Amusette pour Olive

 Niveau exercicesPartager :
			        
Amusette pour Olive
Posté par 
Camélia   05-07-09 à 14:30
Bonjour à tous

Voici un exo que probablement olive a une chance de faire. Bien sur tout le monde peut participer, mais je suppose que les "grands" le connaissent déjà!

Montrer que 
 Posté par 
geronimo 652re : Amusette pour Olive  05-07-09 à 20:52
bonjour Camélia !

Cool de penser au terminale dans cette rubrique... bon vu qu'olive est en TS comme moi j'ai peut-être une chance de trouver... 

bon si je trouve quelque chose, je reviens...
 Posté par 
geronimo 652re : Amusette pour Olive  05-07-09 à 21:30
 Cliquez pour afficher
donc après une intégration par partie en posant 

on trouve que  

et en l'infini ça tend vers 0....

mais je cherche ma propre façon de faire car là, Wiki m'a aidé... mais sinon j'ai compris comment ça marchait
 Posté par 
Quent225re : Amusette pour Olive  05-07-09 à 22:38
Bonsoir,

 Cliquez pour afficher
soit . On a . Donc, . L'intégrale demandée (notée ) équivaut à l'aire délimitée par la courbe représentative de , de l'axe X et des droites  et . Etant donné que ,  diminue alors que n augmente. Et lorsque n tend vers l'infini, tend vers 0.

 Posté par 
ottore : Amusette pour Olive  05-07-09 à 22:54
Bonjour,

Quent225 ce n'est pas vraiment rigoureux il me semble ...
 Posté par 
1 Schumi 1re : Amusette pour Olive  05-07-09 à 23:33
C'est surtout très faux...

 Posté par 
Quent225re : Amusette pour Olive  05-07-09 à 23:35
Ah?
 Posté par 
1 Schumi 1re : Amusette pour Olive  05-07-09 à 23:46
Quent225>>

 Cliquez pour afficher
Avec ton raisonnement, toute suite décroissante de réelles positives converge vers 0...

Reprends le même exo avec sin^m(t)+t tu verras...

 Posté par 
infophilere : Amusette pour Olive  06-07-09 à 09:01
geronimo : c'est un équivalent en l'infini pas un =
 Posté par 
geronimo 652re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 09:57
salut Kévin !

ah! pas faux... mais de toute manière je cherche plus facile...
 Posté par 
geronimo 652re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 10:21
on peut dire que:

 Cliquez pour afficher

mais ça démontre pas grand chose... je voulais faire un truc style théorème des gendarme mais faudrait réussir à avoir des n à gauche et à droite... or , non? Car  et ln(1) donc on a  
 Posté par 
geronimo 652re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 10:29
 Cliquez pour afficher
 on peut encore réduire mon encadrement en disant que si n est paire alors  soit au final 
 Posté par 
infophilere : Amusette pour Olive  06-07-09 à 10:48
geronimo >

 Cliquez pour afficher
Tes encadrements sont très larges, il faut qu'ils dépendent de n si tu veux espérer pouvoir montrer que ça tend vers 0 en utilisant les gendarmes.

Sinon autre méthode, relation de récurrence.
 Posté par 
J-Rre : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:22
bonjour,

 Cliquez pour afficher
ça fait toujours réviser ...

pb <=> 

si on veut appliquer le th de la moyenne pour la deuxième intégrale, et donc pour qu'elle tende vers 0 il faut que e tende vers ... 

 où  (le sin est borné et e tend vers  donc ça marchera)

 (pour croissance du sin)

reste à trouver e vérifiant:

e=  ( tendant vers 0)

u tq : 

dc tq  -> -oo (qd n -> +oo)

et  faut que cela tende vers 0 (qd n tend vers +oo)

 convient ...

merci

 Posté par 
infophilere : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:29
Une méthode courte :

 Cliquez pour afficher

 Posté par 
infophilere : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:30
Tellement courte qu'elle est fausse 

Je vais me recoucher...
 Posté par 
monrow re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:36
Salut 

 Cliquez pour afficher
CVD en une demi ligne 
 Posté par 
infophilere : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:38
momo >

 Cliquez pour afficher
J'ai hésité à le dire mais bon là on sort le bazooka 

 Cliquez pour afficher
En posant I_n cette intégrale on peut aussi montrer que I_(2p) et I_(2p+1) (qui sont facilement calculables) tendent vers 0 donc I_n tend vers 0
 Posté par 
J-Rre : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:45
re,

 Cliquez pour afficher
c'est quoi cette appellation d'origine contrôlée "CVD" ? merci

 Posté par 
infophilere : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:48
J-R >

 Cliquez pour afficher
Théorème de convergence dominée, qui est très puissant, donc à utiliser en dernier recours.
 Posté par 
monrow re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 11:48
Kéké 
 Cliquez pour afficher

J-R  Cliquez pour afficher
C'est le théorème de convergence dominée ... mais bon ça c'est pas un outil pour justifier l'exo en terminale, on le voit qu'en spé. En effet il donne des conditions pour pouvoir permuter limite et intégrale
 Posté par 
Quent225re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 12:11
Bonjour tout le monde!

 Cliquez pour afficher
Bien, vu que mes idées ne sont pas les bonnes, je tente autre chose! J'ai trouvé que  et que  tend vers 1 (puisque ... et en utilisant le thm du gendarme, on obtient ce que j'ai écrit avant). De ça on obtient  donc  donc  d'où la ccl. 
 Posté par 
infophilere : Amusette pour Olive  06-07-09 à 12:25
Revois tes calculs quentin 
 Posté par 
ottore : Amusette pour Olive  06-07-09 à 14:14
 on le voit qu'en spé 

Ou après deux ou trois ans d'études supérieures ... surtout que la version "spé" est édulcorée...

 Cliquez pour afficher
Pourquoi personne ne pense revenir à la définition de la convergence ?? Ou à utiliser le fait que sin(t)^n n'est pas loin de converger uniformément ... Ce sont deux méthodes semblables qui sont probablement les plus simples ici ...
 Posté par 
1 Schumi 1re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 14:24
Bon allez, une méthode avec que des outils de terminale:

 Cliquez pour afficher
On appelle  ladite intégrale. (I_n) est clairement décroissante et minorée par 0. Donc elle converge vers l>=0.

On a alors:  pour x dans ]0,Pi/2[.

Soit: .

Un 'ti passage à la limite: .

Comme x est arbitrairement choisi dans ]0,Pi/2[, on en déduit: l=0.

 Posté par 
Camélia re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 14:34
Bonjour à tous!

Bien sur, je pensais à une méthode élémentaire qui ne demande ni de gros théorème ni le calcul de l'intégrale. Ma solution est bien celle donnée par J-R et par 1 Schumi 1 que je félicite!

Et pas d'Olive en vue...  
 Posté par 
olive_68re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 17:09
Bonjour tous le monde 

Je viens de voir ce topic  C'est vraiment gentil de poster un exercice de mon niveau 

 Cliquez pour afficher
Voilà ce que je propose pour montrer la limite :

J'ai déjà fais une fois un exercice sur les intégrales de wallis et je me souviens des grandes étapes de l'exercice donc je m'en sers ,

Je fais une IPP portant sur  avec :

          et donc 

                            et donc 

On a donc:

Et donc on remplace dans  :

Soit      

Et donc  ou encore 

Soit     

Et la j'aimerais trouver l'expression de  et  en fonction de 

     Trouvons l'expression de  :

      Donc on remplace et on trouve,

Et on remarque que 

                    Soit    

Et là, la limite me semble assez facile à donner puisqu'on à un exponentielle au dénominateur :

  On a donc 

              __________________________________________________________________________________

Sinon plus simplement mon idée de départ que je n'arrivais pas à prouver rigoureusement,

 Cliquez pour afficher
Sur  :

Donc que 

On reconnait donc une suite géométrique de raison   donc que sur  

Or  

Alors quand  tend vers  :   

Donc que 

Enfin je sais pas si c'est claire mais je voulais montrer que l'aire sous la courbe devient nul lorsque  tend vers  il y a juste un pic en  de hauteur  qui est en gros négligeable pour le calcul d'aire sous cette courbe..

J'éspère ne pas avoir tapé à côté dans ma première méthode ^^ Dans la deuxième, y a t'il moyen de le prouver rigoureusement ? (Le fait de devoir mettre deux fois le symbole limite dans une même expression me gène aussi)

Voilà Voilà C'était sympa comme exercice, merci d'avoir pensé à moi ça fait plaisir 
 Posté par 
veledare : Amusette pour Olive  06-07-09 à 19:34
bonjour Olive

 Cliquez pour afficher
*première methode :

tu as montré que  (1)

on sait que la suite a une limite l0

donc (1) te permet de conclure
 Posté par 
olive_68re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 20:29
Bonjour veleda 

 Cliquez pour afficher
Ah bon ça me permet de conclure directement ?

Parce que si on imagine une suite du genre  on montrerait que 

Et pourtant la suite ne converge pas ..

Ou bien cette méthode ne marche pas si  ?

Merci 
 Posté par 
veledare : Amusette pour Olive  06-07-09 à 22:15
>>Olive,

 Cliquez pour afficher

tu sais que la suite est positive décroissante donc convergente de limite l0

dans (1) quand n->+oo le membre de gauche->l² et le membre de droite ->0 donc l=0

dans l'exemple que tu donnes il n'y a pas convergence tu as -oo  à gauche et -oo à droite,je ne vois pas où est le problème
 Posté par 
olive_68re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 22:19
veleda>>

 Cliquez pour afficher
 j'ai honte de t'avoir fait écrire ça désolé, j'ai pensé autre chose..

Merci d'avoir fait la remarque 

 Posté par 
1 Schumi 1re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 23:40
olive >> 

 Cliquez pour afficher
Oui, t'a deuxième idée aboutit sous quelques réserves. D'abord, tu as déjà l'existence de la limite, c'est acquis (décroissante minorée). Fixe y dans ]0,Pi/2[ utilise Chasles comme tu l'as fait et passe à la limite dans l'inégalité.

Quel encadrement en déduit-tu sur la limite l?

 Posté par 
olive_68re : Amusette pour Olive  06-07-09 à 23:49
Salut 1 Schumi 1 

 Cliquez pour afficher
Merci de m'aider 

Ben en fait j'ai un petit problème lors du passage à la limite de 

Ce que j'ai pensé, c'est que :  

Soit en gros ..

C'est à ça qu'il faut en venir ? Merci encore ! 

 Posté par 
1 Schumi 1re : Amusette pour Olive  07-07-09 à 08:58

 Cliquez pour afficher
Oui, avec un "y" ça serait mieux, mais cette majoration suffit. Quand tu passes la limite, qu'obtiens-tu comme inégalité dans ces conditions (y étant fixé une fois pour toute dans ]0,pi/2[) ?

 Posté par 
Camélia re : Amusette pour Olive  07-07-09 à 14:03
Bon, je vois que vous êtes très bien débrouillés. Je répète que mon idée n'était pas de calculer Wallis, mais de bricoler la limite!
 Posté par 
olive_68re : Amusette pour Olive  08-07-09 à 16:01
J'avais pas vu que je n'avais pas répondu pardon ^^ 

1 Schumi 1

 Cliquez pour afficher
Euh oui je voulais mettre un y ^^ Ben oui maintenant je viens de comprendre ou tu voulais en venir !! Bien joué j'y penserais une autre fois 

Ah ben faut me croire ^^ si j'avais vu plus rapide je n'aurais pas sorti tout le Wallis
 Posté par 
Aurelien08re : Amusette pour Olive  09-07-09 à 01:03
Vivement j'apprenne tout ça. 
  Posté par 
olive_68re : Amusette pour Olive  09-07-09 à 01:17
Salut 

Ne t'inquiète pas tu as le temps  Mais c'est bien que tu sois curieux et que tu ais déjà envie d'apprendre de nouvelle chose 

Profites de ces vacances pour consolider tes bases de seconde et si tu es déjà assez fort on pourra t'aider à comprendre des bases de 1ere