Amusette: Matrices

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Amusette: Matrices
Posté par 
Camélia   24-12-07 à 14:33
Bonjour



A est une matrice nn à coefficients dans un corps commutatif K. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur A pour que la matrice 2n2n







soit inversible.

Je mets en caché le résultat mais... pas la démonstration



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A n'admet ni 1 ni -1 comme valeur propre
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Cauchyre : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:10
Bonjour,



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je pense avoir trouvé, la condition serait que A²-Id soit inversible.
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Camélia re : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:15
>Cauchy OUI, mais on peut dire un peu plus!
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Cauchyre : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:18
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Plus bien cela veut dire que det(A²-Id) est non nul donc det(A-Id) et det (A+Id) aussi donc 1 et -1 ne sont pas valeurs propres de A(reformulation de ce que j'ai dit plus haut, pour ma démo j'étais parti en supposant que 1 est valeur propre de A et c'est le sens réciproque qui a fait apparaitre A²).
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Camélia re : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:22
Ah bon? J'ai plusieurs méthodes mais pas celle-ci. 
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Cauchyre : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:22
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Par contre ma démo est un peu chiante à écrire en Latex vu que j'aime pas écrire des matrices, on prend x non nul tel que Ax=x alors on complète en un vecteur de K^n², (x -x) et on lui applique B. Si il existe x non nul tel que Ax=-x on complète en (x x). Réciproquement si il existe x tel que Bx=0 alors on écrit x sous la forme (y z) avec y et z dans K^n, on obtient Ax=-z et Az=-x, on rapplique A pour trouver que A²y=y et A²z=z, or au moins l'un des deux vecteurs y et z est non nul sinon x serait nul, ainsi A²-Id n'est pas inversible.
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Camélia re : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:22
je voulais blanker... mais ce n'est pas grave!
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Cauchyre : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:23
 Maintenant tout le monde sait qu'il y a plusieurs méthodes 
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Camélia re : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:27
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Les miennes sont moins comme tu dis! Es-tu sur d'avoir les deux sens?
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Cauchyre : Amusette: Matrices  24-12-07 à 15:30
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Oui si A²-Id est non inversible alors soit A-Id ne l'est pas soit A+Id ne l'est pas et j'obtiens que M est non inversible(bon j'avais écris B sur mon brouillon si c'est pas clair au-dessus  ). Réciproquement si M est non inversible alors je montre que A²-Id est non inversible comme je l'ai expliqué au-dessus.
 Posté par 
Cauchyre : Amusette: Matrices  24-12-07 à 16:25
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 Une autre méthode qui doit fonctionner je pense, c'est de montrer que det(M)=det(A²-Id), je sais plus les conditions quand on a une matrice par blocs comme ça mais en tout cas si A est inversible on a par blocs M=(A 0;Id Id)(Id A-1;0 A-A-1) et donc det(M)=det(A)det(A-A^-1)=det(A²-Id). Si A n'est pas inversible, on regarde det(M-XId) et on fait pareil dans K(X) avec A-XId(qui est inversible car det(A-XId) est un polynôme non nul) puis on évalue en X=0. Ma première démo c'était plus à la main sans autre connaissance que la multiplication de deux matrices. 
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anonymere : Amusette: Matrices  26-12-07 à 19:47
Bonsoir :





il y a un exercice plus général qui dit que si on une matrice 2nx2n constituée de A B (en haut) C D (en bas) tel que A et C commutent alors le déterminant de cette matrice est le produit en croix ! ici particulièrement clairement A et In commutent donc il faut que A²-In = (A-In)(A+In) D'où si on travaille Comme on travaille sur K corps (intègre), donc A n'admet ni pour valeur propre 1 ni -1

                                             

 Posté par 
anonymere : Amusette: Matrices  26-12-07 à 19:47
oups désolé pour l'erreur
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Cauchyre : Amusette: Matrices  27-12-07 à 01:07
Salut,



hatimy 
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t'utilises l'artillerie lourde 
 Posté par 
anonymere : Amusette: Matrices  27-12-07 à 14:27
Cauchy



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 Oui j'avoue, c'est très mal vu aux concours en plus !

question : tu es à l'ENS ? Ulm ?
 Posté par 
Camélia re : Amusette: Matrices  27-12-07 à 14:56
Bonjour hatimy



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En effet, une de mes solutions consistait à dire, plus simplement qu'en regardant M comme matrice à coefficients dans la sous-algèbre commutative engendré par A, elle est inversible ssi son "déterminant" A2-I est inversible dans la-dite algèbre.
 Posté par 
Cauchyre : Amusette: Matrices  27-12-07 à 21:37
hatimy 
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Non Cachan 
 Posté par 
simon92re : Amusette: Matrices  27-12-07 à 21:47
Cauchy>> t'es a Cachan? je connais quelqu'un qui est arrivé a Cachan cette année... tu es arrivé cette année?

désolé camélia 
 Posté par 
Cauchyre : Amusette: Matrices  27-12-07 à 21:49
simon->
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 Tu pollues son défi  oui mais à Cachan antenne de Bretagne , je suis arrivé cette année oui 
 Posté par 
simon92re : Amusette: Matrices  27-12-07 à 21:52
ok, j'ai pas tout compris, et j'arrête de polluer!!
 Posté par 
Cauchyre : Amusette: Matrices  27-12-07 à 21:56
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L'ens Cachan est divisée en deux pôles d'étude, l'un à Cachan et l'autre en Bretagne(près de Rennes) et moi je suis en Bretagne  
 Posté par 
simon92re : Amusette: Matrices  27-12-07 à 22:04
ah ok, donc vousn'êtes pas au même endroit, mais tu était en fac avant, et tu es passé a l'ENS.

y'a des "pont" fac-grandes écoles pour toute les grandes écoles ou pas?
 Posté par 
Cauchyre : Amusette: Matrices  27-12-07 à 22:20
 Oui pour l'Ens Cachan il y a le concours 3ème année, pour les écoles d'ingénieurs il y a des admissions sur dossiers et tests(les modalités de recrutement varient suivant les écoles). Donc il y a des "ponts" oui.
  Posté par 
Camélia re : Amusette: Matrices  04-01-08 à 14:03
Rebonjour 



Avant que ce topic se perde dans les profondeurs de l'ile, voici la solution la plus rapide et la plus élémentaire. Inspirée par les classiques opérations sur les lignes et colonnes, cette fois par blocs:







et là il est évident que M est inversible si et seulement si A+I et A-I le sont, c'est-à-dire si et seulement si 1 et -1 ne sont pas valeurs propres de A.



C'est peut-être pédagogiquement un mauvais exo, car il peut suggérer qu'on peut faire par blocs tout ce qu'on fait par lignes et colonnes. Bien sûr, il n'en est rien!