la seconde formule on cherche à exprimer en fonction de (l'équation du second degré est alors moins simple, sauf si ).

C'est clair , il y a tout de même quelque chose de plus homogène dans la formule que j'ai rappelée et qui la rend plus agréable à lire et mémoriser au besoin . Après le passage du rectangle au carré en dilatant dans une direction et en réduisant du même coefficient dans l'autre pour conserver les aires est amusante et a très certainement d'autres applications .

Imod

Bonjour,
Le cas a = b semble avoir été éliminé dans le message de jandri du 25.
On a alors deux milieux sur les côtés du rectangle, avec S = a = b et c = 2a .
Sauf erreur de ma part.

Bonjour Sylvieg,

je n'ai pas éliminé le cas a=b, j'ai seulement écrit : l'équation d'inconnue S n'a pas de solution quand c < b-a (dans le cas b>a). C'est parce que j'ai supposé implicitement c>0 et donc c < b-a n'est pas possible quand a=b.

Comme a et b jouent des rôles symétriques je me suis placé dans le cas b > a.
Si a>b l'équation d'inconnue S n'a pas de solution quand c < a-b.

@imod

je suis d'accord avec toi, la formule donnant est plus jolie et plus agréable à lire que l'équation d'inconnue S.

Mais comme la question que tu as posée au départ est de calculer S on obtient directement l'équation d'inconnue S en calculant xyzt à partir des valeurs de xz, xt, yz et yt sans avoir à démontrer la formule qui donne .

Si j'avais calculé xz, xt, yz,yt en fonction de A,B,C,D j'aurais obtenu directement la formule qui donne en calculant xyzt.