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angle et aire d'un trapèze

Posté par
Salome28
04-03-16 à 16:17

Bonjour:
J'ai un exercice de prise d'initiative à réaliser, en voici la question :
Déterminer la valeur de l'angle x pour laquelle l'aide du trapèze ABCD est maximale.
La figure donnée :
http://***lien supprimé***
angle et aire d\'un trapèze
malou > ***image rapatriée***mais c'est à toi de le faire....

On a donc AD = AB = BC

Pour l'instant je n'ai pas vraiment de piste, je pensais juste à étudier l'aire des deux triangles en utilisant le projeté de A et B sur le segment [DC], qu'on appellerait A' et B4, puis étudier la longueur de la base h grâce à la fonction sinus,
donc sin (x) = AA'/DA = BB'/BC

Si ce n'est cette idée, je ne vois vraiment pas comment procéder.
Pourriez vous m'aider? Merci d'avance!

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 16:40

Bonjour,

il n'y a avait aucun empêchement à mettre cette image ici (vu qu'elle n'est pas "trop grosse" du tout)
donc cela devait être fait, de la mettre ici même et pas hébergée ailleurs.
vu que tout l'énoncé doit être entièrement visible directement dans la demande, sans invocation d'un quelconque site externe.
lire la FAQ donne le mode d'emploi, de toute façon lire la FAQ (bouton du bandeau supérieur) ne peut jamais faire de mal

je te laisse compléter ce sujet en la mettant ici même (dans une réponse à ce même sujet, pas en créer un autre avec l'énoncé complété)

h = AD sin x est effectivement ce qu'il faut faire, ça donne la hauteur h du trapèze.

mais il faut aussi utiliser le cosinus (pour avoir la mesure de la grande base du trapèze)

puis obtenir l'aire du trapèze en fonction de x

et finalement étudier cette fonction. aire = A(x)

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 17:17

bonjour malou,
euh... moi j'avais rapatrié ça comme image (extrait direct tel quel de hpics, c'est comme ça que j'avais vu les dimensions réelles de l'image et exprimé qu'il n'y avait vraiment aucune raison de la mettre ailleurs qu'ici)

angle et aire d\'un trapèze

ce qui est tout de même plus lisible

Posté par
malou Webmaster
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 17:26

oui, bizarre...moi j'ai eu direct l'autre avec le lien ...et comme il y avait pas mal de signalements, je n'ai pas pris le temps de l'agrandir...

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 17:33

bizarre, hpics doit fournir des images de tailles différentes selon les configurations ...

d'un autre côté je comprends bien que tu n'allais pas en plus chercher à le redimensionner !!
après tout c'est à Salome28 de fournir l'image avec une taille correcte !
moi je lui avait carrément laissé le boulot dans mon premier message ...

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 18:02

Excusez moi pour ce petit désagrément mais lorsque j'appuyais sur la touche Img rien ne se passait, c'est pourquoi j'ai décidé d'utiliser Hpics..
malou >   tu n'as pas du descendre ta page suffisamment et tu n'as rien vu...cela se passe nettement en dessous du message à poster
Pour ce qui est du sujet, je ne comprend pas pourquoi il faut calculer la grande base du trapèze puisqu'il ne me semble pas que celle-ci varie en fonction de x ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 18:08

plus x est petit et plus le trapèze s'aplatit
la grande base varie donc entre CD = AB quand x vaut 90° (le trapèze est alors en fait un rectangle)
et 3*AB quand x = 0 (le trapèze est alors complètement plat, d'aire nulle, vu que les points ABCD sont alignés)


pour le bouton Img la suite est plus bas sur la page (un champ de saisie "Parcourir" et un bouton "Attacher")

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 18:20

Ah oui en effet j'arrive bien à me visualiser la situation maintenant.
Donc en résumé, il me faut une aire maximale pour les deux triangles rectangles, ainsi que pour le quadrilatère central.
Pour ce qui est de la hauteur on utilise sin(x) et donc pour la grande base j'utilise cos(x).
Ce qui nous donne h = AD x sin (x), et la grande base DC = (DA' x cos(x))x2 +AB

En suite pour l'aire du totale additionner les aires des deux triangles rectangles et du rectangle, puis dériver et étude de signe?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 18:34

oui, mais pourquoi DA' ??? la grande base c'est (DA*sin(x))*2 + AB
(l'hypoténuse du triangle rectangle c'est DA)
DC = DA' + A'B' + B'C DA' et DA' = DA*cos(x) etc


ensuite si ça te dit de décomposer le trapèze en 2 triangles et un rectangle, pourquoi pas, mais il y a tout de même une formule archi-connue sur l'aire d'un trapèze !!
(mébon ça revient exactement au même hein ...)

par ailleurs :

Citation :
il me faut une aire maximale pour les deux triangles rectangles, ainsi que pour le quadrilatère central.
cette expression est fausse par rapport à la réalité
aucune des ces aires n'est en elle même maximale
c'est la somme des trois qui doit être maximale !

mais bon c'est juste une expression malheureuse car tu as bien exprimé ensuite correctement ce qu'il fallait faire :
faire la somme puis dériver l'expression de l'aire totale du trapèze.

nota : éviter d'utiliser x pour dire à la fois la lettre x et le symbole multiplier, ça prète à confusions graves,
on utilise de façon conventionnelle le caractère * pour multiplier

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 18:54

Du coup ce serait plutôt DC = ( DA*Cos(x) ) *2 + AB et non ( DA*Sin(x) ) *2 + AB si je ne me trompe pas?

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 18:56

Pour l'aire du trapèze c'est bien (AB*CD)*h/2 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 19:09


non, pas AB*CD, mais (AB + CD)*h/2 ou \dfrac{AB + CD}{2}*h c'est pareil

(mnemotechnique : la moyenne des bases multipliée par la hauteur)

pour le cosinus c'est une faute de frappe (d'ailleurs la ligne d'après j'avais bien écrit DA' = DA * cos(x))

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 19:26

D'accord merci;
Pour ce qui est de AB, je n'ai aucune information, et pourtant j'ai l'impression que je vais en avoir besoin. Comment pourrais-je déterminer la longueur de ce segment?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 19:53

tu l'appelles "a" et tu fais comme si c'était une constante que tu connais
(ça va s'éliminer à la fin parce que a (et même a²) sera en facteur de tout et une équation a²*g'(x) = 0 c'est juste g'(x) = 0
et le signe de a²*g'(x) est le même que celui de g'(x) dans lequel il n'y a plus de a du tout.

c'est comme d'hab : il ne faut pas se bloquer parce qu'on na pas une valeur numérique dans un énoncé !
on lui donne un nom et on continue les calculs
généralement quand la valeur n'est pas donnée c'est qu'elle n'a aucune espèce d'importance et que sa "valeur" va s'éliminer du calcul final.

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 22:09

Ce qui nous ferait donc : (on notera AB =a)
A(x) = (CD+AB)/2 *h
=[(( DA*Cos(x) ) *2 + AB)/2] * (AD * sin (x))
=[((a*cox(x))*2 + a)/2] * asin(x)
=(acos(x) +a/2) *asin(x)
=a²cos(x)sin(x) + (a²sin(x))/2

Faudrait il peut être simplifier d'avantage ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 22:25

on peut, mais pas obligé. l'idée étant d'éviter ou de regrouper les fractions pour éviter des erreurs de recopie.

par exemple mettre a²/2 en facteur :
(a²/2)*(2cos(x)sin(x) + sin(x))

on peut laisser comme ça et étudier donc la fonction g(x) = 2cos(x)sin(x) + sin(x), vu que le facteur a²/2 ne changera rien aux variations.

de toute façon il va falloir dériver cette fonction, quelle que soit la "façon" dont on l'écrit.

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 22:34

euh .. j'ai répondu un peu vite !!
CD = 2acos(x) + a (CD = CA' + A'B' + B'D = a*cos(x) + a + a*cos(x) et pas seulement 2acos(x))
AB = a

donc AB+CD = 2a*cos(x) + 2a
etc ...

corriger, et sinon c'est du même genre (mettre a² en facteur etc)

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 22:44

Euh, je n'ai pas tout suivi pour la dernière réponse que tu m'a envoyée, je ne vois pas de quelle erreur tu parlais?

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 22:45

ah si ca y est, je t'envoie le tout corrigé

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 23:00

A(x) = (CD+AB)/2 *h
=[(( DA*Cos(x) ) *2 + AB)/2] * (AD * sin (x))
=[((acos(x))*2 +a + a)/2] * asin(x)
=(acos(x) +a) *asin(x)
=a²cos(x)sin(x) + a²sin(x)

Du coup je met le a² en facteur pour pouvoir le laisser de coté en suite :
A(x)=a²(cos(x)sin(x)+sin(x))

Et je dérive :

A'(x)=a²(-sin²(x)+cos²(x) + sin(x))

Pour ce qui est de l'étude des variations, faut il que je modifie l'écriture de A'(x) en utilisant cos²(x)+sin²(x)=1?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 23:06

il faudrait déja dériver tout..
(le dernier sin(x) n'a pas été dérivé)

et sinon oui, il faut utiliser cos²(x)+sin²(x)=1 pour exprimer tout avec que des cos(x)
puis poser u = cos(x) pour résoudre.

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 23:32

Oups j'ai oublié de le dériver celui-ci..
A'(x)=a²(-sin²(x)+cos²(x) + cos(x))
A'(x)=a²(cos²(x)-1 + cos²(x) + cos(x))

Poser u = cos(x)? je ne vois pas bien la méthode

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 04-03-16 à 23:44

il s'agit d'étudier le signe de A'(x)
et déja les solutions de A'(x) = 0

c'est à dire de 2cos²(x) + cos(x) - 1 = 0
qui si on pose u = cos(x) s'écrit 2u² + u - 1 = 0

quand on aura trouvé les solutions en u, on pourra trouver x dans [0; pi/2] avec cos(x) = u
méthode classique pour résoudre des équations trigonométriques

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 00:04

On cherche les solutions de A'(x) = 0 afin de savoir pour quelles valeurs de x il y aura changement de signe? C'est tout simplement un tableau de signe que je dois réaliser j'imagine.
Je vais tenter cela

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 15:01

Est ce que je peux résoudre cette équation en la factorisant?
de cette manière:
2cos²(x)+cos'x)-1
=(-1+2cos(x))(1+cos(x))

et donc étudier le signe du polynôme en étudiant celui des deux facteurs?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 15:07

oui bien sur.
cela revenait à résoudre puis factoriser mon polynome en u : 2u² + u - 1 = (2u-1)(u+1)
simplement que c'est plus facile à écrire/lire "u" que "cos(x)"
et ça sépare un peu les deux parties du problème :
le polynome
la trigo

mais si tu fais tout d'un coup, tant mieux.

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 16:03

Ca revient donc à résoudre 1+cos(x) 0 et -1+2cos(x) 0
n'est ce pas?

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 18:17

oui et regrouper dans un même tableau

pour résoudre bien sur on cherche déja à résoudre l'égalité 2cos(x)-1 = 0, donne cos(x) = 1/2 = cosinus quoi ... (angle remarquable) etc
il faut connaitre les variations de la fonction cosinus (cours) ensuite pour en déduire le signe

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 18:40

Du coup ca nous fait :
   2cos(x)-1 = 0
cos(x)=1/2
  x= /3  +2k ou  x= - /3 +2k

cos(x) +1 = 0
cos (x) = -1
x= +2k

Donc les solutions de A'(x) = 0 sont { +2k ; /3  +2k ; - /3 +2k}

Pour ce qui est du signe en revanche, je n'arrive pas bien à me le visualiser : je sais que cos est décroissante sur [0;] et qu'elle s'annule en /2, mais pour appliquer ca à l'énoncé.. je ne vois pas

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 21:56

il faut tenir compte du domaine de définition du problème. pas sur !!

le domaine d'étude est ainsi [0; pi/2] seulement

et comme entre 0 et pi/2 la fonction, cosinus est décroissante, ... ça nous donne les signes

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 05-03-16 à 23:51

Ah oui en effet! je finalise et j'envoie mes résultats

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 06-03-16 à 18:47

Donc au final l'unique solution est /3 donc A'(x) est positive sur [0;/3], et négative sur ]/3;/2]
A(x) est croissante, jusqu'en /3 puis décroissante, ce qui fait que /3 est la valeur de x que l'on recherche

Posté par
mathafou Moderateur
re : angle et aire d'un trapèze 07-03-16 à 12:09

voila. c'est ça.

Posté par
Salome28
re : angle et aire d'un trapèze 07-03-16 à 20:57

Ah bien on peut dire que la boucle est bouclée, merci beaucoup !



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