Bonjour,
Pour aider à une future discussion, je donne des noms aux points :

Par ailleurs, j'ai remarqué que BJ est une hauteur du triangle ABC.

Bonjour,

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on remarque que tous les angles donnés sont des multiples de 6°.
On peut essayer d'inscrire le triangle dans un polygone régulier à 30 côtés.
Ça marche.

Bravo Sylvieg, je n'avais pas vu

Et je rejoins la remarque de verdurin . Ceux qui ont inventé la devinette ont du partir d'une situation "régulière". Vu la figure avec l'angle droit, ça sent la trisection de l'angle. Mais je ne vois pas de méthode pour montrer ça

Bonjour,
@verdurin
j'avais la même idée, mais je n'ai pas identifié de propriété géométrique simple concernant ces diagonales particulières du 30-gone

en tout cas la théorie générale sur les points de concours des diagonales des n-gones est là :
arxiv

et ici il s'agit des diagonales en rouge du 30-gone :



le point D est le concours de 6 diagonales, dont les trois qui nous intéressent

PS : ma figure avait été faite avant la proposition de nommage de Sylvieg, j'ai oublié de les renommer en accord.

Nota : le plongement dans un 30-gone et ses 405 diagonales (!) n'est pas unique.
d'autres placements sont peut être plus fructueux.

BJ hauteur--->BHJ= 90° mais BAH=88 °--->ABJ=2° et non  6°

Bonjour dpi,
54 + 30 = 84 et pas 88

x = 18 dans le Triacontagone ( j'ai cherché son nom ).
Mais pourquoi est-ce la seule configuration possible ?

pas sur que ce soit "la seule"
déja dit qu'on pouvait sans doute mettre notre figure en la superposant ailleurs sur le 30-gone et ces diagonales


(figure extraite du document donné en lien)
mais chercher où on peut la mettre dans ce fouillis est ... mission impossible sauf le cas de figure "trivial" que j'ai montré.

considérer le 30-gone montre juste que résoudre notre problème est équivalent à prouver que les diagonales précitées sont effectivement concourantes
résoudre l'un ou l'autre est certainement de difficulté équivalente, sauf astuce qu'on n'a pas encore vue

et ce n'est certainement pas en le "constatant" de visu que ça se prouve !
autant faire la figure et mesurer l'angle au rapporteur !

Besoin de lunettesmerci... mais en même temps cela confirme ta vision

Bonjour,

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Posons a = 1 (ou n'importe quoi d'autre)

b/sin(144°) = c/sin(6°) = a/sin(30°)

b = sin(144°)/sin(30°) = 2.sin(144°)
c = sin(6°)/sin(30°) = 2.sin(6°)

c/sin(24°) = d/sin(102°) = e/sin(54°)

d = c.sin(102°)/sin(24°) = 2.sin(6°).sin(102°)/sin(24°)
e = c.sin(54°)/sin(24°) = 2.sin(6°).sin(54°)/sin(24°)

e/sin(x) = a/sin(66-x)

2.sin(6°).sin(54°)/(sin(24°).sin(x)) = 1/sin(66°-x)  (avec x en degrés)

Equation dont la solution est x = 18° , soit Pi/10 rad.

Salut Sylvieg.
C'est la seule configuration possible parce que l'on peut construire le triangle à partir du coté AB.
On construit J ( un coté deux angles ) puis C à partir de AJ ( même chose. )
J'ai commencé par un triacontagone pour avoir les angles de 6°,
mais on voit qu'il y a peu de candidats pour A si on commence par BC.

Ils sont marqués x et j'ai par chance commencé par le bon.

bonjour à tous,

je suis de loin et je vois que verdurin est toujours aussi performant !!!

je me permets ce msg perso à lui-même car j'ai un gros pb et je ne vois aucun moyen de le résoudre hormis de vous "polluer" le fil.

je m'en excuse par avance.

verdurin : je me suis permis de t'envoyer un mail à ton adresse donnée sur ton "espace" en espérant que c'est la bonne.
pourrais-tu me confirmer sa réception ou alors peux-tu m'envoyer un mail à mon adresse que tu trouveras sur mon "espace" (je ne sais comment on dit) afin que je puisses t'adresser un msg t'expliquant mon pb.
un très grand merci par avance.

encore désolé pour le dérangement.

On peut calculer x en se donnant AJ=1
Par une chasse aux angles et Pythagore on trouve 18°
Je ne donne qu'une valeur intermédiaire : BC=5.8802061
Ensemble des calculs sous la torture

oui, le calcul avec les sinus est une méthode qui marche à tous coup.
mais qui donne uniquement une valeur approchée (équation trigo et pas équation algébrique résoluble) si on ne tient pas compte des valeurs exactes (avec radicaux et racines n^èmes de l'unité) de ces fonctions trigo
"BC = 5.8802061" est une telle valeur approchée, donc qui ne prouve rien
l'angle pourrait tout aussi bien être de 6,00000003759042... degrés !

pour le plongement de la figure dans le 30-gone
"C'est la seule configuration possible" avec les sommets du triangle sur les sommets du 30-gone !
pas sur si on le met à l'intérieur. (un sommet au moins pas sur les sommets du 30-gone mais sur l'une des intersections de diagonales)
il y a un très large choix parmi les 100 points d'intersections d'au moins trois diagonales, à symétrie près.
peut être certaines marchent et donnent une solution "trivialement" géométrique.

@mathafou,
Extrait d'un message :

C'est certes le seul triangle mais pas forcément la seule façon de le plonger dans le 30-gone !

un exemple sur une configuration que j'avais étudiée jadis dans le 18 gone :



le triangle ABC et son point P peut se plonger dans le 18-gone de ces deux façons différentes (les angles de la figure ABCP sont les mêmes)

cette ancienne étude avait pour but d'étudier tous les "quadrilatères fortuits" d'angles tous multiples de 10°
il y a à symétrie près 15 points d'intersection remarquables dans le 18 gone, plus le centre
l'étude conduit à une forme d'équivalence entre ces points : ici la figure ci dessus prouve que le fait que des diagonales concourent en le point X1 équivaut au fait que des diagonales différentes concourent en X2
il suffit de démontrer l'une d'elles pour avoir immédiatement l'autre.

Salut mathafou.
Il y a sans doute d'autre façons de mettre le triangle solution avec des sommets sur les intersections des diagonales et des cotés d'un triacontagone.

Mais je ne crois pas qu'il s'agisse de la question de départ.
À une similitude près un seul triangle convient.

le problème est de calculer l'angle demandé et rien d'autre
il est clair que le triangle est unique à l'échelle près et que la valeur de l'angle demandé aussi.

la question est comment prouver que c'est exactement 18° ?
on a diverses pistes

- la loi des sinus et ensuite un calcul littéral exact sur les valeurs (et pas à la calculette !!)

- imaginer de compléter la figure par divers éléments mystère permettant de prouver cette valeur par le raisonnement

- considérer que prouver la valeur de l'angle est équivalent à un problème de concours de diagonales dans un 30-gone

c'est dans cette dernière méthode que on peut jongler avec le placement de cette forme unique de triangle va savoir où dans la figure formée par un 30 gone et ses 405 diagonales avec l'espoir que un de ces placements fournirait une preuve qu'on n'a toujours pas !
(une preuve que les diagonales considérées sont réellement concourantes en un même point)

On sait que la solution est unique.
Avec la loi des sinus candide2 a montré que :
2.sin(6°).sin(54°)/(sin(24°).sin(x)) = 1/sin(66°-x)  (avec x en degrés).
En remplaçant x par 18° on a :
2.sin(6°).sin(54°)/(sin(24°).sin(18°)) = 1/sin(48°).

Or

Ce qui permet de vérifier que la solution est exacte.

Sinon, pour ta seconde objection, je dois bien reconnaître que j'ai considéré comme évident que les diagonales en causes sont courrantes.

moi j'aurais écrit
2.sin(6°).sin(54°)/(sin(24°).sin(18°)) 1/sin(48°).
vu que ce n'est au départ qu'une hypothèse
(logiciel de calcul formel requis pour tous ces calculs )

La pureté trigonométrique est admise, ainsi par exemple :
JH = sin (3/10)=0.809016994375....
Donc je suis satisfait de mon résultat pour x  qui se déterminera en
fonction de    --->    3/10 =18°

Correction
/10 bien sûr...

Bein non.
des calculs numériques sur des valeurs décimales approchées irrationnelles n'ont jamais été une preuve de quelque égalité que ce soit
JH = sin (3/10)=0.809016994375.... non
JH = sin (3/10) 0.809016994375....
conduisant à
x 6° quel que soit le nombre de décimales exhibées

juste une excellente conjecture et rien d'autre.

Bonjour

Merci à tous. Je ne pensais pas que ça pouvait faire émerger des 30-gones. Je trouvais le départ de Sylvieg très prometteur. Mais ça ne décolle pas avec ça. J'ai été consulté le site où j'ai vu ce problème dont l'apparente simplicité m'avait interpelé . Le piège. Et une personne a finalement posté ceci: (pas tout compris )

Voila l'astuce clé !

l'apparition d'un "élément mystère" : le triangle équilatéral AMK
j'avais bien vu AM , mais pas pensé à K

Joli !
Merci fabo34 d'avoir posté cette solution.
Il faut lire d'abord ce qui est à droite.
Pour comprendre l'utilisation de K,O,C,B cycliques, j'ai fait une figure à part avec un cercle.
Pour l'angle de sommet K qui mesure 12, on peut utiliser le 12 de l'angle de sommet M, puis (AO) médiatrice du triangle AMK.

@mathafou,
Et si une démarche analogue permettait de démontrer l'histoire des diagonales concourantes ?

quand on a démontré que l'angle est 6°, cela démontre le concours des diagonales considérées.

(mais rien sur les autres : il faut résoudre un autre problème "du même genre" = avec des angles différents)

Bonjour,
Pour le plaisir,j'ai gardé la notation de Sylvieg pour la démo de fabo34
En voyant que l'angle BAC  30+54=84° (merci pour mon erreur..)
et que l'angle ACJ  mesure 24°  on peut tracer un segment AM tel que BAM = 60 °  (84-24 ).
En plaçant un point K sur AB tel que AK =AM nous avons  un triangle équilatéral AMK ;le triangle isocèle AMC (angles égaux 24°) ajoute MC à l'égalité permettant de tracer un cercle de centre M et de rayon AM.
Observons la corde KC ,l'angle au centre KMC est égal à 2 fois BAC
soit 84x2= 168°  laissant 12/2 =6° pour les angles MKC et MCK.
Le quadrilatère BKJC est donc inscriptible (corde KJ)
Nous cherchons x soit l'angle JBC interceptant la corde JC interceptée également par l'angle CKJ =MKC+MKJ.
MKJ  =JMK   =60-48 =12°--->BKJ=6+12=18°.


_{* Modération > Petite erreur rectifiée *}

petite erreur "la corde JC et non JB

Merci dpi d'avoir mis au propre le brouillon communiqué par fabo34.
A noter que le "cercle de centre M et de rayon AM" n'est pas nécessaire pour trouver l'angle KMC :
AMC = 180 - 224 dans le triangle AMC.
Puis KMC = 360 - 60 - AMC.

J'ai l'impression que la méthode géométrique marche seulement dans ce cas particulier. Est-ce qu'on peut exprimer x en fonction des autres angles avec cette méhode?
Dès que KAM n'est plus un triangle équilatéral, ça ne marche plus. Si?

J'aime bien la méthode des sinus, on obtient deux équations: les produits des sinus des angles à gauche est égal au produit des angles à droite. Et la somme de tous les angles est 180°.
Je ne sais pas s'il y a moyen d'extraire les angles des sinus mais ça se résoud bien numériquement.

Soit le triangle ABC, de centre O, on a :



On cherche et connaissant les autres angles.
Note: ces angles sont positifs, je me suis peut-être trompé dans le sens de notation, je m'y perd toujours

Je pense qu'on peut prouver formellement le résultat 18° en remplaçant les sinus par leur expression en exponentielles imaginaires. On travaille alors avec des fractions de 30 qui sont exactes. Mais ça n'a pas l'air simple

pour obtenir "immédiatement" la relation des sinus on a le théorème de Ceva dans sa version trigonométrique
qui s'énonce
les droites Ax, By, Cz sont concourante si et seulement si



Il y a des tas de "cas particuliers" "fortuits" pour lesquels on a des fractions rationnelles de pi pour tous les angles de la figure.
Dans le cas général on obtient des valeurs irrationnelles.
Voir l'étude détaillée dans le document Arxiv que j'avais cité.
comme le problème d'avoir des valeurs toutes rationnelles est totalement équivalent au concours de certaines diagonales d'un n-gone, ce papier regarde la question sous cet angle là.

Chacun de cette foultitude de problème peut aussi se démontrer par déduction géométrique, mais il est très compliqué de trouver le "HaHa" qui donne les éléments à ajouter pour faire ce raisonnement. Chacun nécessite une méthode différente !

Bonjour,
on peut calculer l'angle x avec la relation des sinus et un peu de trigonométrie.

De on déduit

d'où

En multipliant par 2 le numérateur on obtient

En multipliant par 2 le dénominateur on obtient

On a donc d'où

passer par la tangente est effectivement une solution efficace ici (avec ces valeurs numériques là, le coup de bol de 54+6 = 60)

bien vu !
il faut bien savoir jongler avec les formules de trigo (sin(a+b) etc et sin(a) + sin(b) etc)