\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\cfoot[]{\hspace{6cm}\thepage/4}
%on d\'efinit ici les \'eventuels changement de partie
\newcounter{Partie}
\renewcommand{\thePartie}{\Alph{Partie}}
\newcommand{\partie}[1]{\vspace{0.5cm}\refstepcounter{Partie}
   \large{\textbf{Partie \Alph{Partie} : }}\normalsize
    {\large{\textbf{#1}}}\vspace{0.4cm}\par}
%on d\'efinit les polices pour les ensembles usuels
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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%la taille de la partie imprim\'ee
\setlength\parindent{0pt}
\setlength\voffset{-3.2cm}
\setlength\headheight{1cm}
\setlength\headsep{0.1cm}
\setlength\textheight{26cm}
\setlength\hoffset{-2.8cm}
\setlength\textwidth{18cm}
%Red\'efinition des item qui num\'eroteront les questions
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.}}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\def \tvi{\vrule height 15 pt depth 5pt width 0pt}
\def\ii#1#2{[\mspace{-3 mu} [#1,#2] \mspace{-2 mu} ]}
\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}
\begin{document}
\vbox{}
\vskip 3cm

\begin{center}
\Large{\textbf{\'ECOLE DES HAUTES \'ETUDES COMMERCIALES}}
\vspace{0.3cm}

\par \normalsize CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
\vspace{0.5cm}\par
\hskip 0.0cm\hbox to 3cm{\hrulefill}\par\vspace{0.3cm}


\textbf{OPTION \'ECONOMIQUE}
\vspace{0.5cm}
\par\Large{\textbf{MATHEMATIQUES III}}
\vspace{0.5cm}

\par \normalsize Mercredi 7 mai 2003, de 8h \`a 12h.\par
\hskip 0.0cm\hbox to 3cm{\hrulefill}\par\vspace{0.3cm}
\end{center}
\par \textit{La pr\'esentation, la lisibilit\'e, l'orthographe, la qualit\'e de la r\'edaction,
la clart\'e et la pr\'ecision des\hfill\break raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appr\'eciation des copies. \hfill\break Les candidats sont invit\'es \`a encadrer dans la mesure
du possible les r\'esultats de leurs calculs. \hfill\break Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout mat\'eriel\break \'electronique est interdite.
\hfill\break
Seule l'utilisation d'une r\`egle gradu\'ee est autoris\'ee.}
\vspace{0.5cm}

\hrule
\vspace{0.5cm}
\begin{center} \textbf{EXERCICE}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux r\'eels strictement positifs et $A$ la matrice carr\'ee d'ordre $2$ d\'efinie par :\;
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b \\ b & a\end{pmatrix}$ .
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $a$ et $b$ sont \'egaux, la matrice $A$ n'est pas inversible.
\item Calculer la matrice \;$A^2-2aA$. En d\'eduire que, si $a$ et $b$ sont distincts, la matrice $A$
est inversible et donner la matrice $A^{-1}$.
\item Montrer que les valeurs propres de $A$ sont $a+b$ et $a-b$.
\item On pose $\displaystyle \Delta=\begin{pmatrix}a+b & 0 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}$\;.
D\'eterminer une matrice $Q$, carr\'ee d'ordre $2$ \`a coefficients r\'eels, inversible et dont les \'el\'ements de la
premi\`ere ligne sont \'egaux \`a $1$, v\'erifiant \;$A=Q\Delta Q^{-1}$.
\item Calculer la matrice $Q^{-1}$ et, \`a l'aide de la question pr\'ec\'edente, calculer la matrice $A^n$
pour tout entier naturel non nul $n$.
\end{enumerate}
\item Soit $p$ un r\'eel v\'erifiant  $ 0 < p < 1$  et $q$ le r\'eel $1-p$.
On suppose que $X$ et $Y$ sont
deux variables al\'eatoires d\'efinies sur le m\^eme espace probabilis\'e $(\Omega, \mathcal{A},\textbf{P})$,
ind\'ependantes et suivant la m\^eme loi g\'eom\'etrique de param\`etre $p$.\\
Pour tout $\omega$ de $\Omega$, on d\'esigne par $M(\omega)$ la matrice carr\'ee d'ordre $2$ suivante:\;
$\displaystyle \begin{pmatrix}X(\omega) & Y(\omega) \\ Y(\omega) & X(\omega) \end{pmatrix}$ et on note
$S(\omega)$ (respectivement $D(\omega)$) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de
$M(\omega)$ et on d\'efinit ainsi deux variables al\'eatoires sur $(\Omega, \mathcal{A},\textbf{P})$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilit\'e de l'\'ev\'enement $[X=Y]$ est donn\'ee par:\;
$\textbf{P}([X=Y])=\dfrac{p}{2-p}$ \; et en d\'eduire la probabilit\'e de l'\'ev\'enement
$\{\omega\in \Omega\;;\;M(\omega)\;\text{est inversible}\}$.
\item Calculer la covariance des variables al\'eatoires $S$ et $D$.
\item Calculer les probabilit\'es \;$\textbf{P}([S=2]\cap [D=0]),\;\textbf{P}([S=2])$ \;et\;
$\textbf{P}([D=0])$.\\
Les variables al\'eatoires $S$ et $D$ sont-elles ind\'ependantes ?
\item \'Etablir, pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $2$ : \;
$\textbf{P}([S=n])=(n-1)p^2q^{n-2}$.
\item En d\'eduire, lorsque $p$ est \'egal \`a $\dfrac{2}{21}$\;\virg \; que la valeur la plus probable de la
plus grande valeur propre des matrices $M(\omega)$ possibles est $11$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vskip 3mm
\begin{center} \textbf{PROBL\`EME}
\end{center}\vskip -5mm
\partie{\'Etude d'une fonction}\label{P1}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  On suppose, dans cette question, qu'il existe une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$
sur les intervalles $]-\infty, 0[$ et $]0,1[$,  v\'erifiant
pour tout r\'eel $x$ appartenant \`a $]-\infty, 0[\cup]0,1[$, l'\'egalit\'e:\vskip -3mm
$$ x(1-x)f'(x)+(1-x)f(x)=1 $$
Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $]-\infty, 0[\cup]0,1[$, par: \;$h(x)=xf(x)$.\\
Montrer que $h$ est de classe $\mathcal{C}^1$
sur les intervalles $]-\infty, 0[$\;, $]0,1[$ et calculer sa d\'eriv\'ee.\\
En d\'eduire qu'il existe deux constantes r\'eelles $c_1$ et $c_2$ v\'erifiant \vskip -3mm
$$\left\{\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty, 0[, & h(x)&=& - \ln(1-x) + c_1 \\
\forall x\in ]0, 1[, & h(x)&=& - \ln(1-x) + c_2 \end{matrix}\right.$$    
\item On d\'efinit une fonction $f$ sur les intervalles $]-\infty,0[$ et $]0, 1[$ par:\vskip -3mm
$$\left\{\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty, 0[, & f(x)&=& \dfrac{-\ln(1-x)+c_1}{x}\\
\forall x\in ]0, 1[, & f(x)&=& \dfrac{-\ln(1-x)+c_2}{x}\end{matrix}\right.$$    
o\`u $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes r\'eelles.\\
D\'eterminer les constantes $c_1$ et $c_2$ pour que la fonction $f$ soit prolongeable par continuit\'e en $0$.
\end{enumerate}
\item \label{deff} Dans toute la suite de cette partie, $f$ d\'esigne la fonction d\'efinie sur $]-\infty, 1[$
par:\vskip -3mm
$$ \left\{\begin{matrix} f(x)=-\dfrac{\ln(1-x)}{x} & \text{si} & x\neq 0\\f(0)=1 \end{matrix}\right.$$
\begin{enumerate}
\item Donner le d\'eveloppement limit\'e en $0$ \`a l'ordre $3$ de la fonction \;$x\mapsto \ln (1-x)$ puis
le d\'eveloppement limit\'e en $0$ \`a l'ordre $2$ de la fonction $f\;$.
\item En d\'eduire que la fonction $f$ est continue en $0$, d\'erivable en $0$ et pr\'eciser la valeur de $f'(0)$.
\item  Montrer que, pour tout $x$ de $]-\infty,0[\cup]0, 1[$, on a:
\vskip -3mm $$f'(x)=\left(\frac{1}{1-x}-f(x)\right)\,\frac{1}{x}$$
En utilisant le d\'eveloppement limit\'e de la question pr\'ec\'edente, montrer que $f$ est de classe
$\mathcal{C}^1$ sur $]-\infty, 1[$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item\'Etudier le signe de la fonction $\varphi$ d\'efinie sur $]-\infty, 1[$ par: \;
$\varphi(x)=\dfrac{x}{1-x}+\ln(1-x)\;\cdotp$ \\En d\'eduire les variations de la fonction $f$
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$ et l'allure de
la repr\'esentation graphique de $f$ en pr\'ecisant les asymptotes,
la tangente \`a l'origine et la position de la courbe par rapport \`a cette tangente au voisinage de l'origine.
\end{enumerate}
\newpage
\item Soit $x$ un r\'eel de l'intervalle $]0, 1[$.
\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $]-\infty, 1[$ par: \; $ h(t)=-\ln(1-t)$\;.\\
Calculer, pour tout r\'eel $t$ de $]-\infty, 1[$, $h'(t),\;h''(t)$, puis pour tout entier naturel $n$ non nul,
$h^{(n)}(t)$.
\item Justifier, pour tout entier naturel $n$, l'\'egalit\'e: \vskip -3mm
$$h(x)=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^k}{k} +\int_0^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(1-t)^{n+2}}\; \text{d}t$$
\item \'Etablir, pour tout r\'eel $t$ de l'intervalle $[0,x]$, la double in\'egalit\'e:\;
$0 \leqslant \dfrac{x-t}{1-t}\leqslant x\;\cdotp$ \\
En d\'eduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la double in\'egalit\'e:\vskip -3mm
$$0\leqslant f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k+1}\leqslant x^{n+1}f(x)$$
\item \vskip -3mm Justifier l'\'egalit\'e:\qquad $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}\;\cdotp$\;
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\partie{\'Etude d'une variable al\'eatoire \`a densit\'e}
\begin{enumerate}
\item Dans cette question $f$ est la fonction d\'efinie \`a la question \ref{deff} de la partie
\ref{P1}.
\begin{enumerate}
\item Soit $f_1$ la fonction d\'efinie sur $]0,1]$ par :\;
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} f_1(t)=\dfrac{\ln t}{t-1} & \text{si} & t\neq 1\\\tvi
f_1(1)=1 \end{matrix}\right.$\\
Justifier la continuit\'e de $f_1$ sur $]0,1]$ et \'etablir, pour tout r\'eel $x$ de $]0,1[$, l'\'egalit\'e:\;
\vskip -3mm $$ \int_0^x f(t)\,\text{d}t=\int_{1-x}^1 f_1(t)\,\text{d}t $$
\item \label{1b} Soit $a$ un r\'eel de l'ntervalle $]0,1[$.
\'Etablir pour tout entier naturel $n$, l'\'egalit\'e:\vskip -3mm
$$\int_a^1 t^n\ln t\,\text{d}t=-\frac{a^{n+1}\ln a}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}(1-a^{n+1})$$
En d\'eduire la convergence de l'int\'egrale\;$\displaystyle \int_0^1 t^n\ln t\,\text{d}t$ et l'\'egalit\'e:\quad
$\displaystyle \int_0^1 t^n\ln t\,\text{d}t= -\frac{1}{(n+1)^2}\;\cdotp$
\item Soit $a$ un r\'eel de l'intervalle $]0,1[$ et $n$ un entier naturel, d\'emontrer pour tout $t$ de
$[a,1]$, l'\'egalit\'e\vskip -3mm
$$ \int_a^1 f_1(t)\,\text{d}t+\sum_{k=0}^n \int_a^1 t^k \ln t\,\text{d}t=\int_a^1 t^{n+1}f_1(t)\,\text{d}t$$
\item Montrer que la fonction $t\mapsto t\,f_1(t)$ est prolongeable en une fonction $h_1$ continue sur $[0,1]$.\\
En d\'eduire que l'int\'egrale
\;$\displaystyle \int_0^1 f_1(t)\,\text{d}t $ converge et qu'elle v\'erifie:\vskip -2mm
$$\displaystyle \int_0^1 f_1(t)\,\text{d}t = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)^2} +
\int_0^1 t^{n}\,h_1(t)\,\text{d}t$$
\item On d\'esigne alors par $M$ le maximum sur $[0,1]$ de la fonction $h_1$.\\
\'Etablir, pour tout entier naturel $n$, l'in\'egalit\'e:
\vskip -3mm $$ 0\leqslant\int_0^1 f_1(t)\,\text{d}t -\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)^2} \leqslant
\frac{M}{n+1}$$
\item \vskip -3mm Justifier la convergence de la s\'erie de terme g\'en\'eral $\dfrac{1}{n^2}$\;\virg \;puis l'\'egalit\'e:
\;$\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\text{d}t=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\;\cdotp$
\end{enumerate}
\break
\item \textbf{On donne: \;$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$}\; et on d\'esigne par $g$ la fonction
d\'efinie sur $\R$ par: \vskip -3mm $$\displaystyle \left\{\begin{matrix}g(t)=\dfrac{6}{\pi^2}\,f(t) &
\text{si}\quad t\in [0,1[ \\ \tvi g(t)=0 & \text{sinon}\end{matrix}\right.$$
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que $g$ est une densit\'e de probabilit\'e.
\item Soit $X$ une variable al\'eatoire ayant pour densit\'e $g$. \\
V\'erifier, pour tout r\'eel $x$ de $]0,1[$, l'\'egalit\'e \;
$\displaystyle \int_0^x \ln (1-t)\,\text{d}t=\int_{1-x}^1 \ln t \,\text{d}t$.\; \\Utiliser alors le r\'esultat de
la question \ref{1b} pour prouver que $X$ poss\`ede une esp\'erance et la calculer.
\item Par une m\'ethode analogue, montrer que l'int\'egrale \;
$\displaystyle \int_0^1 (t-1) \ln (1-t)\, \text{d}t $ est \'egale \`a
$\dfrac{1}{4}\;\cdotp$ \\
En d\'eduire que la variable al\'eatoire $X^2$ admet une esp\'erance, pr\'eciser sa valeur et calculer la variance
de la variable al\'eatoire $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\partie{Encadrement d'une fonction de deux variables}
Dans cette partie, on d\'esigne  par $V$ l'ensemble ouvert d\'efini par:\vskip -3mm
$$V=\{(x,y)\in \R^2; \; -\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2} ,\; -\dfrac{1}{2}<y<\dfrac{1}{2}\}$$
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction de $V$ dans $\R$ :\quad $(x,y)\mapsto u(x,y)=xy^2+x^2+y^2+\dfrac{1}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $u$ admet un minimum sur $V$ dont on pr\'ecisera la valeur, mais n'admet pas de maximum.
\item Montrer que la fonction $u$ est major\'ee par $\dfrac{7}{8}$ sur l'ouvert $V$.
\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction :\qquad
$\displaystyle (x,y)\longmapsto F(x,y)=\dfrac{\ln\left(\dfrac{3}{4}-xy^2-x^2-y^2\right)}{\dfrac{1}{4}+xy^2+x^2+y^2}\;
\cdotp$
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide des r\'esultats de la partie \ref{P1}, montrer que $F$ est d\'efinie sur l'ouvert $V$ et
qu'elle y admet un maximum. Pr\'eciser la valeur de ce maximum.
\item Donner un encadrement de $F(x,y)$ pour tout $(x,y)$ de $V$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{derniere_page}
\end{document}