a^2023+1/a^2023

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a^2023+1/a^2023
Posté par 
alb12  12-12-22 à 16:53
salut, 

Sot a la solution superieure à 1 de l'equation x^2+1/x^2=15. 

Peut-on ecrire sans aide logicielle la valeur exacte de a^2023+1/a^2023 ? 

(je n'ai pas la reponse). 
 Posté par 
jandri re : a^2023+1/a^2023  12-12-22 à 17:19
Bonjour,

on peut l'exprimer simplement : 
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Mais si on développe avec un logiciel on obtient  où  est un entier à  chiffres !

Je ne me vois pas faire le calcul à la main !

Si on calcule  avec un logiciel on obtient un entier à  chiffres.
 Posté par 
alb12re : a^2023+1/a^2023  12-12-22 à 17:32
Jusque là je suis d'accord.

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1085283161357389084963508210844249593627894763385719513161032726739213920054885055903690329466899383024750109047633798543947034693795183271587592630332629194180074227146110517126720912

07176300130855176414894701972439412713686461558711677087111653766509531087552925649434921540013026419339815244579584787863611425100373501449684162064824536385699729240637293908925715468948

09114732318544360971862714048245967739215689507447770888572245768332286971202675318051064152964911341661675242959546052103228465998590761120300454743809249646822353095722486722385690844452

40894333687833109716394752506192112567215440742232774052168836862845326831057090373718592994240085130398174682122179438109857713968232033197675653781660779134884189159120304868667554494122

97050672795710702622700587607514858243520513177555937932823485463341040259943271143554139400847406385095543474525124038090665249893522655778354319668130336595445677459014479984263315878277

41979085545058544898720977335222033888825531135207518196894101816977501154118831901895250381801327424959467736118515603664423300716811736341359650016138836789243094166748517303643208117151

5017363906033812940903626651299178708817684274207214776180282161*sqrt(17)

 Posté par 
carpediemre : a^2023+1/a^2023  12-12-22 à 18:07
salut

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or x > 1 donc 

enfin en posant   alors  

on reconnait une suite récurrente d'ordre 2 que l'on sait résoudre pour obtenir le résultat de jandri

PS :  Cliquez pour afficher
on peut remarquer que les nombres  sont inverses ...
 Posté par 
Ulmierere : a^2023+1/a^2023  12-12-22 à 18:15
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Et la valeur de , on la trouve en résolvant l'équation bicarrée , où  dans ce cas précis 
 Posté par 
Ulmierere : a^2023+1/a^2023  12-12-22 à 18:19
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Y'a pas besoin de la récurrence d'ordre 2 carpediem, on somme simplement les deux équation pour trouver . On peut aussi faire la différence, et constater comme tu l'as fait que (sqrt(17)-sqrt(13))/2 est l'inverse de x
 Posté par 
carpediemre : a^2023+1/a^2023  12-12-22 à 18:37
Ulmiere : le but est de répondre sans déterminer x ... 
 Posté par 
dpire : a^2023+1/a^2023  13-12-22 à 08:29
Bonjour

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le fait que dans a  15 soit encadré de 13 et de 17  est une piste pour la puissance 2023
  Posté par 
alb12re : a^2023+1/a^2023  15-12-22 à 11:28
Merci à tous pour vos contributions