Bien joué Ty59847

Deuxième question : avec d'autres dispositions des 9 entiers , quelles sont les 11 valeurs communes possibles ?

Imod

D'accord , bien vu le coup de la case centrale qui accompagne chacune des manœuvres . Donc 5 est initialement au centre et la valeur commune finale est un multiple de 5 mais pourquoi forcément 5 ?

Imod

Un petit correctif , la valeur commune finale   mais pourquoi 5 ? Il y a un invariant des actions qu'il faut mettre en lumière

Imod

La réponse que j'avais donnée :

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On arrive à l'équation v0+5n=5
où v0 est la valeur initiale de la case centrale, et 9n est le nombre de mouvements.
Et cette équation admet une seule solution avec les contraintes sur v0 (v0 entre 1 et 9), c'est v0=5 et n=0

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notons a,b,c les éléments de la 1ère ligne, puis d,e,f pour la 2ème ligne, et g,h,i pour la 3ème ligne
Comme invariant, on a par exemple la somme des 4 coins moins la case centrale. S=a+c+g+i-e=6+3+7+1-9=8 sur la grille donnée en exemple.
Cette somme ne change jamais.
Et si on voulait par exemple avoir 9 dans chacune des cases (9= la plus petite valeur 5+4k strictement supérieure à5), il faudrait avoir dans la grille initiale S=27 (S=Somme des 4 coins, moins la valeur centrale). Solution possible ; 9,8,7,6 aux 4 coins,et 3 au centre, plus 2 ou 3 autres solutions.
On a un autre invariant ;  
(b+d+f+h)-2*e= constante
Quand on ajoute 1 (ou retranche 1) aux 4 cases en haut à gauche, on ajoute 1 aux case b et d, et aussi à e. Le cumul b+d+f+h-2e ne bouge pas. Et idem quand on agit ssur les autres carrés.
Si on veut arriver à avoir 9 dans chacune des 9 cases, on a donc dans la position finale b+d+f+h-2e=18
Et donc , dans la position initiale, on doit avoir déjà b+d+f+h-2e=18
avec tous ces nombres choisis entre 1 et 9, et sans doublon.
On a besoin des nombres les plus grands pour avoir a+c+g+i-e=27, et on a à nouveau besoin des plus grands nombres pour avoir  b+d+f+h-2e=18

Si e vaut 1, il faut (a+c+g+i)+(b+d+f+h)=48, impossible, la somme des 9 nombres vaut 45.

Tu as raison , je n'avais pas été au bout de ton calcul , V0=5 et N=0 . L'invariant est bien celui que tu indiques qu'on peut formuler en imaginant un échiquier : somme des cases blanches - somme des cases noires = constante .

Donc à la fin les cases doivent toutes être égales à 5 avec un nombre égal de choix +1 que de choix -1 . Il reste à trouver une solution  avec un 5 initialement au centre

Imod

Partant de la grille
2.1.4
3.5.7
6.9.8
Forcément, on ajoute 3 au carré en haut à gauche (pour que 2 arrive à 5), on ajoute 1 au carré en haut à droite etc
En fait, partant de 5 au milieu, et partant des 4 coins, on n'a plus le choix, on sait combien on va additionner ou soustraire dans les 4 carrés. Et il faut espérer que les 4 autres nombres collent.
Et rappel, la somme des 4 coins doit être de 20, mais ça ne suffit pas forcément.

En fait aux symétries près c'est la seule solution , c'est assez facile à vérifier à la main .

Merci pour la participation particulièrement efficace

Imod

Le plaisir est pour moi