Amusette pour lycéens

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Amusette pour lycéens
Posté par 
infophile  30-01-11 à 14:41
Bonjour 

Je profite que les partiels soient terminés pour faire un coucou sur l' 

En calculant une probabilité de manière différente de celle de ma prof on a aboutit à des résultats différents qui s'avèrent être identiques  Je ne donne pas l'exercice de proba car ça dépasse le programme de lycée en revanche je vous propose de vérifier que le résultat que j'ai obtenu à savoir  et celui de ma prof  sont bien égaux.

Une indication pour les plus jeunes :

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Il y a surement plusieurs façons de montrer cette égalité mais pour ma part j'ai considéré la fonction définie par 

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freniclere : Amusette pour lycéens  02-02-11 à 18:56
Bonjour Kevin, et merci pour cette prise de tête 

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Soit  l'opérateur de différence : 

On vérifie facilement par récurrence que 

Si , on a donc, pour   

Mais par ailleurs, on voit directement par récurrence que 

D'où, en choisissant  :

et finalement

En utilisant la relation de Pascal et un changement d'indice, on obtient :

Si on note , on a donc 

Et comme , on a bien pour tout n, , ce qu'il fallait démontrer.

N.B. Dans la formule proposée, la première somme est égale à la seconde changée de signe.

J'ai l'impression désagréable qu'il y a bien plus rapide, mais bon, je n'ai pas mieux.

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infophilere : Amusette pour lycéens  02-02-11 à 21:16
Coucou frenicle 

Ce qui est rigolo c'est d'avoir trouvé cette relation "par hasard" dans un exo de probabilité 

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Bien vu pour le rapprochement à la formule de l'opérateur de différence itéré ! Ca m'a l'air tout bon.

Mais il y a effectivement plus simple, si tu as lu mon indication regarde la dérivée  puis calcule 

Cela dit je pense qu'il doit y avoir encore plus simple, ou du moins plus joli avec un raisonnement combinatoire.
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gui_toure : Amusette pour lycéens  02-02-11 à 21:24
Hey hey 

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Par récurrence ça se fait en une ligne mais c'est pas très élégant ^^ et en passant par  j'ai pas l'impression d'aboutir
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infophilere : Amusette pour lycéens  02-02-11 à 21:33
Salut guigui ça va ? 

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Oui la récurrence je voulais éviter ^^

Mais ton autre méthode devrait marcher car ça rejoins en quelque sort la mienne qui consiste à dériver pour réintégrer ensuite.
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veledare : Amusette pour lycéens  02-02-11 à 22:14
bonsoir infophile

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je faisais cette démonstration en cours autrefois 

je partais de

en intégrant entre -1 et 0 on obtient

ensuite on utilisait les relations entre les coefficients binômiaux mais maintenant la fin me parait lourde et je n'ai pas le courage de la terminer 

ce n'est pas à cette démonstration que tu pensais

tu as fini tes partiels,tu vas au ski?
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freniclere : Amusette pour lycéens  03-02-11 à 10:42
Bonjour

Une autre démonstration, inspirée de l'indication pour les plus jeunes de Kevin :

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Il suffit d'intégrer les deux extrémités entre 0 et 1 pour obtenir l'égalité cherchée.

Je me disais bien qu'il y avait plus court 

 Posté par 
Jordre : Amusette pour lycéens  03-02-11 à 13:33
Salut à tous !

Kevin > Quelle est la preuve probabilistique dont tu fais référence? 
  Posté par 
infophilere : Amusette pour lycéens  03-02-11 à 20:32
veleda

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Tu fais comme frenicle dans son premier post 

Non pas de ski mais un peu de détente avant que les projets ne recommencent !

frenicle

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Voilà c'est tout à fait ça 

Salut Jord 

C'est un exo de TD je l'ai plus en tête, pourquoi ? Je peux le retrouver parmi la montagne de papiers qui s'entassent sur ma table si tu y tiens