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A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x))

Posté par
nondezeus 23-11-14 à 18:43

Voila une quetion ouverte proposé par mon prof de maths:
Nous devons trouver l'ensembles des valeurs de A=(x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) lorsque x,y,z prennent des valeurs strictement positives arbitraires.

N'ayant pas d'inspiration je sollicite la votre !

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 23-11-14 à 18:45

salut,
une seule et meme personne ? probleme ouvert

Posté par
Inguedebruijnre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 23-11-14 à 18:46

Bonjour,
Ben deja, ca peut pas etre négatif ou plus grand que 3.

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 23-11-14 à 19:18

un indice A-3/2

Posté par
Glapion Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 24-11-14 à 16:58

tiens, une bonne idée de Ben314 sur maths-forum
on montre que A-1 >0 et que 2-A >0, on en déduit que 1 < A < 2

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 24-11-14 à 18:10

exact j'etais mal parti j'avais suppose x<y<z !
pour montrer qu'on peut s'approcher aussi pres que l'on veut de 2 faire x=1,y=1/z,z=z

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 25-11-14 à 10:36

Bonjour à tous,
Alb12, une fois factorisé, A-3/2 marche très bien pour trouver l'encadrement.
Moi aussi j'avais cherché avec des x
J'ai cherché dans la même direction que "x=1,y=1/z,z=z" pour approcher de 1 : y = tx et z = ty = t2x .
Mais il y a peut-être plus simple.

Posté par
alainpaulre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 25-11-14 à 12:55

Bonjour,


Peut-être une piste:

Je distingue 2 cas:
1° x=y=z et A=3/2
2° sans perte de généralité ,je pose x \geq y

Alors:\frac{z}{z+y}\geq \frac{z}{z+x}
ce qui permet d'écrire les 2 et 3 ème termes à droite:
\frac{y}{z+y}+\frac{z}{z+y}=1 \geq \frac{y}{z+y}+\frac{z}{z+x}

En tenant compte que le premier terme \frac{x}{x+y}\leq 1
nous obtenons:A 2 ,



Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 25-11-14 à 14:33

Bon mardi Alainpaul,
A quoi sert ton premier cas ?
Par ailleurs, on peut utiliser ta méthode pour démontrer de manière assez simple l'encadrement :
Sans perdre de généralité, on peut supposer 0yz
On a alors y/(y+z) y/(y+x) . D'où A x/(x+y) + y/(y+x) +z/(z+x) 1 + z/(z+x) 2
C'est en fait ta démonstration.
Mais on a aussi z/(z+x) z/(z+y) . D'où A x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+y) x/(x+y) + 1 1

Posté par
alainpaulre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 25-11-14 à 18:53

Bonsoir,

Tu as raison le cas 1° est inclus dans 2°.

L'équation est homogène degré 0 ,quand je suis sûr que x=y=z
je peux tout aussi bien fixer x=y=z=1.


Des relations fonctionnelles :
A(x,y,z)+A(y,x,z)=3,2A(1,1,1)=3,A(x,y,z)=A(y,z,x)



Alain

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 25-11-14 à 19:15

il y a un petit pb

l'expression    A=\dfrac{x}{(x+y)}+\dfrac{y}{(y+z)}+\dfrac{z}{(z+x)}   est strictement comprise entre 1 et 2 si x,y,z>0.

en effet   A-2=\dfrac{(-x^{2}\cdot z-x\cdot y^{2}-x\cdot y\cdot z-y\cdot z^{2})}{(y+z)\cdot (x+z)\cdot (x+y)}   est strictement negatif

et   A-1=\dfrac{(x^{2}\cdot y+x\cdot y\cdot z+x\cdot z^{2}+y^{2}\cdot z)}{(y+z)\cdot (x+z)\cdot (x+y)}   est strictement positif

Or sur le domaine 0<x<=y<=z, A possede un maximum 3/2
en effet:

A-\dfrac{3}{2}=\dfrac{(y-z)\cdot (x-z)\cdot (x-y)}{2\cdot (y+z)\cdot (x+z)\cdot (x+y)}  qui est negatif

A mon avis supposer 0<x<=y<=z restreint la generalite.
C'est l'erreur que j'avais faite.

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 26-11-14 à 06:31

pour x=1, y=t, z=t^2   A=\dfrac{(t^{3}+3\cdot t^{2}+2)}{(t^{3}+t^{2}+t+1)}   donc 1 est la borne inferieure

pour x=t, y=1, z=t^2   A=\dfrac{(2\cdot t^{3}+3\cdot t+1)}{(t^{3}+t^{2}+t+1)}   donc 2 est la borne superieure

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 26-11-14 à 10:00

Bonjour,
Il est clair que x et y ne jouent pas le même rôle. D'où xy ne peut être utilisé

Pour encadrer A , le calcul de A-2 et A-1 de Ben314 me semble le plus simple.

Pour approcher 1 et 2 l'expression A=\dfrac{(t^{3}+3\cdot t^{2}+2)}{(t^{3}+t^{2}+t+1)} suffit en approchant t de 0 puis en "l'approchant" de + .

En fait la fonction f définie par f(t) = \dfrac{(t^{3}+3\cdot t^{2}+2)}{(t^{3}+t^{2}+t+1)} est continue et décroissante sur [0;+[ (dérivée de signe négatif assez facile). On peut en déduire facilement que l'image de ]0;+[ est ]1;2[ .

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 26-11-14 à 10:38

nondezeus (qui tarde à se manifester), à plusieurs, on finit par y arriver
sauf ultime distraction cela va sans dire

Posté par
alainpaulre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 26-11-14 à 10:54

Bonjour,

A Alb12
** sur le domaine 0<x<=y<=z, A possède un MAXIMUM 3/2 **

Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire,ni le paramétrage utilisé,



Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 26-11-14 à 11:38

Bonjour Alain,
Je pense que Alb12 veut dire, sans utiliser de paramétrage, qu'avec 0yz on a le produit (y-z)(x-z)(x-y) toujours négatif ; donc A 3/2 .

Posté par
nondezeusre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 17:53

Merci à tous, vous m'avez bien éclairé sur le sujet et je pense avoir à peu près compris le truc!
Seul petit point obscure je ne comprend pas comment on arrive à aux fonctions !

Merci encore !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 18:01

Bonjour revenant !
Parles-tu de f(t) = \dfrac{(t^{3}+3\cdot t^{2}+2)}{(t^{3}+t^{2}+t+1)} ?

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 18:25

@nondezeus
n'oublie pas de nous donner la correction (en 2 lignes) de ton prof

Posté par
nondezeusre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 19:29

Oui je parle se cette fonction!
Pas de souci oui je donnerais la correction

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 20:51

Il y a peut-être une erreur quelque part. En remplaçant x par 1 , y par t et z par t2 dans x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+y) , je n'obtiens pas \dfrac{(t^{3}+3\cdot t^{2}+2)}{(t^{3}+t^{2}+t+1)} mais (t+2)/(t+1) .

Ce qui peut expliquer ta question...

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 21:24

pour t=2, A=22/15

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 23:06

D'accord, pas d'erreur.
Et, c'est en remplaçant x par 1 , y par t et z par t2 dans x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+y) , qu'on obtient \dfrac{t^{3}+3 t^{2}+2}{t^{3}+t^{2}+t+1} .

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-11-14 à 23:17

tous mes calculs sont realises par Xcas, à moins d'un bug ou d'une faute de frappe ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 01-12-14 à 09:20

Désolée d'avoir cru à une erreur. j'ai fait hier une erreur stupide en recopiant x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+y) au lieu de x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) et en calculant avec ...

@nondezeus
Moi aussi je compte sur la correction (en 2 lignes) de ton prof
Accompagnée, rêvons un peu, d'une méthode pour "deviner" les bornes 1 et 3

Posté par
alb12re : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 01-12-14 à 21:32

quand je dis en 2 lignes je parle d'un resume de la methode. Disons 3

Posté par
nondezeusVoici la solution ! 30-12-14 à 17:47

Pour prouver que les bornes sont bien ]1;2[ il faut faire un changement de variables tel que Si on choisit y = x et z = 1 alors A = x/x+x^2 + x/x+1 + 1/1+x et on obtient donc une fonction que l'on étudie sur ]0;+l'infini[
Ainsi on trouve les limite en + et - l'infini se qui nous trouve que A appartient bien à ]1;2[ .
Voila voila !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-12-14 à 18:37

Joli cadeau de fin d'année
Ce ne serait pas plutôt y = x2 et A = x/(x+x2) + x2/(x2+1) + 1/(1+x) ?
Ce qui donne A = x2/(x2+1) + 2/(1+x) de limite 1 et 2 en + et 0 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : A= (x/(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x)) 30-12-14 à 18:40

Ce n'est pas très différent de la solution d' Alb12

Citation :
x=1, y=t, z=t^2


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