Bonjour

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Avant de manger je fais la a) :

sn = (2+V3)^a + (2-V3)^a avec a = 2^n

Par le binôme les termes intermédiaires s'éliment mutuellement dans les deux sommes, il reste les 4 termes extrêmes qui sont entiers car (V3)^a = (V3)^(2^n) = 3^n.

Donc la suite (sn) est une suite d'entiers.

sn²-2 = (u^(2^n)+v^(2^n))² = u^(2^(n+1))+v^(2^(n+1)) + 2(uv)^(2^n) - 2.

Et uv = (2+V3)(2-V3) = 4 - 3 = 1 donc sn²-2 = u^(2^(n+1))+v^(2^(n+1)) = sn+1

bonjour,

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1) juste parce que c'est sympa d'avoir posté un exo (en plus d'arithmétique) :

-> ok avec id remarquable

Bonjour,

Pour le a) il est plus rapide de montrer d'abord et .

Le b) est nettement plus difficile!

Effectivement

T'as trouvé jandri ? (question stupide ^^)

Bonjour Camélia

Pour un début,

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      On a      

a) Montrons par récurrence que est une suite d'entiers :

On veut prouver par récurrence la propriété " est un entier " pour tout

    Au rang :

      

Donc est vraie.

    Supposons vraie pour un fixé, démontrons la au rang :

On a

Or par hypothèse de récurrence le nombre est un entier donc le carré de ce nombre est également un entier et est un entier donc est un entier

Donc est vraie

est héréditaire

Par récurrence, on a prouvé " est un entier" est vraie pour tout

infophile, j'ai une solution car c'est un problème classique (par exemple sujet ENS Cachan 1979).
Mais il y a peut-être une solution plus courte.

Il n'est malheureusement pas disponible sur l'UPS

La solution (générale) dans le Demazure n'est très courte non plus.

j'ai une solution car c'est un problème classique (par exemple sujet ENS Cachan 1979). >> Mais j'hallucine... ce type est une encyclopédie vivante...

Re

Bonjour à jandri ,J-R et infophile

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J'avais pas remarqué encore mais j'ai presque répondu à la question entierement dans mon poste précédent:

Lors de la récurrence à la partie précédente de la question on a montré que

Or

Ainsi

Bonjour,

1 Schumi 1, je ne suis pas une encyclopédie, je me contente de bien classer les exercices et problèmes que je cherche (ou donne à des élèves).

olive_68, je ne pense pas que l'on puisse donner une démonstration du b) au niveau bac.

Bonjour à tous

Camélia, je connaissais le test de Lucas pour les alcools mais pas en arithmétique!
Voilà c'était juste pour apporter mon grain de sel, je déteste l'arithmétique depuis la spé de terminale (heureusement on est épargnés en PC)

Ok merci jandri ^^ Tampis faudra que je me contente de lire la solution que quelqu'un va poster j'éspère .._{(J'ai cherché le sujet de ENS-Cachan 1979 mais pas trouvé )}

Salut à tous!

Vous voyez, je suis honnête, j'ai dit ce que c'était! N'empêche, on ne le donne pas souvent en premier cycle et il est joli! Alors, je pense qu'il est abordable pour tous ceux qui se sont manifestés, sauf olive qui est un peu jeune...mathématiquement parlant!

Alors ma méthode (très courte) consiste à le faire par l'absurde en regardant un anneau quotient de mais en n'utilisant aucun gros théorème...

Bien sur je mettrais une solution...

Merci à gui_tou, on apprend tous les jours!

Salut

Je vais essayer de m'y mettre sérieusement à la 2). Attends encore un peu avant de donner une solution stp Camélia. (J'arrive pas à ne pas regarder les blankés...)

OK! Quand vous voulez demandez la solution!

J'abandonne...

Eh oui, ce n'est pas évident...

a) Purement calculatoire! A remarquer que

b) Supposons non premier. Alors il a un diviseur premier q tel que ou encore tel que . Comme divise il en est de même pour q donc avec k entier. On multiplie par et on trouve



Cette égalité est écrite dans . On considère l'idéal qA et l'anneau quotient B=A/qA. On note la classe de
dans B et la classe modulo q de chaque élément de A dans B. On voit facilement que



et donc que B a éléments.

Or l'égalité (E) dit que ce qui montre que est un élément d'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau B. D'après le théorème de Lagrange divise cet ordre, qui est inférieur à . Remarquez que même si on ne connait pas le théorème de Lagrange l'égalité prouve que dans B il y a au moins éléments distincts non nuls et c'est tout ce que j'utilise!

Et voilà la contradiction: on devrait avoir

Bonjour Camélia,

Bravo pour ta démonstration qui est vraiment très bien.
Je n'avais pas pensé utiliser .
La démonstration que j'avais est plus longue: en notant tel que (dans si 3 est un carré modulo q, dans sinon) on montre que ou et que ssi .
Ensuite mod q entraine d'où , d'ordre d'où , d'où .

C'était pas si méchant que ça en fait, la démo est même assez naturelle présentée ainsi... Tant pis, une autre fois peut être...

Donc tu utilisais quand même l'ordre d'un élément. Ce sont quand même des trucs pas évidents...