Bonjour
le dénominateur est
x²+5x+4
=(x+5/2)²-25/4+4
(x+5/2)²-9/4
=(x+5/2-3/2)(x+5/2+3/2)
=(x+1)(x+4)

le numérateur est
m(x²-2x/m+1)
=m[(x-1/m)²-1/m²+1]
=m[(x-1/m)²-(1-m²)/m²]
et la fonction s'écrit par conséquent
m[x-1/m)²-(1-m²)/m²]/(x+1)(x+4)
tu vois que si m est extérieur à l'intervalle
(-1;+1) le terme entre crochet du numérateur sera toujours positif
le numérateur sera donc à ce moment du signe de m
et pour le dénomoinateur, tu retombes sur ce que tu as appris cette
année . le produit (x+1)(x+4)
est positif pour les valeurs de x  extérieures à l'intervalle
(-4;-1)
tu n'oublies pas de dire que la fonction n'est pas définie
pour les valeurs de x=-1 et x=-4
autrement dit quand m est extérieur à l'intervalle (-1;+1)
la fonction est du signe de m pour les valeurs de x extérieures à l'intervalle
(-4;-1) et du signe contraire à m pour les valeurs de x comprises
dans cet intervalle.
Si m est compris entre -1 et +1
le numérateur s'écrit
[x-1/m-V(1-m)/m](x-1/m+V(1-m)/m]
={x-[1+V(1-m)]/m}{x-[1-V(1-m)]/m}
si m est compris entre 0 et 1
le premier terme en m est >0 et le second l'est aussi
si m est compris entre -1 et 0
les 2 valeurs en m sont négatives.
le numérateur est positif pour les valeurs de x extérieures aux 2 valeurs
de x qui l'annulent et qui sont dépendantes de m
A partir de là cela se complique car tu devrais pour étudier le signe
de la fonction placer les valeurs qui annulent le numérateur par
rapport aux valeurs qui annulent le dénominateur
quand m est compris entre 0 et 1, pas de difficulté.
les 2 valeurs de x qui annulent le N sont positives et celles qui annulent
le D sont -4 et -1
quand m est compris entre -1 et 0
les valeurs qui annulent N sont négatives et c'est là qu'il
faudrait les placer par rapport à -4 et -1
Je ne pense pas que l'on voulait te faire faire des choses aussi
compliquées.
Si tel est le cas, je ne me sens pas le courage de poursuivre les calculs
sur l'ordinateur, car c'est trop ch... à écrire.
Bon courage