Bonjour
Soient E et F deux ensembles et et deux applications injectives.
Le théorème de Cantor-Bernstein affirme l'existence d'une bijection de E sur F. Une démonstration possible est la construction "explicite" de l'application de la manière suivante:
Soit le complémentaire de dans E. Pour entier strictement positif on pose et on pose .
Pour on pose ; si , on a et on pose où est l'unique antécédent de par .
On prouve (on recommande chaudement à ceux qui découvrent cette histoire de le faire) que est bijective.
Bien sur je sais qu'il existe des bijections de sur . Mais c'est intéressant d'expliciter si on prend définie par et définie par .
Expliciter si on prend définie par et définie par
Soit l'ensemble des parties finies de . les éléments d'une partie non vide sont numérotés de manière à ce que . Soit la suite strictement croissante des nombres premiers. Donc
On définit par et pour . Soit définie par .
Expliciter .
Si je ne m'abuse, consiste à envoyer les (avec 0 et 1) sur eux-mêmes et à prendre l'exponentielle des autres ?
J'ai fini par me pencher sur le n°4 :
Y a-t-il une façon plus simple de présenter les choses que de dire que est constitué par les parties finies de qui ne sont pas des singletons ainsi que par les singletons , , et où les sont les entiers du type avec et ?
Eh non... j'ai bien dit que c'était difficile...
En fait j'avais fabriqué ces exos parce que mes étudiants disaient toujours qu'ils ne comprenaient rien à Cantor-Bernstein... (et d'ailleurs ils n'y croyaent pas trop) et ils avaient l'air de mieux comprendre après les deux premiers, et moins bien après le dernier! Je m'en suis souvenu en voyant un topic récent où on cherchait une bijection comme dans 2, et on se donnait beaucoup de mal, alors que c'est "presque" de la production automatique!
Connaitrais-tu une injection facile à définir ?
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