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1) 2010=2*3*5*67 et tous ces facteurs sont premiers et premiers entre eux

2) si p est l'élément de ce groupe G tel que p²=1 alors fort probablement {1,p} est distingué dans G

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1) 2010=2*3*5*67, c'est donc une conséquence du lemme chinois.
2) Si k désigne le nombre de 67-Sylow, alors les théorèmes de Sylow nous disent que k=1 (67) et que k|2*3*5=30.
Donc k=1 et le 67-Sylow est un sous-groupe distingué de G.
3) J'en suis à 1 pour le moment...

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D'après il t'en manque 3.

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Je note C(n) le groupe cyclique de cardinal n et D(n) le groupe dihédral de cardinal 2n (groupe des symétries du polygone régulier à n côtés).
Les 8 groupes suivants ne sont pas isomorphes 2 à 2:
C(2010) et D(1005).
, ,
, , .

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Puisque 3 divise 67-1 il existe un groupe G non cyclique de cardinal 201.
On peut le définir par exemple par les relations et (ou ).
Cela donne deux autres groupes de cardinal 2010:
et .

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1) donc un groupe commutatif d'ordre 2010 est nécessairement cyclique, isomorphe à ou encore à .

2) C'est du Sylow! Il existe au moins un sous-groupe d'ordre 67 et le nombre de sous-groupes d'ordre 67 divise 30 et est congru à 1 modulo 67. Seule possibilité, un seul sous-groupe d'ordre 67 qui est donc cistingué.

3) D'abord tout ce que l'on peut tirer des groupes diédraux. Je vous rappelle que est un groupe ayant 2n éléments, répartis en un sous-groupe cyclique d'ordre n et n éléments d'ordre 2. Si n est impair il y a exactement n éléments d'ordre 2. Voici une liste de groupes d'ordre 2010 avec le nombre d'éléments d'ordre 2 qu'ils possèdent:

3 éléments d'ordre 2
5 éléments d'ordre 2
67 éléments d'ordre 2
15 éléments d'ordre 2
201 éléments d'ordre 2
335 éléments d'ordre 2
1005 éléments d'ordre 2

Ces groupes ne sont pas isomorphes deux à deux puisqu'ils n'ont pas le même nombre d'éléments d'ordre 2.

De plus, il existe un groupe K d'ordre 201 non commutatif. Il est engendré par deux éléments a et b et par les relations



Alors est un noivel exemple, ayant aussi 5 éléments d'ordre 2 mais non isomorphe à
.

Voici un exemple un peu plus exotique:

Soit H l'ensemble des matrices à coefficients dans de la forme



avec . Je vous laisse le plaisir de montrer que H est un groupe d'ordre 402 et que est un groupe d'ordre 2010 qui n'est isomorphe à aucun de ceux qui précèdent!

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il faut lire

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G engendré par a et b et les relations:
et avec k d'ordre 6 modulo 335 (k=164 ou k=239).