Amusette de début de vacances (matrices)

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Amusette de début de vacances (matrices)
Posté par 
Camélia   28-06-09 à 15:12
Bonjour

J'ai trop peur que vous vous ennuiyez...

Soit A une matrice carrée telle que pour toute matrice carrée de même taille M on ait det(A+M)=det(M). Montrer que A=0.
 Posté par 
veledare : Amusette de début de vacances (matrices)  28-06-09 à 16:44
bonjour camélia

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je n'ai pas fait d'algèbre cette année et je suis rouillée,je trouve facilement que detA=0 mais pas encore  que A=0, peut être en prenant des matrices M très particulières,je vais chercher merci pour cet exo
 Posté par 
monrow re : Amusette de début de vacances (matrices)  28-06-09 à 17:26
Bonjour

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j'ai trouvé qu'elle est nilpotente mais pas plus 
 Posté par 
1 Schumi 1re : Amusette de début de vacances (matrices)  28-06-09 à 18:18
Salut 

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On écrit A=PJrQ où Jr la matrice diagonale à r 1.

Le truc demandé s'écrit:

det(J_r+P-1MQ-1)=det(P-1MQ-1).

Vu que c'est vrai pour tout M: det(J_r+M)=det(M)

Si r est non nul, on prend M tel que Jr+M=In et on arrive à une contradiction.
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infophilere : Amusette de début de vacances (matrices)  28-06-09 à 18:18
Bonjour 

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En utilisant la matrice Jr ça se fait bien.
 Posté par 
J-Rre : Amusette de début de vacances (matrices)  28-06-09 à 19:51
bonjour,

franchement un retour de bons exos dans détente ... merci

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pour M=-A, on a det(A) = 0 

maintenant si je suppose 

il existe une ième colonne non nulle.

si je considère M la matrice telle que la ième colonne de A+M soit nulle (je prend l'opposée de cette colonne).

de ce fait, 

mais  car je peux toujours choisir M de telle sorte (on construit une base à partir de la colonne non nulle)
 Posté par 
gui_toure : Amusette de début de vacances (matrices)  28-06-09 à 23:05
Bonsoir à tous 

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Ma réponse ici :  Matrices et déterminants 

J'attends les autres avec impatience !
 Posté par 
Camélia re : Amusette de début de vacances (matrices)  01-07-09 à 17:44
Bonjour à tous, me voici à nouveau devant un ordinateur (connexion lente). Ma solution est celle de J-R, mais bien sur on peut faire autrement

Pardon gui_tou, j'avais pas vu!
  Posté par 
gui_toure : Amusette de début de vacances (matrices)  01-07-09 à 21:12
Ro Camélia, il n'y pas de mal !

Aura-t-on droit à une autre amusette bientôt ?