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Algèbre: theme groupe et anneaux
Bonsoir
Montrer que si n est un entier premier et p un entier non multiple de n, pn-1=1 [mod n]
J'ai la solution mais je ne comprend pas:
Corrigé:
Si n est un nombre premier, 
/n* est un groupe multiplicatif d'ordre n-1.
Pour tout p de , notons la classe de p dans
/n
Jusque là cela va mais après:
Si p n'est pas multiple de n , appartient à
/n*: Pourquoi?
Soit k l'ordre du sous groupe de /n* engendré par ,
k=
:Pourquoi? et k divise n-1 Pourquoi?
d'où n-1=
soit pn-1=1 [mod n] pour la conclusion aussi j'aurais besoin d'explications.
Merci d'avance
Bonjour Yajax.
Voici une démonstration de ce théorème de Fermat, trouvée dans le site 'almanach dictionnaire des nombres'.
J'ai interverti les rôles de n et de p pour y faire correspondre les initiales de 'nombre' et de 'premier'.
Considérons les multiples de n de n*1 à n*(p-1), qu'on appellera ici les multiples de n.
Aucun n'est divisible par p.
Les restes de la division de ces nombres par p sont tous différents.
En effet, si deux nombres donnaient le même reste, leur différence, qui est aussi dans la liste des multiples de n serait divisible par p.
Les congruences à p des multiples de n sont donc 1, 2, 3, ... p-1 (dans le désordre).
La congruence à p du produit des multiples de n est égale à la congruence à p du produit des nombres de 1 à p-1.
Le produit des multiples est n*1 * n*2 * n*3 * ... * n^(p-1) = n^(p-1) * (1 * 2 * 3 * ... * p-1).
Soit d et c les congruence à p de n^(p-1) et de (1 * 2 * 3 * ... * p-1).
La congruence à p de d*c = c.
Supposons que d soit différent de 1.
(d-1)*c serait divisible par p. Or c'est impossible puisque c et d-1 sont non nuls et inférieurs à p.
Donc d = 1 : n^(p-1) est congru à 1 modulo p.
Pourriez-vous m'expliquer ce que signifie Z/nZ* ??
merci pour votre réponse il faut que je regarde cela plus en détail mais cela me semble plus clair
Z/nZ* est l'ensemble des entiers relatif privé de l'ensemble des entiers relatifs multiples de n donc ensemble quotient de Z par nZ
salut
/n* est l'ensemble des inversibles de G=/n
donc si n est premier c'est G privé de 0 qui est un groupe multiplicatif (car G est un corps) donc l'ordre est n-1 et l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe donc k divise n-1
si p n'est pas multiple de n alors alors 
0 et 
G*
salut yajax (d'Amsterdam ?) 
dans la démo ils appelent k l'ordre de donc l'ordre du groupe engendré par
et l'objectif est de démontré que k=n-1...
ce que t'a fait plumemétéore
(il existe d'autres démo)
dans la première partie de sa démo il démontre que la translation à gauche par n (les multiples de n) sont au nombre de n-1 donc que le sous-groupe engendré par n est G*
c'est le petit théorème de Fermat ca...
J'ai une jolie démonstration combinatoire avec des perles et des colliers 
la voici :
rappelons le corollaire du petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et a un entier alors
De ce corollaire on déduit facilement le théorème en supposant qu'en plus
Imaginons que l'on dispose de perles, beaucoup de perles, de
Pour fabriquer un collier, il faut enfiler les perles sur un fil et donc on va regarder le nombre de chaines non monochromes de
Il y en a exactement
Maintenant on referme ces chaines pour créer des colliers, c'est-à-dire, a partir de
Et donc, comme le nombre de collier est entier, on a bien que
D'où le corollaire.
Joli non?
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