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Posté par 
flight  21-08-23 à 14:04
Bonjour 

je vous propose l'exercice suivant : 

10 compagnons notés c1,c2,....c10 se baladent en fôret et la nuit tombée il fait froid , chacun d'eux sauf le dernier C10 à amené un nombre de bûchettes à bruler égale au numero de son rang ( par exemple  C6  a amené 6 bûchettes ) , si x est le prix en euro d'une buchette , comment vont s'equilibrer les remboussements entre ceux qui n'ont pas assez payé et celui qui n'a rien emmené mais qui possède de quoi régler sa part, je parle de c10 ? 
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flightre : à partager ..  21-08-23 à 14:05
si le coeur vous en dit vous pourrez trouver une généralité avec n compagnons 
 Posté par 
sanantonio312re : à partager ..  21-08-23 à 14:32
Bonjour flight

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Il y a 9*5=45 buchettes soit 45x € à répartir

Chacun doit payer 4,5x

C10 paie 4,5x

C1 paie 3,5x

C2 paie 2,5x

C3 paie 1,5x

C4 paie 0,5x

C5 reçoit les 0,5x de C4

C6 reçoit les 1,5x de C3

C7 reçoit les 2,5x de C2

C8 reçoit les 3,5x de C1

C9 reçoit les 4,5x de C10

Je regarde la généralisation selon la parité de n et celle de n(n+1)/2

 Posté par 
LittleFoxre : à partager ..  21-08-23 à 14:54

Bonjour 

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Renommons c10 en c0 et chacun a amené le nombre de buchette égale à son numéro.

Le nombre total de bûchettes est 0+1+...+(n-1) = (n-1)n/2.

Ce qui fait (n-1)/2 bûchettes par personne.

Donc ci doit payer (n-1)/2-i bûchettes. 

Une façon de rembourser les dettes est que les compagnons se mettent par paires (0, n-1), (1, n-2), ... et que le premier rembourse ((n-1)/2-i)x au deuxième.

Si n est impair, cela ne pose pas problème puisque le compagnon restant a juste le bon nombre de bûches et ne doit donc rien.

Pour n=10, cela donne:

c0 rembourse 4.5x à c9

c1 rembourse 3.5x à c8

c2 rembourse 2.5x à c7

c3 rembourse 1.5x à c6

c4 rembourse 0.5x à c5
 Posté par 
dpire : à partager ..  21-08-23 à 15:46
Bonjour,

Un peu trivial....

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La somme des buchettes = la valeur totale. n (n-1)/2

Donc pour 10-->10 x9/2=45

la moyenne m= 45/10 =4.5

Soit k un promeneur il doit donc m-k  à celui  numéroté n-k-1

Ainsi  C2 doit donner 2.5 à     C7   (10-2-1)

On voit que  C10  perturbe le raisonnement

En effet celui qui  ne porte pas de bûche est mal numéroté.

Pour rester logique il doit être 0.   

n étant le nombre de promeneurs le dernier est n-1

et ainsi il doit verser m à n-1
 Posté par 
flightre : à partager ..  21-08-23 à 17:40
Bonjour , je prefere le raisonnement de sanantonio  ,je ne vois pas pourquoi il faudrai la numerotation de départ ! 
 Posté par 
flightre : à partager ..  21-08-23 à 17:41
"je ne vois pas pourquoi il faudrait changer  la numerotation de départ!"
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dpire : à partager ..  21-08-23 à 18:17
Comme le n°affecté à chaque compagnon correspond à son nombre de bûchettes , C10 perturbe.

Si tu y tiens vraiment ,pour n on dira que Cn=0   (cf énoncé C10)

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On reprend donc:

n=nombre de compagnons,

n-1 dernier apporteur de n-1 bûchettes,

n(n-1)/2 =nombre total de bûchettes,

(n-1)/2 = m= apport moyen

Ck porte  k buchettes 

si k<m il doit payer m-k à   Cn-1-k

sik>m il doit recevoir k-m de Cn-1-k
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carpediemre : à partager ..  23-08-23 à 12:53
salut

flight @ 21-08-2023 à 17:41

je ne vois pas pourquoi il faudrait changer  la numérotation de départ !
 ben parce que ça simplifie énormément la résolution et la rédaction de cette résolution !! 

généralisation :Citation :
n + 1 compagnons notés c0, c1, …, cn se baladent en forêt et la nuit tombée il fait froid.

Chacun a donc amené un nombre de bûchettes à bruler égal au numéro de son rang, les buchettes ayant le même prix.

Comment doivent s'équilibrer les remboursements entre ceux qui n'ont pas assez payé et ceux qui ont plus payé ?

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c0 et cn ont amené n buchettes

c1 et cn - 1 ont amené n buchettes

c2 et cn - 2 ont amené n buchettes

...

cn - 1 et c1 ont amené n buchettes

cn et c0 ont amené n buchettes

(évidement on s'arrête à E(n/2) si on veut ...)

donc pour k  E(n/2) ck paye n/2 - k à cn - k

et on n'a même pas besoin de distinguer le cas pair du cas impair