Bonjour,

T'aurais pas dû mettre ta soluce, tu tentes le diable là!!!
Je m'y colle, ça à l'air marrant.

Je n'ai pas mis ma soluce! Comme ça les autres diablotins ne seront pas tentés! J'ai mis de quoi faire démarrer les "jeunes" es corps finis. En revanche, les "vieux" pourront chercher sans connaitre ma piste.

Salut

J'ai trouvé une démo bourrine :

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On utilise le lemme de Gauss sur les résidus quadratiques :

où t est le nombre d'entiers de {2,4,...,(p-1)/2} qui soient supérieurs à p/2 ( est le symbole de legendre.

On considère n dans {1,2,4,...,(p-1)/2}.

On a exactement entiers dans {2,4,...,p-1} qui soient inférieurs à p/2
Et on a ainsi qui soient supérieur à p/2

Ainsi


Et si
Dans les deux cas :
et donc 2 est un résidu quadratique modulo p

Pour la réciproque il suffit d'étudier les autres cas p=8k+2 etc... la flemme, mais on aura que est impair et donc que ie que 2 n'est pas un résidu quadratique modulo p

Bonjour Nightmare

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J'ai plus joli que ça, mais ça a l'air de marcher. Comme il n'y a que nous pour lire,remarque que p premier impair a très peu de chances d'être de la forme 8k+2... donc tu as quand même moins de cas.

Bonjour à tous,
je ne comprend l'affirmation 2 est un carré.
Est-ce à dire que pour ?

Voui voui, c'est ça.

Pour veux qui rentrent de vacances...

Bonjour

Voici une solution, mais j'aurais bien aimé en voir une autre...

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Soit z dans une extension L de . On a



Si z⁴=-1, on a trouvé les deux racines carrées de 2 dans L. Des extensions contenant un élément z tel que z⁴+1=0 il en existe. On suppose choisie une telle extension et fixé un tel z. Reste à voir si on peut avoir .

On sait qu'un élément x de L est dans si et seulement si . En utilisant le fait qu'on travaille en caractéristique p on voit que



Comme p est premier impair, il est congru à 1 ou 3 modulo 8.
Si p1 mod 8, (en n'oubliant pas que z⁴=-1) on a z^p=z et z^-p=z^-1 , donc z+z^-1 est bien dans

Si p-1 mod 8, z^p=z^-1 et z^-p=z, donc on a encore z+z^-1 dans .

On voit de manière analogue que si p3 mod 8 on a z^p+z^-p=-(z+z^-1) donc dans ce cas 2 n'est pas un carré dans

Et j'aimerais tant avoir une autre solution que la mienne...

La mienne n'en est pas une?

Bonsoir Camélia,

Que recherches-tu précisément comme autre solution ? Est-ce que tu imposes les ingrédients ? Si oui lesquels ?

Rebonjour à tous.

Oui, Nightmare, la tienne en est une.

Ce qui me gêne dans la mienne est qu'elle est "parachutée". Ca marche, mais je ne sais pas trop d'où ça sort. Celle de Nightmare est meilleure en ce sens qu'elle utilise la méthode classique de reconnaissance d'un carré, mais elle est "bourrine" comme il dit lui-même.

Bonsoir Camélia,

Voilà ce que je propose:

On sait que  

On part alors de :

d'où :

- si , on  a donc  
et en considérant les parties réelles on obtient facilement :
(utiliser le fait que lorsque 0<k<p,   est divisible par p)

- si , on  a  
et on obtient cette fois :

>blang Joli, et différent de la mienne et aussi de celle de Nightmare bien qu'utilisant les mêmes ingrédients.

Merci!

blang, encore un prof bluffant... Décidemment, on en finit plus ici...

decidement c'est la deuxieme fois que Blang nous montre de tres jolis calculs dans ce forum detente!!

Tiens, autre méthode à peu près similaire à celle de blang:

On montre en effet que (elle est pas belle ma formule? ) ce qui permet de conclure directement!