Bonjour,
vite fait en attendant d'étudier en détail
là aussi on peut resserrer les boulons en modifiant l'écartement des anneaux...
sans que la figure ne soit entachée d'erreurs bien entendu
ll s'agit toujours de variantes exactes de la même figure et pas d'approximations

Il me semble qu'il y a tout de même sous la figure un canevas qui la rend unique mais on peut sans doute l'interpréter autrement

Imod

je ne suis pas tout à fait d'accord avec le "un canevas"

il est parfaitement clair et sans équivoque que le début du motif de base est construit à partir du carré ABCD et des 8 cercles centrés sur ces sommets passant par des sommets. (en pointillés)

mais ensuite rien dans la figure d'origine ne permet de deviner comment ces motifs se raccordent entre eux exactement
il faut faire des hypothèses totalement gratuites :
par des segments de droite, par des arcs de cercle, ou directement
ou avec des points particuliers qui sont d'ailleurs parfaitement irrationnels (au sens ) par rapport au canevas défini par ABCD

par exemple ici j'ai choisi un raccordement par des segments de droites
et dans le cas particulier de MNPQ où y a une coïncidence fortuite entre deux points de contacts différents en X.


ou on peut choisir une coïncidence de T et T'
ou etc etc
mais à chaque fois les limites d'arcs de cercles sont définies par des intersections différentes.
et ça ne se voit pas "à l'oeil" (parfois des petits bouts d'arcs ou de segments microscopiques)

avec quelques calculs supplémentaires.

impossible de raccorder des arcs de cercle sécants !

: uniquement des arcs de cercles

(expérimentale) :
deux constructions différentes
avec une valeur frontière aux environs de 3.21 (expérimentale)
non montrées

et des broutilles : construction N° 3 dont le cas limite pour 3.2663 est donné dans mon message précédent

MN/AB > 4.5 et des broutilles : construction(s) encore différente(s)
mais au dela de 3.5 les "coins" sont de toute façon trop écartés par rapport à la figure d'origine.

la seule valeur "rationnelle" simple de MN/AB qui n'écarte pas trop les coins est donc MN/AB = 3.5 :


(les segments tangents sont tous présents)
mais c'est déja un peu trop écarté par rapport à la figure initiale

Je n'ai pas tout lu mais l'hypothèse ( sans doute arbitraire ) que j'avais ajouté était que les segments de droites ne dépassaient pas l'intersection des bandes  .

Il est vrai qu'en dehors des symétries évidentes on peut mettre un peu tout ce que l'on veut dans ces dessins

Imod

c'est à dire mini < MN/AB < env 3.2103434310451 (expérimental)

donc au plus simple on prendrait 3.2 qui est bien strictement compris entre 3.1973 et 3.2103
mais à moins de prendre une grille très fine = 1/5 du coté AB, ce n'est pas "sur un canevas"

et cacher les segments ne dispense pas de les construire car il y en deux, T'X' et U'V', qui sont forcément visibles, même si tout petits ! (ici MN/AB = 3.2)



le mieux est donc qu'il n'y ait pas de segments du tout !
et dans ce cas les points de contact de cercles tangents sont immédiats

reste que on doit dans ce cas construire

bof : (par exemple)

* les points de contact de cercles tangents sont immédiats

en ayant construit MN comme ci dessus
ces points de contact sont juste les intersections avec DC'



ce qui est ce qui ressemble le plus à la figure proposée
donc finalement sans aucun segment de droite du tout.

J'ai pris un peu de temps pour lire ton exposé

En effet la figure qui semblerait la plus intéressante serait celle dont les seuls segments de droites seraient horizontaux ou verticaux . J'ai vérifié mon dessin au passage et il comportait des erreurs générées par la confusion entre des points pratiquement confondus . Je ne suis pas sûr que la figure originale que je n'ai pas encore proposée corresponde à ton dessin mais il n'est pas interdit d'améliorer la figure

Imod

si on veut "serrer" d'avantage l'entrelacs (diminuer la quantité totale de "vide") je pense qu'il va falloir dire adieu aux carrés de base et aux cercles égaux.
du coup ça se complique fichtrement !

dans les schémas précédents la largeur des rubans, avec les cercles intérieurs de rayon 1, était
on peut chercher à augmenter cette largeur, ou à faire apparaître des points triples supplémentaires.
Mais comme je le disais, les différents cercles n'ont plus le même rayon et leur centres A,B,C,D ne sont pas aux sommets d'un carré.

par exemple avec une largeur de 0.5, avec le rayon = 1 du cercle intérieur de centre A. (AE = 1, AS = 1.5)



On a ici un point triple supplémentaire en T.
la figure est pilotée par l'épaisseur e, et les points T et U ajustés à la main, et tout le reste est construit à partir de ces points
les points U, E, F, S sont exactement triples par construction.