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Niveau algorithmique
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Algorithme de Ruffini - Horner

Posté par
AbercrombieFitch
31-08-09 à 11:42

Salut tout le monde

Je m'intéresse à cette méthode mathématique qui, d'après mon ami Wiki, permettrait principalement de déterminer la valeur d'un polynôme en un point donnée, ie. de résoudre une équation polynômiale. Voilà ce que j'ai compris

En examinant plus en profondeur cette méthode je me demande en quoi elle peut être utile et si on l'utilisait dans la résolution de quelconque équation spécifique, ou comme méthode de résolution comme une autre. Apporte-t-elle quelque chose qui puisse être indispensable, est-ce que c'est une des méthodes qu'il faut savoir car elle se révèle souvent incontournable ?
A quel moment l'étudie-t-on ? Je ne l'ai pas vue dans le programme lycée, bien qu'on y ait les outils pour la comprendre et pourquoi pas la mettre en application (au moins en TS et avec un peu de curiosité ). Ceci dit, il me semble bien que les formules de Taylor ne sont vues qu'en Sup'...

Bref, je vous remercie pour vos réponses

A & F

PS : forum à choisir ? Euh ... Je pose toujours des questions auxquelles j'ai du mal à donner un forum de destination ! Commençons par l'Expresso, en espèrant que ça soit le bon choix !

Edit Coll : forum modifié

Posté par
myself
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 11:47

Bonjour

Je ne connais pas cette méthode (je sors de TS) mais je te confirme que les séries de Taylor ne sont vues qu'en sup

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 11:50

Salut

Cet algorithme est surtout utile en programmation, ça permet d'évaluer un polynôme récursivement, le coût en opérations est moindre par rapport à une évaluation classique (itérations de puissances).

Après je ne trouve pas qu'il est indispensable mathématiquement parlant.

Personnellement je l'ai vu en sup pendant le cours d'info. Tu es encore au lycée ?

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 11:52

Oui, j'entre en 1S mercredi

Ok, merci pour ces renseignements, ça me paraîssait bien inutile (ou presque) aussi !

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 11:53

Citation :
permettrait principalement de déterminer la valeur d'un polynôme en un point donnée, ie. de résoudre une équation polynômiale.


Ah non ça c'est faux, ça ne permet pas de résoudre une équation, à la limite seulement donner un encadrement d'une racine (voir en bas de l'article wiki).

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 11:54

Tu entres en 1S ? Et tu sais ce qu'est une clôture algébrique ?

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 11:55

Mince tu as raison, je me suis laissé abuser par le haut de l'article !

Merci

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 11:58

Oui, dans le lycée où je suis les profs (parfois mabouls mais tellement géniaux) pensent que nous enseigner les maths est un art partculier et qu'il faut le faire dans les meilleurs conditions, c'est à dire en expliquant tout de bout en bout même si celà dépasse le programme.
Ils jugent qu'il est important de savoir exactement les fondements de l'algèbre par exemple, raison pour laquelle ils tiennent à ce que l'on sache vraiment pourquoi et comment on définit R, C et le reste ...

Je généralise un peu sur mes profs en me basant sur celui de cette année mais je me suis laissé entendre que les autres sont pareils

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 12:02

Tu es dans quel lycée ?

Et en seconde vous avez construit C en tant que clôture algébrique de R ?

Parce qu'il y a beaucoup de notions d'algèbre derrière tout ça, ça m'étonnerait qu'on vous ait expliqué ça rigoureusement..

De rien sinon

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 12:03

Si c'est rigoureux ça honnêtement je ne saurais pas te le dire, je n'ai absolument pas les compétences pour en juger, je fais totalement confiance à mon prof concernant ses cours !

Je suis à Hoche.

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 12:12

Si t'as l'occasion de scanner cette partie de ton cours envoie la moi ça m'intéresse

Nous en seconde on se limitait à

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 12:17

Lol c'est vraiment brouillon mes cours mais si tu veux je peux te faire un PDF ou un doc de notre cours de théorie de ensemble

N Z D Q R, comme je les appelle, c'est déjà pas mal et c'est juste le programme, m'est avis que c'est suffisant en seconde.

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 12:26

oué si ça te prend pas trop de temps je veux bien merci

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 12:28

Ok, j'essaye de te faire ça avant la rentrée !
Je te l'enverrai sur l'adresse msn qui est sur ton profil, ok ?

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 12:30

Ca marche !

A bientôt A & F

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 17:24

Salut

Clôture algébrique en seconde? ... Et vous arrivez à faire aussi les autres chapitres?

En maths spé et c'est très rare qu'on a le temps pour aborder des notions hors programme ...

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 19:07

Lol oui oui on boucle aussi le programme officiel
C'est d'ailleurs sur la base de ce programme que le prof se permet quelques dévitations dans l'unique but, selon ses dires, de faire de nous de bons scientifiques et pas seuleument des bons lecteurs de bouquins !
Il veut que nous sachions ce que nous faisons et pourquoi nous le faisons. Tout tourne autour de ça. Il nous a introduit les complexes en nous faisant résoudre x²+1=0, là forcément on ne pouvait rien faire, géométriquement ou autre, et ainsi de suite

J'aime beaucoup cette méthode

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 19:33

Oui moi aussi ça m'aurait plu comme méthode, mais dans une seconde "normale" ça ne serait pas applicable, la majorité des élèves seraient largués ! C'est pour cela que je t'ai demandé le nom de ton lycée.. Hoche est réputé, et ça ne m'étonnerait pas qu'il y ait une bonne sélection pour pouvoir y étudier

Et clôture algébrique ça t'évoque quoi ?

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 19:34

Bon, j'ai fouillé ma mémoire pour vous montrer ce qu'on apprend sur C, enfin comment on le définit (vous me direz si c'est juste ou pas, je me rappelle surement pas de tout mdr !).

On a plusieurs manière de définir C. On peut le définir comme étant le quotient de R [X] / (X²+1) (là on choisit la classe de X "n'importe comment" et celle de -X comme étant la racine carrée de -1 car la conj. est non trivial dans C).
De même, on peut définir C comme une cloture algébrique de R, unique à isomorphisme près, qui cependant ne sera pas canonique (il n'y a pas d'unicité).

Ma def d'une C.A (d'un corps k par exemple) : c'est une extension algébrique K de k tel que tout polynôme de K[X] soit scindé sur K. On aura bien entendu expliqué tous ces termes, un polynôme est scindé s'il s'écrit comme un produit de polynôme du premier degré. Exemple: C est une clôture algébrique de R, et d'après "quelque chose" que nous avons juste appris mais pas démontré, deux clôtures algébriques d'un même corps sont isomorphes.

Je suis pas trop d'accord avec cette technique, moi je préférais simplement définir C en étudiant un polynôme en i "formel" à coeff dans R, comme on le fait en TS, mais bon voilàa, je ne décide pas

PS : c'est sans doute très brouillon désolé, je retrouve plus trop mes cours

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 19:38

Oui effectivement on peut aussi construire C comme corps de rupture du polynôme X²+1, mais comment un élève de second peut-il ingurgiter ça sans avoir fait un minimum d'algèbre ?

C'est quoi pour toi la classe de l'indéterminée X ? Comment tu définis ton quotient ?

Merci de m'éclairer

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 19:50

Oula ...

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 19:57

Lol, comme si tu avais besoin d'être éclairé

En fait je m'exprime pas clairement, je prends un papier et un stylo pour mieux poser mes idée.

Bon, on définit C à partir de R puisqu'on est bien d'accord que C n'est qu'une "extension" de R qu'on a créé car on (Bombelli) en a eut besoi pour résoudre des types d'équations algébriques inconnues dans R. Ca c'ets l'histoire.
En partant de R et de ses deux lois interne, on pose tout simplement R² qui comme on le sait n'est que le repère orthonormal
(O,i,j). Ensuite on munit R² de deux l.c.i nommées + et *, on nomme R² -> C.
On explique ensuite pourquoi R est une partie de C (C contient en fait une copie de C). On remarque que les lois + et * de C correspondent respectivement à l'addition et à la multiplication de R.
Après on peut enfin parler du théorème de d'Alembert Gauss, celui qui définit C comme une cloture algébrique de R, qui revient à dire que dans C, tout polynôme est scindé. L'énoncé exacte donne un truc genre : "tout polynome strictement positif admet au moins une racine dans le corps". En fait je crois bien qu'un polynôme à degré n admet n racines. On peut démontrer ça dans C mais je ne me souvient plus du truc. Au final, c'est ce que je disais (ok, maladroitement ) qu'un polynôme est scindé s'il s'écrit comme un produit de polynôme du premier degré.

C'est pas clair, je ne donnerai pas de cours là-dessus lol

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 20:13

Ca me fait penser que je ne sais plus comment montrer que R[X]/(X^2+1) est un corps ...
Je vais y songer, bref. Si quelqu'un a une tout petite idée

Posté par
1 Schumi 1
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 20:23

X²+1 est irréductible sur R, donc l'idéal (X²+1) est maximal, donc R[X]/(X²+1) est un corps.

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 20:27

Ah j'ai une idée ! Je prends un élément de R[X] mais qui n'est pas dans (X²+1) et je rpouve que son image dans R[X]/(X²+1) est inversible. Ca te semble ok ?

Posté par
1 Schumi 1
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 20:28

A&F >> Pour revenir au problème initial, il n'existe pas de méthode général pour résoudre des équations de type P(x)=0 lorsque P est un polynôme quelconque de degré >=5. Attention, c'est pas qu'on a pas encore trouvé de formule, c'est qu'on a démontré (du moins ce cher galois l'a fait avant d'aller se faire buter pour une meuf... le con!) qu'il n'en existait pas (puissant hein? )

Posté par
1 Schumi 1
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 20:29

POur ton idée ouais ça marche direct avec bezout ça.

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 20:29

Oui, ca je me rappelle l'avoir entendu de la bouche de mon prof de maths

Posté par
infophile
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 20:38

Ou et plus généralement si A est un anneau euclidien et P un polynôme irréductible alors on a que l'idéal (P) est maximal et A[X]/(P) est un corps.

Salut vieux

Posté par
AbercrombieFitch
re : Algorithme de Ruffini - Horner 31-08-09 à 21:02

D'accord ok, merci les gars
J'aurai le temps de revoir ça plus tard de toute façon lol
Je me concentre sur les Olympiades et le Bac de fraçais cette année.

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